2025-2026学年人教A版数学必修第二册课时达标：7.2.2 复数的乘、除运算 同步练习（含解析）

7.2.2　复数的乘、除运算
一．选择题
1.已知z=-1-i,则|z|=(　　)
A.0 B.1
C. D.2
2.=(　　)
A.1 B.-1
C.i D.-i
3.已知i是虚数单位,复数z=,则在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.(多选题)下面关于复数z=(i为虚数单位)的说法,其中正确的有(　　)
A.|z|=2
B.z2=2i
C.z的共轭复数为1+i
D.z的虚部为-1
5.若a为实数,且=3+i,则a=(　　)
A.-4 B.-3
C.3 D.4
6.复数z是x2-2x+3=0的根,则|z|=(　　)
A.1 B.
C. D.2
7.已知复数z1=i,z2=-i,则z=-z1z2+i5在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
二．填空题
8.i为虚数单位,若复数z=,z的共轭复数为,则z=　　　　　.
9.设复数z1,z2在复平面内的对应点分别为A,B,点A与点B关于实轴对称,若z1(1-i)=3-i,则|z2|=　　　　　.
10.若z1=a+2i,z2=3-4i,且为纯虚数,则实数a的值为　　　　　,z1z2=　　　　　.
11.已知复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位),则|z|=　　　　　.
三．解答题
12.计算:
(1);
(2);
(3).
13.已知复数z=.
(1)求z的实部与虚部;
(2)若z2+m+n=1-i(m,n∈R,是z的共轭复数),求m和n的值.
14.已知3+2i是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根,求实数p,q的值.
15.设z是虚数,ω=z+是实数,且-1<ω<2,
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;
(2)设u=,证明u为纯虚数.
7.2.2　复数的乘、除运算
一．选择题
1.C
|z|=,故选C.
2.D
=-i.故选D.
3.D
∵z=i,
∴i.∴复数在复平面内对应的点位于第四象限.故选D.
4． BD
∵z==-1-i,
∴|z|=,A错误;z2=2i,B正确;
z的共轭复数为-1+i,C错误;
z的虚部为-1,D正确.故选BD.
5.D
因为i=3+i,
所以解得a=4.
6.C
∵复数z是x2-2x+3=0的根,
∴z=1±i,∴|z|=.
故选C.
7.A
因为z1=i,z2=-i,
所以z=-+i5=1+i,
所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限.
故选A.
二．填空题
8.1
∵z==i,
∴=-i,∴z=1.
9.
∵z1(1-i)=3-i,
∴z1==2+i.
∵点A与点B关于实轴对称,
∴z1与z2互为共轭复数,
∴z2==2-i,
∴|z2|=.
10. 　16-i
,
∵为纯虚数,
∴∴a=.
∴z1z2=(3-4i)=8-i+6i+8=16-i.
11.
设z=a+bi(a,b∈R),
则z2=a2-b2+2abi=3+4i,
故解得
故|z|=.
三．解答题
12.
解:(1)=-1-3i.
(2)i.
(3)=i6+=i6+i=-1+i.
13.
解:(1)z==2+i,
所以z的实部为2,虚部为1.
(2)把z=2+i代入z2+m+n=1-i,
得(2+i)2+m(2-i)+n=1-i,
即2m+n+3+(4-m)i=1-i,
所以
解得m=5,n=-12.
14.
解:因为3+2i是方程2x2+px+q=0的根,
所以2(3+2i)2+p(3+2i)+q=0,
即2(9+12i-4)+(3p+2pi)+q=0,
整理得(10+3p+q)+(24+2p)i=0,
所以解得
15.
(1)解设z=x+yi,x,y∈R,且y≠0,
所以ω=z+=x+yi+=x+yi+=x+i.
因为ω是实数,所以y-=0,
又y≠0,所以x2+y2=1,所以|z|=1.
此时ω=2x.
因为-1<ω<2,所以-1<2x<2,
从而有-即z的实部的取值范围是.
(2)证明由(1)知,x2+y2=1,
所以u=
=
=
=-i.
因为x∈,y≠0,所以≠0,
所以u为纯虚数.