黑龙江哈尔滨市第九中学2025-2026学年高三下学期高考第一次模拟考数学试卷（含答案）

哈九中 2025-2026 学年度高三下学期 第一次模拟考试数学试卷
(考试时间: 120 分钟 满分: 150 分 共 2 页) 第 I 卷 (共 58 分)
一、单选题(共 8 小题，每小题 5 分，每小题只有一个选项符合题意)
1. 已知复数 ，则 ( )
A. B. C. D. 1
2. 已知集合 是绝对值小于 3 的整数 ，则 的元素个数为( )
A. 1 B. 3 C. 7 D. 8
3. 若关于 的不等式 的解集为 ，则 ()
A. 5 B. 1 C. -1 D. -5
4. 如图,圆锥 的底面直径和高均是 2,过 的中点 作平行于底面的截面,以该截面为底面从圆锥中挖去一个圆柱, 则剩余的几何体的体积为 ( )
A. B.
C. D.
5. 已知定义域为 的函数 满足 ，且 为奇函数，则一定有( )
A. B. C. D.
6. 已知双曲线 的右焦点为 ,半焦距为 . 过 作 的一条渐近线的垂线,垂足为 ,且 的面积为 ,则 的离心率为 ( )
A. 2 B. 2 或 C. 2 或 D. 2 或
7. 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
8. 统计学中,常以前 个区间的平均长度估计所有区间的平均长度. 某工厂生产的零件以 个为一箱,成箱出售 . 每箱中的零件按照生产顺序,从 1 到 连续编号. 现从一箱中随机抽取 6 个零件,发现上面的编号从小到大依次为:12,15,33,38,55,60,则下列 4 个选项中,作为 的估计值，最合适的一项是( )
A. 61 B. 70 C. 98 D. 120
二、多选题(共3小题，每小题有多个选项符合题意，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分)
9. 在公比 为整数的等比数列 中, 是数列 的前 项和, , 则下列说法正确的是( )
A. B. 数列 是等比数列
C. D. 数列 是公差为 2 的等差数列
10. 函数 的部分图象如图所示,其中 , 则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 在区间 恰有一个零点
D. 将 图象向左移 个单位后关于 轴对称
11. 已知点 在圆 上, 为坐标原点,动点 满足: 在 中， . 则 ( )
A. 的轨迹方程为: B. 的最小值为 2
C. 的最小值是 D. 的最大值为
第 II 卷(共 92 分)
三、填空题(共 3 小题，每小题 5 分)
12. 若向量 满足 ，且 ，则 的值为_____.
13. 若直线 是曲线 的一条切线，则 _____.
14. 下图是由七个圆和八条线段构成的图形 (该图形不能旋转和翻转), 其中由同一条线段连通的两个圆称作 “相邻的圆”. 若将1,2,3,4,5,6,7这七个数字分别填入这七个圆中,且满足带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字，则符合要求的填法共有_____种.
四、解答题(共 5 小题，总计 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15. 在 中，内角 所对的边长分别是 ，
(1)求角 ；
(2)若 ,求 边上的高.
16. 已知椭圆 左焦点 ，离心率为
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 且斜率为 的直线交椭圆 于 ， 两点，若 ，求 的取值范围.
17. 如图,在四棱锥 中,底面 为菱形, 分别为 的中点.
(1)证明: 平面 ；
(2)若平面 平面 ，平面 与平面 夹角的余弦值为 ,求点 到平面 的距离.
18. 已知函数 ，其中 .
(1)讨论 的单调性;
(2)(i)当 时，证明: ；
(ii) 当 时,设 ,且 . 求证: .
19. 如下图,一动点 从点 出发,在正方形 的各顶点上移动. 每次移动时,动点 有 的概率沿水平方向向左或右移动一次,有 的概率沿竖直方向向上或下移动一次,每次移动独立. 设动点 移动了 步之后，停在点 的概率为 .
(1)求 ；
(2)求 的通项公式；
(3)记点 的前 次移动中，到达过点 的次数为 ，求证: .
参考公式: 若随机变量 服从两点分布且 ,则
哈九中2025-2026学年度高三年级下学期数学一模试卷0304参考答案
1-4 BCDB 5-8 CDAB............单选每题 5 分
9 AC 10 ACD 11 AC............多选每题 6
填空题每题 5 分
15.(1)根据正弦定理， ，2 分
因为 ,所以
所以 ,
所以 分
因为 分
所以 ,
因为 ,所以 分,未写角 范围扣 1 分
(2)根据余弦定理， ，2分
化简得, ,
又因为 且 ，解得 ， ， 2 分
因为 ,所以 为以 为斜边的直角三角形,
所以斜边 上的高为 ,2 分
16.(1)由已知， ，3 分
解得 ,所以 的方程为 分,只求出 ,忘记写椭圆方程扣 1 分
(2) 设 ， 1 分
将直线与椭圆方程联立 ,整理得 分,经检验 ,
根据韦达定理 1 分
因为 ，所以 ，即 分
所以 ,整理得 分将韦达定理代入得 ,
去分母后整理得 ,解得 ,2 分
17. (1) 取 的中点 ,连接 ,
在 中， 且 ，
在底面 中, 且 ,
所以 且 ,所以四边形 是平行四边形,
所以 ,3 分
又因为 平面 平面 ,
所以 平面 分,未写“ 平面 ” 扣 1 分
(2)取 中点 ，连接 ， ，
因为 ,所以 ,
又因为平面 平面 ,所以 平面 ,
因为 ，所以 为正三角形，所以 ，
因此，以 为原点，分别以 为 轴建系，设
则 ,正确说明建系 2 分
易知平面 的法向量可取 ,
设平面 的法向量为 ,
因为 ,可取 分
,解得 分
所以
设平面 的法向量为 ,
因为 ,可取 分
所以 分
18. (1) 分
① 当 时， 在 单调递增， 1 分
② 当 时,令 ,解得 分
当 时, ,当 时, ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,2 分
综上,当 时, 在 单调递增; 当 时, 在 上单调递增,在 上单调递减.
(2) 设 ,
则 分
因为 在 上单调递增, ,
所以当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；1 分
所以 ,当且仅当 时取等,1 分
所以 ,即 ,当且仅当 时取等; 1 分
(3)
法一:
由( 1 )已知,当 时, 在 单调递增;
因为 ,所以 ; 2 分
由(2)可知, ,
所以 ,3 分
因为 ,所以 分
所以 ,即 分
所以 ,1 分
所以
法二:
由( 1 )已知，当 时， 在 单调递增；
因为 ,所以 ; (同法一)
设 ,易知 在 上单调递增,1 分
所以当 时, ,即 ,1 分
上式整理得 ,即
设 ,所以 在 上单调递减,1 分
所以 ,即 ,
因为 ,所以 ,所以 ,即 ,
所以
所以 (同法一)
法三:
由(1)已知,当 时, 在 单调递增;
因为 ,所以 ; (同法一)
设 分
所以 ,所以 在 上单调递增,2 分
显然 ,所以 ,即 分
因为 ,所以 ,所以 ,即 分
根据基本不等式, ,所以 分
所以 ,1 分
所以
法四:
由( 1 )已知，当 时， 在 单调递增；
因为 ,所以 ; (同法一)
因为 ,所以
根据基本不等式, 分
设 ,所以 ,整理得 ,
设 ,
所以 分
所以 在 单调递减,在 单调递增,
所以 ,所以 为增函数,1 分
因为 ,所以当且仅当 时, ,
所以 分
根据基本不等式, ,所以 ,
所以
所以 (同法三)
19.(1)设事件 表示第 次沿水平方向移动，事件 表示第 次沿竖直方向移动，
2 分
2 分
另一种计算 的方法:
四次移动中,两上两下的概率为 ;
四次移动中,全部左右移动的概率为 ;
四次移动中,全部上下移动的概率是
相加得
(2)设连续移动两步，动点位置变化的概率为 ，动点位置不变的概率为
则 ;
根据全概率公式, 分
则 分
因为 ,所以 ,所以 分
(3)设移动 步之后，动点停留在点 的概率为 ，
则根据全概率公式, ,
又因为 ,所以 分,未单独验算首项扣 1 分
设随机变量 满足: ① 当移动 步之后,动点停留在点 ,则 ; ② 当移动 步之后,动点不停留在点 ,则 ;
显然 服从两点分布,且 分
所以 分,求和正确得 2 分, 放缩正确得 1 分