专题十一 相似三角形与平行四边形的综合探究题 同步练习（含答案） 2025--2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册

专题十一 相似三角形与平行四边形的综合探究题
1.如图,有一块直角三角形余料ABC,∠BAC=90°,G、D 分别是AB,AC 边上的一点，现从中切出一条矩形纸条 DEFG，其中E,F 在 BC 上,若 BF=4.5cm . CE =2cm,则GF 的长为 ( )
A.3cm
B.2 cm
C.2.5cm
D.3.5cm
2.如图,在 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点O,M 为AD 的中点,连接 CM 交 BD 于点N,则、S△MDN: S△BCD= ( )
A.1:3
B.1:5
C.2:3
D.1:6
3.如图,矩形 ABCD 中,AB=8,BC=12,点 E 为 BC 的中点,点G为AD 上一点,连接 AE,BG交于点 F,连接CF,当CF⊥BG时，线段AG 的长度是 ( )
A.4 B.6 C.5 D.3
4.如图,在菱形 ABCD 中,点 E 是边CD 的中点,EF 垂直AB 交AB 的延长线于点F,若 BF :CE=1:2,EF= 则菱形ABCD 的边长是 ( )
A.3
B.4
C.5
D.
5.如图,菱形 ABCD 中,∠BAD=60°,AC 与BD 交于点O,E 为 CD 延长线上一点,且CD=DE,连接 BE,分别交 AC,AD 于点F,G,连接OG.下列结论:
②由点 A，B，D，E 构成的四边形是菱形；
③S四边形ODGF=S△ABF ;
④S△ACD=4S△BOG·
其中正确结论的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.如图,F 为 ABCD 的边AD 的延长线上的一点,BF 分别交CD,AC 于G,E,若 EF=32,GE=8,则BE= .
7.矩形 ABCD 中,E,F,M 分别为AB,BC,CD 边上的点,且 AB=6,BC=7,AE=3,DM=2,EF⊥FM,则 BF 的长为 .
8.如图,正方形 ABCD 中,F为AB 上一点,E 是 BC 延长线上一点,且AF=EC,连接 EF,DE,DF,M 是FE 的中点,连接 MC,设FE 与 DC 相交于点 N.则以下4个结论:①DN=DG;②△BFG∽△EDG∽△BDE;③CM 垂直BD;④若. 则BF=2.正确的结论有 .
9.如图,点 E 为正方形ABCD 的边 CD 的中点,连接AE,BE,BE 交对角线 AC 于点 F,连接 FD 交AE 于点G,如果 DF=4,求 AB的长.
10.如图,在 ABCD中,AC=BC=10,AB=12.动点 P 从点 B 出发,沿线段 BA 以每秒2个单位长度的速度向终点 A 运动，过点P 作PH⊥BA 交BC 于点 H;同时动点 Q从点 A 出发，沿射线 AC 以每秒 2 个单位长度的速度向点 C 运动.设运动的时间为t 秒(0(1)点 C 到边 AB 的距离为 ,PH= ;(用含t 的代数式表示)
(2) 是否存 在 某一时刻 t,使 S△PCQ :S△DCQ=1: 6,若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由；
(3)是否存在某一时刻t，使点 P，Q，D共线 若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由.
11.如图,矩形 ABCD,点 P 是对角线 AC 上的动点(不与A,C 重合),连接 PB,作 PE⊥PB 交射线 DC 于点 E.已知AD=6,AB=8.设AP的长为x.
(1)如图,PM⊥AB 于点 M,交 CD 于点N.求证:△BMP∽△PNE;
(2)试探究: 是否是定值 若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；
(3)当△PCE 是等腰三角形时，请求出所有x 的值.
1. A 解析:由题意,可知∠GFB=∠DEC=90°,GF=DE,
∴∠B+∠BGF=90°.
∵∠BAC=90°,∴∠B+∠C=90°,
∴∠BGF=∠C,∴△BGF∽△DCE,∴BE=GE.
∵BF=4.5cm,CE=2cm,GF=DE,
故选 A.
2. D 3. A 4. B 5. D
6.16 解析:∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AB∥DC,AD∥BC,∴△AFE∽△CBE,
∵GC∥AB,∴△ABE∽△CGE、
,解得BE=±16(负数舍去),故 BE=16.
7.3或4 解析:∵四边形ABCD 是矩形,
∴∠B=∠C=90°,CD=AB=6.
∵AE=3,DM=2,∴BE=3,CM=4.
∵EF⊥FM,∴∠BEF+∠BFE=∠BFE+∠MFC=90°,
∴∠BEF=∠CFM、∴△BEF∽△CFM,
即 解得BF=3或 BF=4.
8.②③④
9.解:如图,延长DF 交BC 于点 H.
∵在正方形ABCD 中.∠DCH=90°,AB=BC=CD=AD,AB∥CD,AD∥BC,
∴△CEF∽△ABF,△CHF∽△ADF,
∵点E 是CD的中点.
∴HF=2,AD=CD=2CH,∴DH=6.
在 Rt△CDH 中,
解得 或 (负值舍去).
10.解:(1)如图1,作CE⊥AB 于E.
∵AC=BC,
∵PH⊥BA,
∴∠HPB=∠CEB=90°.
∵∠B=∠B,
∴△HPB∽△CEB,
答案：8
(2)不存在.理由如下：如图2，作PG⊥AC 于 G,作 QF⊥ CD于F,
∴∠CFQ=∠AGP=90°.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD,CD=AB=12,
∴∠PAG=∠FCQ,
∴△APG∽△CQF,
∴t=5.
经检验，t=5是原方程的增根.
∴原方程无解，故不存在 t 的值.
(3)存在某一时刻t,使点 P,Q,D 共线.如图3.
∵P,Q,D 三点共线,AB∥CD,
∴△APQ∽△CDQ,
化简，得.
(舍去),
11.(1)证明:∵四边形ABCD 为矩形,
∴AB∥CD.∵PM⊥AB,
∴PM⊥CD,∴∠BMP=∠PNE=90°,
∴∠PBM+∠BPM=90°.
∵PE⊥PB,∴∠EPN+∠BPM=90°,
∴∠PBM=∠EPN.
∴△BMP∽△PNE.
(2)解: 是定值.
如图1,当点 E 在线段DC 上时,由(1)作图,PM⊥AB于点M,交CD 于点N,得MN⊥CD.
∵四边形ABCD 是矩形,
∴AB=DC=8,∠ABC=∠ADC=90°.
在 Rt△ACD中,∵AD=6,DC=8,
∵PM⊥AB,∠ABC=90°,∴PM∥BC,
即 解得
同理:△CPN∽△CAD,
即
解得
如图2，当点 E 在线段DC 的延长线上时，
同上方法可以证明 综上所述， 为定值
(3)解:如图3,当点E 在线段DC 上,△PCE 是等腰三角形时,只能是EP=EC.连接BE 交PC 于点F.
∵四边形ABCD 是矩形,
∴∠ABC=∠BCD=90°,AD=BC=6。
∵EP=EC,
∴∠EPC=∠ECP.
∵∠BPE=∠BCE=90°,
∴∠BPC=∠BCP,
∴BP=BC,
∴BE 垂直平分CP.
∵∠ABC=90°,BF⊥AC,
∴△BCF∽△ACB,
如图2，当点E 在线段DC 的延长线上，△PCE 是等腰三角形时,只能是CP=EC,
∴∠CPE=∠CEP.
∵∠PFB=∠CFE,∠BPF=∠FCE,
∴∠PBF=∠CEP,∴∠PBF=∠CPE,
∴∠ABP=∠APB,
∴AP=AB=8.
综上所述，当△PCE 是等腰三角形时，x的值为 或8.