北京市第八十中学2025-2026学年高一上学期12月阶段检测数学试题（B卷）
1．（2025高一上·朝阳月考）设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高一上·朝阳月考）以下函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高一上·朝阳月考）已知{第一象限角}，{锐角}，{小于的角}，那么、、的关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高一上·朝阳月考）已知函数，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
5．（2025高一上·朝阳月考）函数（ ）
A．有最大值，也有最小值 B．没有最大值，有最小值
C．有最大值，没有最小值 D．没有最大值，也没有最小值
6．（2025高一上·朝阳月考）已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高一上·朝阳月考）设函数的定义域为，开区间，则“且，都有”是“在上是减函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2025高一上·朝阳月考）点声源亦称“球面声源”或“简单声源”.已知点声源在空间中传播时，衰减量（单位：）与传播距离（单位：）的关系式为，其中为常数.当传播距离为时，衰减量为；当传播距离为时，衰减量为.若，则约为（ ）（参考数据：）
A．6dB B．4dB C．3dB D．2dB
9．（2025高一上·朝阳月考）对于函数，下列结论错误的是（ ）
A．的图象关于轴对称；
B．在上单调递减；
C．当时，有最大值；
D．的值域为；
10．（2025高一上·朝阳月考）已知是各项均为正整数的函数，且，对与有且仅有一个成立，则的最小值为（ ）
A．21 B．20 C．19 D．18
11．（2025高一上·朝阳月考） .
12．（2025高一上·朝阳月考）设函数.已知，且的最小值为，则 .
13．（2025高一上·朝阳月考）函数在区间上单调递增，则的取值范围是 .
14．（2025高一上·朝阳月考）已知为正实数且满足，则的最大值是 ，的最大值为 .
15．（2025高一上·朝阳月考）设函数若存在点在函数的图象上，则的一个取值为 ，的最小值为 ．
16．（2025高一上·朝阳月考）设集合.
（1）若，求的值；
（2）在（1）的条件下，求.
17．（2025高一上·朝阳月考）已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并用定义证明你的结论；
（3）若函数，求实数的取值范围.
18．（2025高一上·朝阳月考）在平面直角坐标系中，角和角的顶点均与坐标原点重合，始边均为轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于两点，且两点关于轴对称.
（1）若点的纵坐标为，求的值；
（2）若，求的值；
（3）若，求的最小值及取得最小值时相应的值.
19．（2025高一上·朝阳月考）若函数满足下列条件：在定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质；反之，若不存在，则称函数不具有性质.
（1）判断函数是否具有性质，若具有性质，求出对应的的值；若不具有性质，说明理由.
（2）已知函数具有性质，求的取值范围.
（3）证明函数具有性质.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算；Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：解不等式，可得，即集合，
集合，则阴影部分表示的集合为.
故答案为：A.
【分析】先解一元二次不等式求得集合B，再根据韦恩图，结合集合补集、交集运算求解即可.
2．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为，为奇函数，且在上单调递增，故A不符合；
B、函数是上的偶函数，故B不符合；
C、函数是上的奇函数，且在上不单调，故C不符合；
D、函数是上的奇函数，且在上单调递减，故D符合.
故答案为：D.
【分析】根据函数的奇偶性和单调性逐项判断即可.
3．【答案】B
【知识点】任意角；象限角、轴线角
【解析】【解答】解：A、角是第一象限角且是小于的角，但不是锐角，，故A错误；
B、锐角是大于小于的角，是的真子集，，故B正确；
C、角是第一象限角，大于，则不是的子集，故C错误；
D、锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角，是的真子集，故D错误
故答案为：B.
【分析】举特例是第一象限角且是小于，但不是锐角即可判断A；根据锐角的概念，结合集合包含关系即可判断B；举特例即可判断C；根据锐角，第一象限角，以及小于的定义即可判断D.
4．【答案】C
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：函数，则.
故答案为：C.
【分析】根据分段函数的解析式，直接代值计算即可.
5．【答案】B
【知识点】指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：函数，
设，则，
易知当函数单调递减，当函数单调递增，
故当时，函数取最小值，无最大值.
故答案为：B.
【分析】设，函数化为，利用二次函数单调性求解即可.
6．【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：易知，，
则.
故答案为：C.
【分析】根据对数函数的运算，结合指数函数的单调性比较大小即可.
7．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：设函数，，满足，都有，但函数在上单调递增，在上单调递减，则函数在上不是减函数，即充分性不成立；
反之在上是减函数，且，都有，即必要性成立，
则“且，都有”是“在上是减函数”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】设函数，利用减函数的定义，结合充分、必要条件的定义判断即可.
8．【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：，
因为，所以.
故答案为：A.
【分析】由题意，，根据对数的运算化简求近似值即可.
9．【答案】D
【知识点】函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
A、函数的定义域关于原点对称，满足，则函数是偶函数，图象关于轴对称，故A正确；
B、当时，，易知在上单调递减，故B正确；
C、函数，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，则，故C正确；
D、由，可得，则的值域不为，故D错误.
故答案为：D.
【分析】先求函数的定义域，利用奇偶性的定义即可判断A；当时，化函数判断函数的单调性即可判断B；函数利用函数单调性求最值即可判断C；由，可得，则的值域不为即可判断D.
10．【答案】A
【知识点】函数的最大（小）值；抽象函数及其应用
【解析】【解答】解： 由已知得，所以，
若，因为，所以，
故，所以；
若，则；
综上可知，任意，都有，.
若，则，
当时，，若，则，与条件相矛盾；
当时，，若，则，与条件相矛盾；
当时，，若，则可以取8，
此时，
当时，，若，则，
此时；
当时，，又，则；
当时，，则；
若，则，则，
则；
若，则，则，
则，
若，则，
则，
综上最小值为，故A正确.
故答案为：A.
【分析】由递推关系分析的取值，再利用已知条件和分类讨论的方法，再利用函数求最值的方法，从而得出的最小值.
11．【答案】
【知识点】三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】利用诱导公式，结合特殊角的三角函数值求值即可.
12．【答案】8
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：易知函数的最大值为1，
因为且的最小值为，
所以函数的周期，则.
故答案为：8.
【分析】易知函数的最大值为1，根据函数的最值与周期的关系可得，再根据周期计算公式求解即可.
13．【答案】
【知识点】余弦函数的性质
【解析】【解答】解：当时，，
因为函数在区间上单调递增，所以，解，
则的取值范围是.
故答案为：.
【分析】由题意可得，根据余弦函数的单调性，列不等式求解即可.
14．【答案】；
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，且，
则，当且仅当时等号成立，即，当且仅当时等号成立，故以的最大值是；
由不等式链可得，当且仅当时等号成立，
即，当且仅当时等号成立，
则，即，，当且仅当时等号成立，
故以的最大值为.
故答案为：；.
【分析】直接利用基本不等式求的最大值即可；利用不等式链，可得，即可得的最大值.
15．【答案】1；0
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解：当时，将点代入，可得，解得，则的一个取值为；
当时，将点代入，可得，则，
由题意，方程在上有解，因为，所以，则的最小值为.
故答案为：1；0.
【分析】当，将点代入，求解第一空；当，将点代入，结合一元二次方程性质求解第二空即可.
16．【答案】（1）解：由集合，
可得是方程的两个根，且，则，解得，故；
（2）解：易知，
由（1）知，，或，
则或.
【知识点】交、并、补集的混合运算；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由集合B可知是方程的两个根，利用韦达定理列式求解即可；
（2）先解不等式求集合A，再根据集合的补集求，化最后根据集合交集的定义求解即可.
（1）由，得是方程的两个根，且，
则，解得，所以.
（2）由（1）知，，或，
，
所以或.
17．【答案】（1）解：要使函数有意义，则，解得，
故函数的定义域为；
（2）解：函数为奇函数，证明如下：
由（1）知函数的定义域关于原点对称，满足，
即，则函数为奇函数；
（3）解：，
函数等价于，则，解得，
，则，解得，
综上，可得的解集为，即实数的取值范围是.
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的奇偶性；指、对数不等式的解法
【解析】【分析】（1）根据对数有意义，列式求解即可；
（2）根据函数奇偶性的定义判断即可；
（3）化函数为，不等式，即，再结合定义域解不等式组即可.
（1）要使函数有意义，
，解得，
故函数的定义域为.
（2）函数为奇函数，证明如下：
由（1）知函数的定义域关于原点对称，
由，即
所以函数为奇函数.
（3）因为
所以函数等价于，
由于函数在上单调递增，所以，
解不等式得；
，则，解得，
综上，可得的解集为，
即实数的取值范围是.
18．【答案】（1）解： 若点的纵坐标为，则，
因为，所以，
则；
（2）解：由，可得，
因为，所以，，所以；
（3）解：由两点关于轴对称，可得，
，
因为，所以，
所以当时，有最大值，此时；
当时，有最小值，此时；
所以当时，有最小值，此时，
故时，有最大值，此时.
综上，当时，有最小值.
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）利用任意角的三角函数的定义以及同角三角函数基本关系分别求得，，再利用诱导公式化简求值即可；
（2）利用诱导公式可得，讨论的范围得，再根据同角三角函数关系求解即可；
（3）由题知，进而根据诱导公式得，再根据得当时，有最小值，再转化为的值即可.
（1）因为点的纵坐标为，所以，
因为，所以，
所以
（2）因为，
所以，
因为，所以，，
所以
（3）由两点关于轴对称得，
所以，
因为，所以，
所以当时，有最大值，此时；
当时，有最小值，此时；
所以当时，有最小值，此时，
时，有最大值，此时.
综上，当时，有最小值.
19．【答案】（1）解：函数的定义域为R，假定函数具有性质，
则，即，解得，
故函数具有性质M，且；
（2）解：函数的定义域为R，，
由函数具有性质M，可得存在，使得，
即，化简整理得，
由题意，方程有实根，
当时，，因此；
当时，则，即，解得，因此且，
故的取值范围是；
（3）证明：函数定义域为R，
由，得，整理得，
令函数，，
由，，得，使得，即成立，
因此成立，故函数具有性质M.
【知识点】对数的性质与运算法则；一元二次方程的根与系数的关系；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，假设是否具有性质 ，则，列式求并判断即可；
（2）先求的定义域，由函数具有性质，可得，等价变形此等式，利用关于的方程有实根求出范围；
（3）由函数具有性质，可得，利用给定的定义列式，结合零点存在性定理推理证明即可.
（1）函数的定义域为R，假定函数具有性质，
由，得，解得，
所以函数具有性质M，且.
（2）函数的定义域为R，，
由函数具有性质M，得存在，，
即，化简整理得，
依题意，方程有实根，
当时，，因此；
当时，则，即，
解得，因此且，
所以的取值范围是.
（3）函数定义域为R，由，得，
整理得，令函数，，
由，，得，使得，即成立，
因此成立，所以函数具有性质M.
1 / 1北京市第八十中学2025-2026学年高一上学期12月阶段检测数学试题（B卷）
1．（2025高一上·朝阳月考）设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算；Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：解不等式，可得，即集合，
集合，则阴影部分表示的集合为.
故答案为：A.
【分析】先解一元二次不等式求得集合B，再根据韦恩图，结合集合补集、交集运算求解即可.
2．（2025高一上·朝阳月考）以下函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为，为奇函数，且在上单调递增，故A不符合；
B、函数是上的偶函数，故B不符合；
C、函数是上的奇函数，且在上不单调，故C不符合；
D、函数是上的奇函数，且在上单调递减，故D符合.
故答案为：D.
【分析】根据函数的奇偶性和单调性逐项判断即可.
3．（2025高一上·朝阳月考）已知{第一象限角}，{锐角}，{小于的角}，那么、、的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】任意角；象限角、轴线角
【解析】【解答】解：A、角是第一象限角且是小于的角，但不是锐角，，故A错误；
B、锐角是大于小于的角，是的真子集，，故B正确；
C、角是第一象限角，大于，则不是的子集，故C错误；
D、锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角，是的真子集，故D错误
故答案为：B.
【分析】举特例是第一象限角且是小于，但不是锐角即可判断A；根据锐角的概念，结合集合包含关系即可判断B；举特例即可判断C；根据锐角，第一象限角，以及小于的定义即可判断D.
4．（2025高一上·朝阳月考）已知函数，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：函数，则.
故答案为：C.
【分析】根据分段函数的解析式，直接代值计算即可.
5．（2025高一上·朝阳月考）函数（ ）
A．有最大值，也有最小值 B．没有最大值，有最小值
C．有最大值，没有最小值 D．没有最大值，也没有最小值
【答案】B
【知识点】指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：函数，
设，则，
易知当函数单调递减，当函数单调递增，
故当时，函数取最小值，无最大值.
故答案为：B.
【分析】设，函数化为，利用二次函数单调性求解即可.
6．（2025高一上·朝阳月考）已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：易知，，
则.
故答案为：C.
【分析】根据对数函数的运算，结合指数函数的单调性比较大小即可.
7．（2025高一上·朝阳月考）设函数的定义域为，开区间，则“且，都有”是“在上是减函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：设函数，，满足，都有，但函数在上单调递增，在上单调递减，则函数在上不是减函数，即充分性不成立；
反之在上是减函数，且，都有，即必要性成立，
则“且，都有”是“在上是减函数”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】设函数，利用减函数的定义，结合充分、必要条件的定义判断即可.
8．（2025高一上·朝阳月考）点声源亦称“球面声源”或“简单声源”.已知点声源在空间中传播时，衰减量（单位：）与传播距离（单位：）的关系式为，其中为常数.当传播距离为时，衰减量为；当传播距离为时，衰减量为.若，则约为（ ）（参考数据：）
A．6dB B．4dB C．3dB D．2dB
【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：，
因为，所以.
故答案为：A.
【分析】由题意，，根据对数的运算化简求近似值即可.
9．（2025高一上·朝阳月考）对于函数，下列结论错误的是（ ）
A．的图象关于轴对称；
B．在上单调递减；
C．当时，有最大值；
D．的值域为；
【答案】D
【知识点】函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
A、函数的定义域关于原点对称，满足，则函数是偶函数，图象关于轴对称，故A正确；
B、当时，，易知在上单调递减，故B正确；
C、函数，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，则，故C正确；
D、由，可得，则的值域不为，故D错误.
故答案为：D.
【分析】先求函数的定义域，利用奇偶性的定义即可判断A；当时，化函数判断函数的单调性即可判断B；函数利用函数单调性求最值即可判断C；由，可得，则的值域不为即可判断D.
10．（2025高一上·朝阳月考）已知是各项均为正整数的函数，且，对与有且仅有一个成立，则的最小值为（ ）
A．21 B．20 C．19 D．18
【答案】A
【知识点】函数的最大（小）值；抽象函数及其应用
【解析】【解答】解： 由已知得，所以，
若，因为，所以，
故，所以；
若，则；
综上可知，任意，都有，.
若，则，
当时，，若，则，与条件相矛盾；
当时，，若，则，与条件相矛盾；
当时，，若，则可以取8，
此时，
当时，，若，则，
此时；
当时，，又，则；
当时，，则；
若，则，则，
则；
若，则，则，
则，
若，则，
则，
综上最小值为，故A正确.
故答案为：A.
【分析】由递推关系分析的取值，再利用已知条件和分类讨论的方法，再利用函数求最值的方法，从而得出的最小值.
11．（2025高一上·朝阳月考） .
【答案】
【知识点】三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】利用诱导公式，结合特殊角的三角函数值求值即可.
12．（2025高一上·朝阳月考）设函数.已知，且的最小值为，则 .
【答案】8
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：易知函数的最大值为1，
因为且的最小值为，
所以函数的周期，则.
故答案为：8.
【分析】易知函数的最大值为1，根据函数的最值与周期的关系可得，再根据周期计算公式求解即可.
13．（2025高一上·朝阳月考）函数在区间上单调递增，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】余弦函数的性质
【解析】【解答】解：当时，，
因为函数在区间上单调递增，所以，解，
则的取值范围是.
故答案为：.
【分析】由题意可得，根据余弦函数的单调性，列不等式求解即可.
14．（2025高一上·朝阳月考）已知为正实数且满足，则的最大值是 ，的最大值为 .
【答案】；
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，且，
则，当且仅当时等号成立，即，当且仅当时等号成立，故以的最大值是；
由不等式链可得，当且仅当时等号成立，
即，当且仅当时等号成立，
则，即，，当且仅当时等号成立，
故以的最大值为.
故答案为：；.
【分析】直接利用基本不等式求的最大值即可；利用不等式链，可得，即可得的最大值.
15．（2025高一上·朝阳月考）设函数若存在点在函数的图象上，则的一个取值为 ，的最小值为 ．
【答案】1；0
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解：当时，将点代入，可得，解得，则的一个取值为；
当时，将点代入，可得，则，
由题意，方程在上有解，因为，所以，则的最小值为.
故答案为：1；0.
【分析】当，将点代入，求解第一空；当，将点代入，结合一元二次方程性质求解第二空即可.
16．（2025高一上·朝阳月考）设集合.
（1）若，求的值；
（2）在（1）的条件下，求.
【答案】（1）解：由集合，
可得是方程的两个根，且，则，解得，故；
（2）解：易知，
由（1）知，，或，
则或.
【知识点】交、并、补集的混合运算；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由集合B可知是方程的两个根，利用韦达定理列式求解即可；
（2）先解不等式求集合A，再根据集合的补集求，化最后根据集合交集的定义求解即可.
（1）由，得是方程的两个根，且，
则，解得，所以.
（2）由（1）知，，或，
，
所以或.
17．（2025高一上·朝阳月考）已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并用定义证明你的结论；
（3）若函数，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：要使函数有意义，则，解得，
故函数的定义域为；
（2）解：函数为奇函数，证明如下：
由（1）知函数的定义域关于原点对称，满足，
即，则函数为奇函数；
（3）解：，
函数等价于，则，解得，
，则，解得，
综上，可得的解集为，即实数的取值范围是.
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的奇偶性；指、对数不等式的解法
【解析】【分析】（1）根据对数有意义，列式求解即可；
（2）根据函数奇偶性的定义判断即可；
（3）化函数为，不等式，即，再结合定义域解不等式组即可.
（1）要使函数有意义，
，解得，
故函数的定义域为.
（2）函数为奇函数，证明如下：
由（1）知函数的定义域关于原点对称，
由，即
所以函数为奇函数.
（3）因为
所以函数等价于，
由于函数在上单调递增，所以，
解不等式得；
，则，解得，
综上，可得的解集为，
即实数的取值范围是.
18．（2025高一上·朝阳月考）在平面直角坐标系中，角和角的顶点均与坐标原点重合，始边均为轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于两点，且两点关于轴对称.
（1）若点的纵坐标为，求的值；
（2）若，求的值；
（3）若，求的最小值及取得最小值时相应的值.
【答案】（1）解： 若点的纵坐标为，则，
因为，所以，
则；
（2）解：由，可得，
因为，所以，，所以；
（3）解：由两点关于轴对称，可得，
，
因为，所以，
所以当时，有最大值，此时；
当时，有最小值，此时；
所以当时，有最小值，此时，
故时，有最大值，此时.
综上，当时，有最小值.
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）利用任意角的三角函数的定义以及同角三角函数基本关系分别求得，，再利用诱导公式化简求值即可；
（2）利用诱导公式可得，讨论的范围得，再根据同角三角函数关系求解即可；
（3）由题知，进而根据诱导公式得，再根据得当时，有最小值，再转化为的值即可.
（1）因为点的纵坐标为，所以，
因为，所以，
所以
（2）因为，
所以，
因为，所以，，
所以
（3）由两点关于轴对称得，
所以，
因为，所以，
所以当时，有最大值，此时；
当时，有最小值，此时；
所以当时，有最小值，此时，
时，有最大值，此时.
综上，当时，有最小值.
19．（2025高一上·朝阳月考）若函数满足下列条件：在定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质；反之，若不存在，则称函数不具有性质.
（1）判断函数是否具有性质，若具有性质，求出对应的的值；若不具有性质，说明理由.
（2）已知函数具有性质，求的取值范围.
（3）证明函数具有性质.
【答案】（1）解：函数的定义域为R，假定函数具有性质，
则，即，解得，
故函数具有性质M，且；
（2）解：函数的定义域为R，，
由函数具有性质M，可得存在，使得，
即，化简整理得，
由题意，方程有实根，
当时，，因此；
当时，则，即，解得，因此且，
故的取值范围是；
（3）证明：函数定义域为R，
由，得，整理得，
令函数，，
由，，得，使得，即成立，
因此成立，故函数具有性质M.
【知识点】对数的性质与运算法则；一元二次方程的根与系数的关系；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，假设是否具有性质 ，则，列式求并判断即可；
（2）先求的定义域，由函数具有性质，可得，等价变形此等式，利用关于的方程有实根求出范围；
（3）由函数具有性质，可得，利用给定的定义列式，结合零点存在性定理推理证明即可.
（1）函数的定义域为R，假定函数具有性质，
由，得，解得，
所以函数具有性质M，且.
（2）函数的定义域为R，，
由函数具有性质M，得存在，，
即，化简整理得，
依题意，方程有实根，
当时，，因此；
当时，则，即，
解得，因此且，
所以的取值范围是.
（3）函数定义域为R，由，得，
整理得，令函数，，
由，，得，使得，即成立，
因此成立，所以函数具有性质M.
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