人教版八年级下册20.1勾股定理及其应用 同步练习（含解析）

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初中数学人教版20.1勾股定理及其应用同步精炼
一、选择题（30份）
1．如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是2，于点B，且，以A点为圆心，为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（　　）．
A． B． C． D．
2． 如图，在Rt中，CD是斜边AB中的中线，且，，则CD的长为(　　)
A．5 B．6 C．8 D．10
3．如图，一轮船以16海里/时的速度从港口出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（　　）
A．25海里 B．30海里 C．35海里 D．40海里
4．将一根长25cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的取值范围是（ ）
A．0≤h≤13 B．12≤h≤13 C．11≤h≤12 D．13≤h≤25
5． 某平板电脑支架如图所示，，为了使用的舒适性，可调整的大小. 若，则AD的长度为（　　）
A．12 B．18 C． D．15
6．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝4，AD＝CD，则AD CD（　　）
A．12 B．24 C．12 D．25
7．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长为（　　）
A．5 B．7 C． D． 或5
8．在中，斜边，则的值为（　　）
A． B． C． D．无法计算
9．如图，在中，，点在上，的长为（　　）
A． B． C． D．
10．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（　　）
A． B． C．6 D．
二、填空题（18份）
11．如图所示，是一段楼梯，高是3米，斜边长是5米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要　 　米．
12．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则　 　．
12题题 13题图
13．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为　 　．
14． 如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以点A和B为圆心、大于长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交边BC于点D.若，则CD的长为　 　。
15．工人师傅要做一个正方形的窗框，知道它的对角线长4米，则它的边长是　 　米．
16．如图，在，，．在内作正方形，使点，分别在两直角边，上，点，在斜边上，用同样的方法，在内作正方形；在内作正方形……，若，则正方形边长为　 　．
三、解答题（52分）
17．（8分）如图，在中，，于点D，，求的长．
18．（8分）海滨公园是珠海市市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为1.62米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降11米，则他应该往回收线多少米？
19．（9分）某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1）．如图（2），已知云梯最多只能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的B处救人后，还要从（即）高的D处救人．
（1）求．
（2）完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方3米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？
20．（9分）如图，在中，．
（1）尺规作图：在边上找出点D，使得；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接，若，求的长．
21．（10分）实验探究：
实验情景示意图
实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮A，一端固定在滑块B上，另一端固定在物体C上；（、B、C可以视作三个点） ②滑块B可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体C的高度．
初始状态 图1物体C静止在轨道上，其到滑轮A的垂直距离为，且．
实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略．
任务 （1）求绳子的总长度；
（2）图2若物体C升高，求滑块B向左滑动的距离．
22．（8分）如图，在笔直的铁路上A、B两点相距7km，C，D为两村庄，DA＝3km．CB＝4km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求AE的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：∵点A表示的数是，点B表示的数是2，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵点A表示的数是，
∴点D表示的数是：，
故选：C．
【分析】根据两点间距离可得AB，根据勾股定理可得AC，再根据数轴上点的位置即可求出答案.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，BC=8，AC=6
∴
∵CD是斜边AB的中线
∴
故答案为：A .
【分析】
本题考查勾股定理和直角三角形的中线的性质，熟知勾股定理和直角三角形中线的性质是解题关键.
根据勾股定理可得：在Rt△ABC中，，再根据直角三角形的中线性质：直角三角形斜边的中线=斜边的一半可知：，由此可得出答案.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴∠BAC=90°，
两小时后，两艘船分别行驶了16×2=32（海里），12×2=24（海里），即AB=32（海里），AC=24（海里）
∴BC=（海里）；
故答案为：D.
【分析】分别求出AB和AC的值，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出BBC的值即可求解.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：∵将一根长为25cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，
∴在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于以杯子高和底面直径为直角边的直角三角形的斜边长度，
∴当杯子中筷子最短是等于杯子的高时长度为12cm，
最长时等于以杯子高和底面直径为直角边的直角三角形的斜边长度是：，
∴h的取值范围是：25 13 h 25 12，
即12 h 13，
故选：B．
【分析】根据勾股定理即可求出答案.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：过点E作EH⊥AD于点H
∵
∴∠A=∠ADE，AD=2AH
∵∠AED=120°
∴
∵∠AHE=90°
∴
∴
∴AD=2AH=18
故答案为： B
【分析】过点E作EH⊥AD于点H，根据等腰三角形性质可得∠A=∠ADE，AD=2AH，，再根据含30°角的直角三角形可得，再根据勾股定理可得AH，即可求出答案.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：连接AC，
∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC2＝AB2＋BC2＝50，
∵∠D＝90°，AD＝CD，
∴AC2＝AD2＋CD2＝50，
∴AD2＝25，
∴AD CD＝AD2＝25，
故答案为：D．
【分析】
本题考查勾股定理，熟知勾股定理内容是解题关键．勾股定理：在直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方；连接AC，根据勾股定理可求得AC2，即：在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2＝50，再根据勾股定理：在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝50，化简得：AD2＝25，再由AD=CD可得：AD CD＝AD2＝25，由此可得出答案．
7．【答案】D
【解析】【解答】解：分两种情况：（1）边长为4的边为直角边，则第三边即为斜边，则第三边的长为 ；（2）边长为4的边为斜边，则第三边即为直角边，则第三边的长为 ，故答案为：D.
【分析】当3、4分别为直角边时，根据勾股定理可得第三边的长；当4为斜边，3为一条直角边时，由勾股定理可得第三边的长.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：∵在中，斜边为，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理可得：，由等式的性质并结合所求代数式，在等式两边同时加BC2可得=2BC2，再将BC=2代入计算即可求解.
9．【答案】D
【解析】【解答】解：在中，，
，
，
，
.
故答案为：D.
【分析】先根据勾股定理求出AD的长，再根据等角对等边得到，然后利用线段的和差计算即可.
10．【答案】B
【解析】【解答】解：设绳索的长是，则，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即绳索的长是，
故答案为：B．
【分析】设绳索的长是，则，利用勾股定理可得，再求出x的值即可.
11．【答案】7
【解析】【解答】解：∵是直角三角形，米，米，
∴米，
∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为米．
故答案为：7．
【分析】本题主要考察勾股定理的应用和平移的性质，根据平移的性质可知，铺楼梯的地毯最短长度等于楼梯的水平宽度与垂直高度之和，解题时先在中利用勾股定理求出水平宽度的长度，再将与的长度相加即可得到结果。
12．【答案】53
【解析】【解答】解：由题意知，
∴，
根据勾股定理得，，，
∴，
根据勾股定理得，，，
∴，
故答案为：53．
【分析】在Rt△AOD与Rt△BOC中，利用勾股定理得OA2+OD2=4，OB2+OC2=49，将两式相加得OA2+OD2+OB2+OC2 =53；在Rt△AOB中，OA2+OB2=AB2，在Rt△COD中，OC2+OD2=CD2，把两式相加再整体代入可得答案.
13．【答案】3
【解析】【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：，
∵ ，
∴每一个直角三角形的面积为：，
∴大正方形的面积为：，
．
故答案为：3．
【分析】本题首先确定中间小正方形的边长，这样，中间小正方形的面积就是（a-b）2，然后列式求出每一个直角三角形的面积，最后列式“大正方形的面积=4×直角三角形面积+中间小正方形面积”，即可解答.
14．【答案】3
【解析】【解答】解：如图所示，连接AD，
由作图过程可知，直线MN为线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵，
∴AC=4，
由勾股定理可得：，
∴，
解得：CD=3，
即CD的长为3，
故答案为：3.
【分析】根据线段垂直平分线的性质求出AD=BD，再利用勾股定理求出，最后计算求解即可。
15．【答案】
【解析】【解答】解：设边长为a米，已知对角线长为4米，
则由勾股定理知： ，
∴ ，
故答案为：．
【分析】根据正方形的性质结合勾股定理，即可求出边长．
16．【答案】
【解析】【解答】解：∵在，，，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
同理可以求出正方形的边长为，
正方形的边长为，
∴正方形的边长为，
∴正方形的边长为，
故答案为：．
【分析】先求出正方形的边长为，正方形的边长为，可得规律正方形的边长为，再将n=2024代入计算即可.
17．【答案】解：∵，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴的长为.
【解析】【分析】先求出，，然后在与中，利用勾股定理得到，最后代入数值进行求解.
18．【答案】（1）解：在中，
由勾股定理得，，
所以，（负值舍去），
所以，（米），
答：风筝的高度为17.62米；
（2）解：如图，
由题意得，米，
∴米，
∴（米），
∴（米），
∴他应该往回收线7米．
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得CD，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）由题意可得CM，再根据勾股定理可得BM，再根据边之间的关系即可求出答案.
19．【答案】（1）解：在中，
∵，，消防车高，
∴，
∴；
（2）解：在中，
∵，，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.
（2）根据边之间的关系可得OD，根据勾股定理可得OC，再根据边之间的关系即可求出答案.
20．【答案】（1）解：如图所示，点即为所求；
（2）解：设，由（1）知，
，
，
，，
，
，
，解得，
．
【解析】【分析】
（1）作线段的垂直平分线，交AC于点D，则点D满足；
（2）设则，又知BC=4，故而根据勾股定理可得出，解方程求解即可。
21．【答案】解：（1）物体C到定滑轮A垂直距离为，且，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
，，
绳子长度（）．
答：绳子总长度为18分米．
（2）如图2，由题意可知，，
若物体C升高，则此时（），
在中，由勾股定理得，（），
（）．
答：滑块B向左滑动的距离为．
【解析】【分析】（1）设，则，在中，利用求解，最后算出绳子长度即可；
（2）由题意可知，（），在中，由勾股定理得，，最后算得长度即可．
22．【答案】解：由题意知：DE＝CE，∠A＝90°，∠B＝90°，
设AE长为xkm，则EB长为（7－x）km
在Rt△EAD中，DE2＝32＋x2，
在Rt△EBC中，CE2＝42＋（7－x）2
∴32＋x2＝42＋（7－x）2，
解得x＝4
即AE＝4
【解析】【分析】设AE长为xkm，则EB长为（7－x）km，分别在Rt△EAD中和Rt△EBC中，利用勾股定理构建方程，求出x即可.