2025-2026学年人教A版数学必修第二册单元测试第七章 复数 单元测试（含解析）

第七章 复数
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.复数z=5i(3-4i)在复平面内对应的点所在的象限为(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.若复数是纯虚数,则实数a=(　　)
A.- B.
C.- D.
3.已知复数z=-1-i,z的共轭复数是,则等于(　　)
A.-1-2i B.-2+i
C.-1+2i D.1+2i
4.复数z=为z的共轭复数,则||=(　　)
A. B.
C. D.
5.已知O为坐标原点,复数z1=1+i,z2=2-i,z3=1+mi(m∈R)分别表示向量,若,则|z3|=(　　)
A. B.
C. D.
6.复数z=1-cos α-isin α(π<α<2π)的模为(　　)
A.2cos B.-2cos
C.2sin D.-2sin
7.已知复数2+i与在复平面内对应的点分别为A,B,若O为坐标原点,则∠AOB等于(　　)
A. B.
C. D.
8.设△ABC的两个内角A,B所对的边分别为a,b,复数z1=a+bi,z2=cos A+icos B,若复数z1z2在复平面内对应的点在虚轴上,则△ABC是(　　)
A.等腰三角形或直角三角形 B.等腰直角三角形
C.等腰三角形 D.直角三角形
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.若复数z满足(1-i)z=3+i(其中i是虚数单位),则(　　)
A.z的实部是2 B.z的虚部是2i
C.=1-2i D.|z|=
10.设z1,z2是复数,则下列命题中的真命题是(　　)
A.若|z1-z2|=0,则
B.若z1=,则=z2
C.若|z1|=|z2|,则z1=z2
D.若|z1|=|z2|,则
11.已知复数z0=1+2i在复平面内对应的点为P0,复数z满足|z-1|=|z-i|,则下列结论正确的是(　　)
A.点P0的坐标为(1,2)
B.复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称
C.复数z对应的点Z在一条直线上
D.点P0与z对应的点Z间的距离的最小值为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.计算:=　　　　　.
13.复数z=(1-2i)(a+i),若z是纯虚数,则实数a的值为　　　　　;若z是实数,则实数a的值为　　　　　.
14.已知虚数z的实部为1,且z+=m(m∈R),则实数m为　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知复数z1=2-3i,z2=,求:(1)z1z2;(2).
16.(15分)已知z是复数,z+2i,均为实数,且(z+ai)2对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.
17.(15分)已知复数z1满足(1+i)z1=-1+5i,z2=a-2-i,其中i为虚数单位,a∈R,若|z1-|<|z1|,求实数a的取值范围.
18.(17分)已知复数z1=4-m2+(m-2)i,z2=λ+2sin θ+(cos θ-2)i(其中i是虚数单位,m,λ,θ∈R).
(1)若z1为纯虚数,求实数m的值;
(2)若z1=z2,求实数λ的取值范围.
19.(17分)已知复数z满足|z|=,z2的虚部是2.
(1)求复数z;
(2)设z,z2,z-z2在复平面内对应的点分别为A,B,C,求△ABC的面积.
第七章 复数
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.A
2．A
因为是纯虚数,所以
解得a=-.故选A.
3．C
由题意可得=-1+2i.
4.B
z==-i,
则=-i,根据复数的模的定义,得||=.故选B.
5.C
由题意知=(1,1),=(2,-1),=(1,m),故=(1,-2).
∵,∴1-2m=0,得m=.
∴|z3|=.故选C.
6.C
|z|==2.
∵π<α<2π,∴<π,∴sin>0,
∴2=2sin.
7.B
由题意可知,2+i对应i对应,
则2+i-i对应.
故||=|2+i|=,||=,||=.
所以cos∠AOB=.
所以∠AOB=.
8.A
z1z2=(a+bi)(cos A+icos B)=(acos A-bcos B)+(acos B+bcos A)i,
∵z1z2在复平面内对应的点在虚轴上,
∴acos A-bcos B=0,
即sin Acos A-sin Bcos B=0,
∴sin 2A=sin 2B,
∴2A=2B或2A+2B=π,
∴A=B或A+B=.
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.CD
z==1+2i,
即z的实部是1,虚部是2,故A,B均错误;
又=1-2i,|z|=,故C,D均正确.
10.ABC
A,|z1-z2|=0 z1-z2=0 z1=z2 ,真命题;B,若z1=,则等于的共轭复数,即=z2,真命题;C,|z1|=|z2| |z1|2=|z2|2 z1=z2,真命题;D,当|z1|=|z2|时,可取z1=1,z2=i,显然=1,=-1,即,假命题.
11.ACD
复数z0=1+2i在复平面内对应的点为P0(1,2),A正确;复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称,B错误;设z=x+yi(x,y∈R),代入|z-1|=|z-i|,得|(x-1)+yi|=|x+(y-1)i|,即,整理得y=x,即点Z在直线y=x上,C正确;点P0到直线y=x的垂线段的长度即为点P0,Z之间距离的最小值,易知最小值为,故D正确.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12. i
=i.
13. -2　
z=(1-2i)(a+i)=(a+2)+(1-2a)i,若z是纯虚数,则a+2=0,且1-2a≠0,解得a=-2.
若z是实数,则1-2a=0,解得a=.
14. 2
设z=1+bi(b≠0),
则z+=1+bi+=1+bi+=1+i.
因为m∈R,
所以b-=0,
解得b=±1,
所以m=1+=1+1=2.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.解:z2==1-3i.
(1)z1z2=(2-3i)(1-3i)=-7-9i.
(2)i.
16.解:设z=x+yi(x,y∈R),则有z+2i=x+(y+2)i,
(2x-y)+(x+2y)i,
又z+2i和均为实数,可得x=4,y=-2,
所以z=4-2i.所以(z+ai)2=(4-2i+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i.由(z+ai)2对应的点在第一象限,
得
解得217.解:因为(1+i)z1=-1+5i,z2=a-2-i,
所以z1==2+3i,=a-2+i,
所以|z1|=,|z1-|=|(2+3i)-(a-2+i)|=|4-a+2i|=.
又因为|z1-|<|z1|,
所以,
即a2-8a+7<0,解得1所以a的取值范围是(1,7).
18.
解:(1)∵z1为纯虚数,∴解得m=-2.
(2)由z1=z2,得
∴λ=4-cos2θ-2sin θ=sin2θ-2sin θ+3=(sin θ-1)2+2.
∵-1≤sin θ≤1,∴当sin θ=1时,λ取最小值,且λmin=2,当sin θ=-1时,λ取最大值,且λmax=6,
∴实数λ的取值范围是[2,6].
19
解:(1)设z=a+bi(a,b∈R),则z2=a2-b2+2abi.
由题意得,且2ab=2,解得a=b=1或a=b=-1.
故z=1+i或z=-1-i.
(2)当z=1+i时,z2=2i,z-z2=1-i,
所以点A(1,1),B(0,2),C(1,-1),
所以△ABC的面积S△ABC=×2×1=1.
当z=-1-i时,z2=2i,z-z2=-1-3i,
所以点A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),
所以△ABC的面积S△ABC=×2×1=1.
故△ABC的面积为1.