2025-2026学年人教A版数学必修第二册课时达标：7.3.1复数的三角表示式&7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 （含解析）

7.3.1　复数的三角表示式
7.3.2　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
一．选择题
1.若复数z=(a+i)2的辐角的主值是,则实数a的值是(　　)
A.1 B.-1
C.- D.-
2.复数-i的三角形式是(　　)
A.cos 60°+isin 60° B.-cos 60°+isin 60°
C.cos 120°+isin 60° D.cos 120°+isin 120°
3.复数z=sin 50°-icos 50°的辐角的主值是(　　)
A.50° B.220°
C.310° D.320°
4.将复数4[cos+isin]化成代数形式,正确的是(　　)
A.4 B.-4 C.4i D.-4i
5.已知复数z=i,则arg是(　　)
A. B. C. D.
6.设arg(3+4i)=θ,则arg(8-6i)为(　　)
A.2π-θ B.+θ
C.-θ D.+θ
7.4(cos π+isin π)÷2=(　　)
A.1+i B.1-i
C.-1+i D.-1-i
8.复数(cos 10°+isin 10°)6的三角形式为(　　)
A.sin 30°+icos 30° B.cos 60°+isin 60°
C.cos 30°+isin 30° D.sin 60°+icos 60°
9.设3+4i的辐角的主值为θ,则(3+4i)·i的辐角的主值是(　　)
A.+θ B.-θ
C.θ- D.-θ
10.在复平面内,把与复数a+bi(a,b∈R)对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转90°后所得向量对应的复数为(　　)
A.a-bi B.-a+bi
C.b-ai D.-b+ai
11.设z1=1-2i,z2=1+i,z3=-1+3i,则arg z1+arg z2+arg z3=(　　)
A. B. C. D.
二．填空题
12.设z=1+i,则复数的三角形式是　　　　　.
13.=　　　　　(用代数形式表示).
14.已知复平面内向量对应的复数为2+i,点A对应的复数为-1,现将绕点A按顺时针方向旋转90°后得到的向量为,则点C对应的复数为　　　　　.
三．解答题
15.把下列复数表示为代数形式.
(1)3;
(2);
(3)2.
16.求复数z=1+cos θ+isin θ(π<θ<2π)的模与辐角的主值.
17.写出下列复数z的倒数的模与辐角:
(1)z=10;
(2)z=2.
18.设复数z1=+i,复数z2满足|z2|=2,已知z1的对应点在虚轴的负半轴上,且arg z2∈(0,π),求z2的代数形式.
7.3.1　复数的三角表示式
7.3.2　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
一．选择题
1.B
∵z=(a+i)2=(a2-1)+2ai,arg z=,
∴∴a=-1.
2.D
r=1,cos θ=-.因为与-i对应的点在第二象限,所以可取θ=120°.
所以-i=cos 120°+isin 120°.
3.D
因为z=sin 50°-icos 50°=cos(90°-50°)-isin(90°-50°)=cos 40°-isin 40°=cos(360°-40°)+isin(360°-40°)=cos 320°+isin 320°,所以复数z的辐角的主值为320°.故选D.
4.D
4[cos+isin]=4[0+i(-1)]=-4i.故选D.
5.B
∵z=i,
∴.
∴arg.故选B.
6.D
∵arg(3+4i)=θ,∴cos θ=,sin θ=,0<θ<.
设arg(8-6i)=α,
则cos α=,sin α=-<α<2π.
∴α=+θ.
7.C
4(cos π+isin π)÷2=2[cos+isin]
=2=-1+i.故选C.
8.B
(cos 10°+isin 10°)6=cos 60°+isin 60°.
9.A
根据复数乘法的几何意义,可知(3+4i)·i对应的向量是由复数3+4i对应的向量绕点O按逆时针方向旋转得到的,因此(3+4i)·i的辐角的主值为θ+,故选A.
10.C
所求复数为=-(a+bi)i=b-ai,故选C.
11.C
∵z1·z2·z3=(1-2i)(1+i)(-1+3i)=(3-i)(-1+3i)=10i,
∴arg z1+arg z2+arg z3=+2kπ,k∈Z.
∵arg z1∈,arg z2∈,arg z3∈,
∴arg z1+arg z2+arg z3∈,
∴arg z1+arg z2+arg z3=.
二．填空题
12.
∵z=1+i,
∴=1-i,
∴r=,cos θ=.
又与1-i对应的点在第四象限,
∴arg(1-i)=.
∴1-i=.
13. -3-3i
原式=3[cos+isin]=3
=3=-3-3i.
14. -2i
向量对应的复数为=-(2+i)i=1-2i,
设O为坐标原点,
∵,
∴对应的复数为-1+(1-2i)=-2i.
即点C对应的复数为-2i.
三．解答题
15.
解:(1)3i.
(2)=-i.
(3)2=-i.
16.
解:z=1+cos θ+isin θ=2cos2+2i·sincos=2cos,
∵π<θ<2π,
∴<π,
∴cos<0.
∴z=-2cos=-2cos·[cos+isin].
∴|z|=-2cos.
又<π,
∴<π+<2π,
∴arg z=π+.
17.
解:(1)
=
=.
故的模为,辐角为-+2kπ(k∈Z).
(2)复数2i,模r=2,对应的点在第四象限,
且cos θ=,取θ=-,
所以2=2[cos+isin].
故
=.
所以的模为,辐角为+2kπ(k∈Z).
18.
解:因为z1=+i=2,
设z2=2(cos α+isin α),α∈(0,π),
所以z1=8[cos+isin].
由题设知2α+=2kπ+(k∈Z),
所以α=kπ+(k∈Z).
又因为α∈(0,π),
所以α=,
所以z2=2=-1+i.