字节精准教育联盟·AI赋能2025-2026学年高三上学期期末综合能力调查数学试题
1．（2026高三上·四川期末）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，
又因为，所以.
故答案为：C.
【分析】由元素与集合的关系和已知条件，从而得出集合，再利用交集的运算法则，从而得出集合．
2．（2026高三上·四川期末）若复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：复数，易知，，则.
故答案为：A.
【分析】根据共轭复数的定义以及复数模的公式先分别求和，代入即可得.
3．（2026高三上·四川期末）设函数的图象在点处切线的斜率为，则函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的图象；导数的几何意义
【解析】【解答】解：∵函数，
，，
又因为，函数为奇函数，
则函数的图象关于原点对称，故排除选项B和选项C；
当时，函数值为正，
则函数的图象位于第一象限，故排除选项D.
故答案为：A.
【分析】先求出函数的导数，再根据函数在点的导数为切线的斜率，从而求出函数的解析式，再根据函数的奇偶性和函数在上的取值范围，从而逐项判断找出函数的大致图象.
4．（2026高三上·四川期末）如图茶杯的形状是一个上宽下窄的正四棱台，上底面边长为下底面边长的2倍，容积为28mL，厚度忽略不计.当倒入14mL茶水时，茶水的高度与茶杯的高度之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】锥体的体积公式及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：延长正四棱台的各条侧棱，交于一点，如图所示；
设正四棱台的下底面边长为，则上底面边长为，高为，四棱锥的高，
由题意可得：，即，
设茶水的高为，则，即，
故.
故答案为：D.
【分析】延长正四棱台的各条侧棱，交于一点，设正四棱台的下底面边长为，则上底面边长为，高为，由，求得，设茶水的高为，结合题意，得到，求茶水的高度与茶杯的高度之比即可.
5．（2026高三上·四川期末）函数的单调减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复合函数的单调性；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由，可得或，
所以的定义域为，
对于，开口向上且对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，而单调递增，
所以的单调递减区间为.
故答案为：A
【分析】将该函数为对数函数与二次函数的复合函数，由复合函数单调性得的单调递减区间.
6．（2026高三上·四川期末）某寝室安排3人打扫下一周5天的寝室卫生，每天只安排1人，每人至少打扫1天，则有多少种不同的安排方法（ ）
A．120 B．150 C．240 D．300
【答案】B
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①将5天分成3组，
若分成1、1、3的三组，有种分组方法；
若分成1、2、2的三组，有种分组方法，
则将5天分成3组，有种分组方法；
②将分好的三组全排列，对应3人，有种情况，
所以，不同的安排方式则有种.
故答案为：B．
【分析】根据题意，分2步进行分析：①分两种情况讨论将5天分成3组的情况数目；②将分好的三组全排列，对应3人，再由组合数公式、排列数公式以及分类加法计数原理和分步乘法计数原理，从而得出满足题意的不同安排方法种数.
7．（2026高三上·四川期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设P为第一象限的交点，，
则，解得，，
在中，由余弦定理，得，
所以，
则，
整理得，所以，
则，
设，，，
因为，所以，
则，所以或，
当时，，舍去，
当时，满足题意，此时，
所以.
故答案为：C．
【分析】在中，由余弦定理得出与的关系式，再利用椭圆的离心率公式和双曲线的离心率公式，再变形得出的值，再由三角换元法，设，，，再利用辅助角公式结合分类讨论的方法，从而得出的值，进而得出的值．
8．（2026高三上·四川期末）设函数，已知在上有且仅有3个零点，则下列结论正确的是（ ）
A．在上有3个极值点 B．在上有2个最大值点
C．在上单调递增 D．的取值范围为
【答案】D
【知识点】函数在某点取得极值的条件；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数零点存在定理；辅助角公式
【解析】【解答】解：对于选项D，因为，
当时，，
要想在上有且仅有3个零点，
则，解得，故D正确；
对于选项A，当时，，
因为，所以，
若，则当时，在上有2个极值点；
若，则当时，在上有3个极值点，
所以在上有2个极值点或3个极值点，故A错误；
对于选项B，由选项A知，若，则当时，
在上有1个最大值点；
若，则当时，在上有2个最大值点，
所以，函数在上有1个或2个最大值点，故B错误；
对于选项C，当时，则，
因为，所以，
又因为在上不单调，
所以在上不单调，故C错误.
故答案为：D.
【分析】利用三角恒等变换得到函数，利用已知条件和导数求极值点的方法，从而函数在上的极值点个数，则判断出选项A；根据得到，再利用换元法和正弦型函数求最值的方法，从而得出正弦型函数的最值，进而得出函数在上的最大值点的个数，则判断出选项B；利用x的取值范围和换元法以及正弦函数的单调性，从而判断出正弦型函数的单调性，则判断出选项C；利用x的取值范围和零点存在性定理，再利用已知条件得出的取值范围，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
9．（2026高三上·四川期末）民营经济是推进中国式现代化的生力军.为了更好地支持民营企业的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免.某机构调查了当地的中小型民营企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ）
A．样本数据落在区间内的频率为0.45
B．若规定年收入在500万元以内的民营企业才能享受减免税政策，估计有的当地中小型民营企业能享受到减免税政策
C．若该调查机构调查了100家民营企业，则年收入不少于400万元的有80家
D．根据频率分布直方图估计样本的中位数为500万元
【答案】A,B
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：由，解得；
A、数据落在区间内的频率为，故A正确；
B、数据落在区间内的频率为，故B正确；
C、，年收入大于或等于400万元的有四组，
其频率和是，
所以符合条件的民营企业有家，故C错误；
D、数据落在区间内的频率为0.3，
数据落在区间内的频率为，
估计中位数为，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】先根据频率分布直方图各矩形面积和为1列式求得a的值，再根据频率分布直方图逐项求解判断即可.
10．（2026高三上·四川期末）下列说法正确的是（ ）
A．若幂函数的图象过点，则
B．若函数的定义域为，则函数的定义域为
C．若函数在上只有一个零点，则实数a的范围为
D．函数的单调增区间为
【答案】A,C
【知识点】函数的定义域及其求法；幂函数的概念与表示；利用导数研究函数的单调性；余弦函数的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、令幂函数，由题意可得，解得，
则，，故A正确；
B、函数的定义域为，即，则，则函数的定义域为，
由，解得，因此函数的定义域为，故B错误；
C、函数在上只有一个零点，则，无解，
或，解得，则实数a的范围为，故C正确；
D、由，得，而，解得，
因此函数的单调增区间为，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】令幂函数，将点代入求得解析式，再代值求解即可判断A；根据抽象函数的定义域求法求解即可判断B；根据一元二次方程实根分布求解即可判断C；求导，令，结合三角函数的性质求解即可判断D.
11．（2026高三上·四川期末）如图，在棱长为1的正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的是（ ）
A．平面平面
B．平面
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．若点为棱的中点，则由，，三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为
【答案】A,B,D
【知识点】棱柱的结构特征；异面直线所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：对于A，在正方体中，由平面，平面，
可得，
又因为，平面且，
所以平面，
又因为平面，所以，
因为在平面内的投影为，又因为，
所以，
因为，平面，
所以平面，又因为平面，
所以平面平面，故A正确；
对于B，正方体中与平行且相等，则是平行四边形，
，平面，平面，所以平面，
同理平面，，都在平面内，
所以平面平面，
因为平面，所以平面，故B正确；
对于C，与A选项同理可证平面，
当是与交点时，平面，
，异面直线与所成角为，故C错误；
对于D，设的中点为，连接，，，，如图所示，
因为分别为的中点，
由正方体性质可知，且，所以四点共面，
即由三点确定的平面与正方体相交形成的截面为四边形，
因为正方体的棱长为1，
所以，，则，
故四边形的周长为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由已知条件和面面垂直的判定定理，则可判断选项A；由面面平行的性质定理得出线面平行，则可判断选项B；由选项A得出线面垂直，再利用线面垂直的定义得出线线垂直，从而得出异面直线与所成角，则可判断选项C；由基本事实1作出由，，三点确定的平面与正方体相交形成的截面，再利用勾股定理和四边形求周长公式，则可判断选项D，从而找出判断正确的选项.
12．（2026高三上·四川期末）在边长为1的正方形中，，为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；平面向量的基本定理；平面向量数量积的坐标表示；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：如图，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
依题意，得，
设，
则，
所以，
因为，
又因为，则当时，取得最小值为.
故答案为：.
【分析】依题意建系由已知分别求出的坐标，利用数量积的坐标公式化简计算得出，再结合和二次函数求最值的方法，从而得出的最小值.
13．（2026高三上·四川期末）设为抛物线 的焦点，过的直线与相交于两点，过点作的切线，与轴交于点，与轴交于点，则(其中为坐标原点) 的值为
【答案】
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由抛物线，得，
设直线的方程为，，
、
联立，消得，
则，
由，得，
所以过点作的切线的斜率为，
故切线方程为，即，
令，则；令，则，
即，
则，
所以.
故答案为：.
【分析】设直线的方程为，，联立直线AB与抛物线的方程，利用韦达定理求出，再根据导数的几何意义求出切线方程，再赋值求出两点的坐标，从而得出向量的坐标，再由数量积的坐标表示得出的值.
14．（2026高三上·四川期末）如图，在中，斜边，，在以为直径的半圆上有一点（不含端点），，设的面积，的面积.
（1）若，求 ；（2）令则的最大值为 .
【答案】；
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；含三角函数的复合函数的值域与最值；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为中，，，
所以，，，
又因为为以为直径的半圆上一点，所以，
在中，，，，
作于点，如图，
则，
所以，
，
若，则，
因为，所以，
则，
整理得，
所以，则，
由，
则
，
因为，所以，
当时，即当时，有最大值．
故答案为：，.
【分析】根据已知条件，用结合三角形的面积公式，则表示出、，再分别由、结合三角恒等变换和正弦型函数求最值的方法，从而求出角和S的最大值.
15．（2026高三上·四川期末）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，求实数的值.
【答案】（1）解：当时，，
则，
所以，，
则在点处的切线方程为，
即.
（2）解：因为，
令，
则，
又因为，.
①当时，当时，，则单调递减，
因为，所以；
当时，，则单调递增，
因为，则当时，；
当时，，所以在单调递减，在单调递增，
则符合题意；
②当时，，存在，使得，
当时，，则单调递减，
所以不符合题意；
③当时，，
则存在，使得当时，，
则单调递增，所以不符合题意；
综上所述，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，利用导数的几何意义得出切线的斜率，再根据代入法得出切点的坐标，最后由直线的点斜式方程得出曲线在点处的切线方程.
（2）由求导的方法，从而得出，，再分类讨论与的大小关系，利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最值，再根据已知条件得出实数a的值.
（1）当时，，
，
，，
在点处的切线方程为，
即；
（2），令，
则，
，，
①当时，
时，，单调递减，
由于，则，
时，，单调递增，
由于，则时，，
时，，
所以在单调递减，在单调递增，
所以符合题意；
②当时，，存在使得，
当时，，单调递减，
不符合题意；
③当时，，
则存在，使得当时，，单调递增，
则不符合题意；
综上.
16．（2026高三上·四川期末）中国的航天事业历经数十年的发展，已经形成了完整的航天技术体系，涵盖运载火箭、载人航天、深空探测等多个领域.某学校为了解学生对航天工程的关注情况，随机从该校学生中抽取男生和女生各100人进行调查，调查结果如下表：
关注 不关注 合计
男生 75 25 100
女生 55 45 100
合计 130 70 200
（1）根据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生对航天工程的关注情况与性别有关？
（2）从这200人中随机选出了3名男生和5名女生作为代表，其中有2名男生和2名女生关注航天工程.现从这8名代表中任选2名男生和3名女生进一步交流，求这5人中恰有2人关注航天工程的概率.
参考公式及参考数据：
.
0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）解：零假设：该校学生对航天工程的关注与性别无关，
根据列联表，可得：，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为该校学生对航天工程的关注与性别有关，该推断犯错误的概率不超过0.005.
（2）解：设进一步交流的男生中关注航天工程的人数为，
女生中关注航天工程的人数为，
从这8名代表中任选2名男生和3名女生的选法有种，
则
，
所以，这5人中恰有2人关注航天工程的概率为.
【知识点】独立性检验的应用；互斥事件的概率加法公式；超几何分布
【解析】【分析】（1）根据卡方计算公式结合独立性检验的方法，则认为该校学生对航天工程的关注与性别有关，该推断犯错误的概率不超过0.005.
（2）利用超几何分布求出对应的概率，再利用互斥事件加法求概率公式，从而得出这5人中恰有2人关注航天工程的概率.
（1）零假设：该校学生对航天工程的关注与性别无关，
根据列联表可得：
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为该校学生对航天工程的关注与性别有关，该推断犯错误的概率不超过0.005.
（2）设进一步交流的男生中关注航天工程的人数为，女生中关注航天工程的人数为，
从这8名代表中任选2名男生和3名女生的选法有种，
则
，
即这5人中恰有2人关注航天工程的概率为.
17．（2026高三上·四川期末）如图，已知四棱锥的底面是边长为的菱形，平面，是的中点，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，且平面与平面的夹角余弦值为，求四棱锥的体积.
【答案】（1）证明：取的中点，连接，
在中，且，
因为，，
所以，，
则四边形是平行四边形，
所以.
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：设，
过点作，以点为坐标原点，为坐标轴建立空间直角坐标系，
因为，为的中点，
所以，设，，
则，
所以
，
设平面的法向量，
取；
设平面的法向量，
取；
设平面与平面的夹角为，
所以，
则，
所以，
.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）取的中点，连接，再证明四边形是平行四边形，从而得，再根据线面平行的判定定理证出平面.
（2）设，过点作，以点为坐标原点，为坐标轴建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，求出平面的法向量与平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和和已知条件，从而得出参数的值，再结合四棱锥的体积公式，从而得出四棱锥的体积.
（1）证明：取的中点，连接，
在中，且，
又，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以.
又平面，平面，
所以平面.
（2）解：设，过点作，以点为坐标原点，为坐标轴建立空间直角坐标系，
因为，为的中点，
所以，设，，
所以，
，
设平面的法向量，
取；
同理设平面的法向量，
取；
设平面与平面的夹角为，
所以，
所以，
所以，.
18．（2026高三上·四川期末）已知椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线射向椭圆上任一点，经椭圆反射后必经过另一个焦点.若从椭圆的左焦点发出的光线，经过两次反射之后回到点，光线经过的路程为8，其离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设，，过点作直线与椭圆交于不同的两点，（异于，），直线，的交点为.
（ⅰ）某同学闲暇时作了多条不同直线，相应产生了多个不同点，他感觉这些点在一条直线上.请你对其感觉的正确性给出判断并证明；
（ⅱ）设直线，交点为，试问：与的面积之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
【答案】（1）解：由题意，可得：，
解得，
所以椭圆的方程为.
（2）解：（ⅰ）设直线方程为，与椭圆联立，
消得：，
设交点，
则，
所以，
则直线方程为：，直线方程为：，
两式消元，得：，
代入，
可得：，
则交点为的纵坐标为常数，
所以这些点在一条直线上.
（ⅱ）因为与的面积之积是：，
由（ⅰ）可得交点为的纵坐标为常数，
代入直线方程，
可得：，
则交点为的横坐标为
设直线方程为：，直线方程为：，
两式消元，得：，
代入，
可得：，
则交点为的纵坐标也为常数，
所以点也在这条直线上，
把代入直线方程，
可得：，
则交点为的横坐标为，
由，
因为，
所以，
则与的面积之积是.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用椭圆的离心率公式和椭圆定义以及椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得出a，b，c的值，进而得出椭圆的方程.
（2）（ⅰ）将直线方程与椭圆方程联立，利用交点坐标表示两条相交直线，再通过方程组求出交点纵坐标，利用韦达定理证出这些点在一条直线上.
（ⅱ）把两三角形面积之积问题转化为两交点的横坐标问题，再通过求解两交点横坐标之积，从而证出两三角形面积之积为定值，并求出此定值.
（1）由题意可得：，解得，
所以椭圆的方程为；
（2）（ⅰ）设直线方程为，与椭圆联立，消得：
，
又设交点，则，
所以有
则直线方程为：，直线方程为：，
两式消元得：，
代入可得：，
即交点为的纵坐标为常数，即这些点在一条直线上；
（ⅱ）因为与的面积之积是，
由（ⅰ）可得交点为的纵坐标为常数，代入直线方程可得：
， 即交点为的横坐标为
又设直线方程为：，直线方程为：，
两式消元得：，
代入可得：，
即交点为的纵坐标也为常数，即点也在这条直线上，
把代入直线方程可得：
，即交点为的横坐标为，
由，
因为，所以，
即与的面积之积是.
19．（2026高三上·四川期末）正项数列满足，其前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足（，）.
①试确定实数的值，使得数列为等差数列；
②在①的结论下，若对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个数列．设是数列的前项和，试求满足的所有正整数.
【答案】（1）解：因为数列中，，所以数列为等比数列，
设公比为，因为.，，显然不为1，
所以，，
又为正项数列，解得，，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则；
（2）解：①当时，可得，当时，得，
当时，得，
因为数列为等差数列，可得，可得，
当时，由，可得，
又由，当时，数列为等差数列；
②由题意知，，，，
，，
则当时，，不合题意，舍去；
当时，，所以成立；
当时，若，显然，
若不为2，则必是数列中的某一项，
则
，
又因为，所以，
即，所以，
因为为奇数，而为偶数，所以上式无解，
即当时，，不合题意，舍去；
综上所述，满足题意的正整数仅有.
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和；等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【分析】（1）根据可知数列为等比数列，设公比为，根据等比数列的通项公式和前项和公式求解即可；
（2）①、先求，根据为等差数列，满足，求得，再利用定义法验证即可；
②、由题意可得数列，分，，分别求解即可.
（1）因为在数列中，，所以数列为等比数列，
设公比为，因为.，，显然不为1，
所以，，
又为正项数列，解得，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
故；
（2）①当时，可得，当时，得，
当时，得，
因为数列为等差数列，可得，可得，
当时，由，可得，
又由，当时，数列为等差数列；
②由题意知，，，，
，，
则当时，，不合题意，舍去；
当时，，所以成立；
当时，若，显然，
若不为2，则必是数列中的某一项，
则
，
又因为，所以，
即，所以，
因为为奇数，而为偶数，所以上式无解，
即当时，，不合题意，舍去；
综上所述，满足题意的正整数仅有.
1 / 1字节精准教育联盟·AI赋能2025-2026学年高三上学期期末综合能力调查数学试题
1．（2026高三上·四川期末）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2026高三上·四川期末）若复数，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2026高三上·四川期末）设函数的图象在点处切线的斜率为，则函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2026高三上·四川期末）如图茶杯的形状是一个上宽下窄的正四棱台，上底面边长为下底面边长的2倍，容积为28mL，厚度忽略不计.当倒入14mL茶水时，茶水的高度与茶杯的高度之比为（ ）
A． B． C． D．
5．（2026高三上·四川期末）函数的单调减区间为（ ）
A． B． C． D．
6．（2026高三上·四川期末）某寝室安排3人打扫下一周5天的寝室卫生，每天只安排1人，每人至少打扫1天，则有多少种不同的安排方法（ ）
A．120 B．150 C．240 D．300
7．（2026高三上·四川期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2026高三上·四川期末）设函数，已知在上有且仅有3个零点，则下列结论正确的是（ ）
A．在上有3个极值点 B．在上有2个最大值点
C．在上单调递增 D．的取值范围为
9．（2026高三上·四川期末）民营经济是推进中国式现代化的生力军.为了更好地支持民营企业的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免.某机构调查了当地的中小型民营企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ）
A．样本数据落在区间内的频率为0.45
B．若规定年收入在500万元以内的民营企业才能享受减免税政策，估计有的当地中小型民营企业能享受到减免税政策
C．若该调查机构调查了100家民营企业，则年收入不少于400万元的有80家
D．根据频率分布直方图估计样本的中位数为500万元
10．（2026高三上·四川期末）下列说法正确的是（ ）
A．若幂函数的图象过点，则
B．若函数的定义域为，则函数的定义域为
C．若函数在上只有一个零点，则实数a的范围为
D．函数的单调增区间为
11．（2026高三上·四川期末）如图，在棱长为1的正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的是（ ）
A．平面平面
B．平面
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．若点为棱的中点，则由，，三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为
12．（2026高三上·四川期末）在边长为1的正方形中，，为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ．
13．（2026高三上·四川期末）设为抛物线 的焦点，过的直线与相交于两点，过点作的切线，与轴交于点，与轴交于点，则(其中为坐标原点) 的值为
14．（2026高三上·四川期末）如图，在中，斜边，，在以为直径的半圆上有一点（不含端点），，设的面积，的面积.
（1）若，求 ；（2）令则的最大值为 .
15．（2026高三上·四川期末）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，求实数的值.
16．（2026高三上·四川期末）中国的航天事业历经数十年的发展，已经形成了完整的航天技术体系，涵盖运载火箭、载人航天、深空探测等多个领域.某学校为了解学生对航天工程的关注情况，随机从该校学生中抽取男生和女生各100人进行调查，调查结果如下表：
关注 不关注 合计
男生 75 25 100
女生 55 45 100
合计 130 70 200
（1）根据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生对航天工程的关注情况与性别有关？
（2）从这200人中随机选出了3名男生和5名女生作为代表，其中有2名男生和2名女生关注航天工程.现从这8名代表中任选2名男生和3名女生进一步交流，求这5人中恰有2人关注航天工程的概率.
参考公式及参考数据：
.
0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
17．（2026高三上·四川期末）如图，已知四棱锥的底面是边长为的菱形，平面，是的中点，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，且平面与平面的夹角余弦值为，求四棱锥的体积.
18．（2026高三上·四川期末）已知椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线射向椭圆上任一点，经椭圆反射后必经过另一个焦点.若从椭圆的左焦点发出的光线，经过两次反射之后回到点，光线经过的路程为8，其离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设，，过点作直线与椭圆交于不同的两点，（异于，），直线，的交点为.
（ⅰ）某同学闲暇时作了多条不同直线，相应产生了多个不同点，他感觉这些点在一条直线上.请你对其感觉的正确性给出判断并证明；
（ⅱ）设直线，交点为，试问：与的面积之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
19．（2026高三上·四川期末）正项数列满足，其前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足（，）.
①试确定实数的值，使得数列为等差数列；
②在①的结论下，若对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个数列．设是数列的前项和，试求满足的所有正整数.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，
又因为，所以.
故答案为：C.
【分析】由元素与集合的关系和已知条件，从而得出集合，再利用交集的运算法则，从而得出集合．
2．【答案】A
【知识点】复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：复数，易知，，则.
故答案为：A.
【分析】根据共轭复数的定义以及复数模的公式先分别求和，代入即可得.
3．【答案】A
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的图象；导数的几何意义
【解析】【解答】解：∵函数，
，，
又因为，函数为奇函数，
则函数的图象关于原点对称，故排除选项B和选项C；
当时，函数值为正，
则函数的图象位于第一象限，故排除选项D.
故答案为：A.
【分析】先求出函数的导数，再根据函数在点的导数为切线的斜率，从而求出函数的解析式，再根据函数的奇偶性和函数在上的取值范围，从而逐项判断找出函数的大致图象.
4．【答案】D
【知识点】锥体的体积公式及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：延长正四棱台的各条侧棱，交于一点，如图所示；
设正四棱台的下底面边长为，则上底面边长为，高为，四棱锥的高，
由题意可得：，即，
设茶水的高为，则，即，
故.
故答案为：D.
【分析】延长正四棱台的各条侧棱，交于一点，设正四棱台的下底面边长为，则上底面边长为，高为，由，求得，设茶水的高为，结合题意，得到，求茶水的高度与茶杯的高度之比即可.
5．【答案】A
【知识点】复合函数的单调性；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由，可得或，
所以的定义域为，
对于，开口向上且对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，而单调递增，
所以的单调递减区间为.
故答案为：A
【分析】将该函数为对数函数与二次函数的复合函数，由复合函数单调性得的单调递减区间.
6．【答案】B
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①将5天分成3组，
若分成1、1、3的三组，有种分组方法；
若分成1、2、2的三组，有种分组方法，
则将5天分成3组，有种分组方法；
②将分好的三组全排列，对应3人，有种情况，
所以，不同的安排方式则有种.
故答案为：B．
【分析】根据题意，分2步进行分析：①分两种情况讨论将5天分成3组的情况数目；②将分好的三组全排列，对应3人，再由组合数公式、排列数公式以及分类加法计数原理和分步乘法计数原理，从而得出满足题意的不同安排方法种数.
7．【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设P为第一象限的交点，，
则，解得，，
在中，由余弦定理，得，
所以，
则，
整理得，所以，
则，
设，，，
因为，所以，
则，所以或，
当时，，舍去，
当时，满足题意，此时，
所以.
故答案为：C．
【分析】在中，由余弦定理得出与的关系式，再利用椭圆的离心率公式和双曲线的离心率公式，再变形得出的值，再由三角换元法，设，，，再利用辅助角公式结合分类讨论的方法，从而得出的值，进而得出的值．
8．【答案】D
【知识点】函数在某点取得极值的条件；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数零点存在定理；辅助角公式
【解析】【解答】解：对于选项D，因为，
当时，，
要想在上有且仅有3个零点，
则，解得，故D正确；
对于选项A，当时，，
因为，所以，
若，则当时，在上有2个极值点；
若，则当时，在上有3个极值点，
所以在上有2个极值点或3个极值点，故A错误；
对于选项B，由选项A知，若，则当时，
在上有1个最大值点；
若，则当时，在上有2个最大值点，
所以，函数在上有1个或2个最大值点，故B错误；
对于选项C，当时，则，
因为，所以，
又因为在上不单调，
所以在上不单调，故C错误.
故答案为：D.
【分析】利用三角恒等变换得到函数，利用已知条件和导数求极值点的方法，从而函数在上的极值点个数，则判断出选项A；根据得到，再利用换元法和正弦型函数求最值的方法，从而得出正弦型函数的最值，进而得出函数在上的最大值点的个数，则判断出选项B；利用x的取值范围和换元法以及正弦函数的单调性，从而判断出正弦型函数的单调性，则判断出选项C；利用x的取值范围和零点存在性定理，再利用已知条件得出的取值范围，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
9．【答案】A,B
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：由，解得；
A、数据落在区间内的频率为，故A正确；
B、数据落在区间内的频率为，故B正确；
C、，年收入大于或等于400万元的有四组，
其频率和是，
所以符合条件的民营企业有家，故C错误；
D、数据落在区间内的频率为0.3，
数据落在区间内的频率为，
估计中位数为，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】先根据频率分布直方图各矩形面积和为1列式求得a的值，再根据频率分布直方图逐项求解判断即可.
10．【答案】A,C
【知识点】函数的定义域及其求法；幂函数的概念与表示；利用导数研究函数的单调性；余弦函数的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、令幂函数，由题意可得，解得，
则，，故A正确；
B、函数的定义域为，即，则，则函数的定义域为，
由，解得，因此函数的定义域为，故B错误；
C、函数在上只有一个零点，则，无解，
或，解得，则实数a的范围为，故C正确；
D、由，得，而，解得，
因此函数的单调增区间为，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】令幂函数，将点代入求得解析式，再代值求解即可判断A；根据抽象函数的定义域求法求解即可判断B；根据一元二次方程实根分布求解即可判断C；求导，令，结合三角函数的性质求解即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】棱柱的结构特征；异面直线所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：对于A，在正方体中，由平面，平面，
可得，
又因为，平面且，
所以平面，
又因为平面，所以，
因为在平面内的投影为，又因为，
所以，
因为，平面，
所以平面，又因为平面，
所以平面平面，故A正确；
对于B，正方体中与平行且相等，则是平行四边形，
，平面，平面，所以平面，
同理平面，，都在平面内，
所以平面平面，
因为平面，所以平面，故B正确；
对于C，与A选项同理可证平面，
当是与交点时，平面，
，异面直线与所成角为，故C错误；
对于D，设的中点为，连接，，，，如图所示，
因为分别为的中点，
由正方体性质可知，且，所以四点共面，
即由三点确定的平面与正方体相交形成的截面为四边形，
因为正方体的棱长为1，
所以，，则，
故四边形的周长为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由已知条件和面面垂直的判定定理，则可判断选项A；由面面平行的性质定理得出线面平行，则可判断选项B；由选项A得出线面垂直，再利用线面垂直的定义得出线线垂直，从而得出异面直线与所成角，则可判断选项C；由基本事实1作出由，，三点确定的平面与正方体相交形成的截面，再利用勾股定理和四边形求周长公式，则可判断选项D，从而找出判断正确的选项.
12．【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；平面向量的基本定理；平面向量数量积的坐标表示；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：如图，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
依题意，得，
设，
则，
所以，
因为，
又因为，则当时，取得最小值为.
故答案为：.
【分析】依题意建系由已知分别求出的坐标，利用数量积的坐标公式化简计算得出，再结合和二次函数求最值的方法，从而得出的最小值.
13．【答案】
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由抛物线，得，
设直线的方程为，，
、
联立，消得，
则，
由，得，
所以过点作的切线的斜率为，
故切线方程为，即，
令，则；令，则，
即，
则，
所以.
故答案为：.
【分析】设直线的方程为，，联立直线AB与抛物线的方程，利用韦达定理求出，再根据导数的几何意义求出切线方程，再赋值求出两点的坐标，从而得出向量的坐标，再由数量积的坐标表示得出的值.
14．【答案】；
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；含三角函数的复合函数的值域与最值；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为中，，，
所以，，，
又因为为以为直径的半圆上一点，所以，
在中，，，，
作于点，如图，
则，
所以，
，
若，则，
因为，所以，
则，
整理得，
所以，则，
由，
则
，
因为，所以，
当时，即当时，有最大值．
故答案为：，.
【分析】根据已知条件，用结合三角形的面积公式，则表示出、，再分别由、结合三角恒等变换和正弦型函数求最值的方法，从而求出角和S的最大值.
15．【答案】（1）解：当时，，
则，
所以，，
则在点处的切线方程为，
即.
（2）解：因为，
令，
则，
又因为，.
①当时，当时，，则单调递减，
因为，所以；
当时，，则单调递增，
因为，则当时，；
当时，，所以在单调递减，在单调递增，
则符合题意；
②当时，，存在，使得，
当时，，则单调递减，
所以不符合题意；
③当时，，
则存在，使得当时，，
则单调递增，所以不符合题意；
综上所述，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，利用导数的几何意义得出切线的斜率，再根据代入法得出切点的坐标，最后由直线的点斜式方程得出曲线在点处的切线方程.
（2）由求导的方法，从而得出，，再分类讨论与的大小关系，利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最值，再根据已知条件得出实数a的值.
（1）当时，，
，
，，
在点处的切线方程为，
即；
（2），令，
则，
，，
①当时，
时，，单调递减，
由于，则，
时，，单调递增，
由于，则时，，
时，，
所以在单调递减，在单调递增，
所以符合题意；
②当时，，存在使得，
当时，，单调递减，
不符合题意；
③当时，，
则存在，使得当时，，单调递增，
则不符合题意；
综上.
16．【答案】（1）解：零假设：该校学生对航天工程的关注与性别无关，
根据列联表，可得：，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为该校学生对航天工程的关注与性别有关，该推断犯错误的概率不超过0.005.
（2）解：设进一步交流的男生中关注航天工程的人数为，
女生中关注航天工程的人数为，
从这8名代表中任选2名男生和3名女生的选法有种，
则
，
所以，这5人中恰有2人关注航天工程的概率为.
【知识点】独立性检验的应用；互斥事件的概率加法公式；超几何分布
【解析】【分析】（1）根据卡方计算公式结合独立性检验的方法，则认为该校学生对航天工程的关注与性别有关，该推断犯错误的概率不超过0.005.
（2）利用超几何分布求出对应的概率，再利用互斥事件加法求概率公式，从而得出这5人中恰有2人关注航天工程的概率.
（1）零假设：该校学生对航天工程的关注与性别无关，
根据列联表可得：
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为该校学生对航天工程的关注与性别有关，该推断犯错误的概率不超过0.005.
（2）设进一步交流的男生中关注航天工程的人数为，女生中关注航天工程的人数为，
从这8名代表中任选2名男生和3名女生的选法有种，
则
，
即这5人中恰有2人关注航天工程的概率为.
17．【答案】（1）证明：取的中点，连接，
在中，且，
因为，，
所以，，
则四边形是平行四边形，
所以.
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：设，
过点作，以点为坐标原点，为坐标轴建立空间直角坐标系，
因为，为的中点，
所以，设，，
则，
所以
，
设平面的法向量，
取；
设平面的法向量，
取；
设平面与平面的夹角为，
所以，
则，
所以，
.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）取的中点，连接，再证明四边形是平行四边形，从而得，再根据线面平行的判定定理证出平面.
（2）设，过点作，以点为坐标原点，为坐标轴建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，求出平面的法向量与平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和和已知条件，从而得出参数的值，再结合四棱锥的体积公式，从而得出四棱锥的体积.
（1）证明：取的中点，连接，
在中，且，
又，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以.
又平面，平面，
所以平面.
（2）解：设，过点作，以点为坐标原点，为坐标轴建立空间直角坐标系，
因为，为的中点，
所以，设，，
所以，
，
设平面的法向量，
取；
同理设平面的法向量，
取；
设平面与平面的夹角为，
所以，
所以，
所以，.
18．【答案】（1）解：由题意，可得：，
解得，
所以椭圆的方程为.
（2）解：（ⅰ）设直线方程为，与椭圆联立，
消得：，
设交点，
则，
所以，
则直线方程为：，直线方程为：，
两式消元，得：，
代入，
可得：，
则交点为的纵坐标为常数，
所以这些点在一条直线上.
（ⅱ）因为与的面积之积是：，
由（ⅰ）可得交点为的纵坐标为常数，
代入直线方程，
可得：，
则交点为的横坐标为
设直线方程为：，直线方程为：，
两式消元，得：，
代入，
可得：，
则交点为的纵坐标也为常数，
所以点也在这条直线上，
把代入直线方程，
可得：，
则交点为的横坐标为，
由，
因为，
所以，
则与的面积之积是.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用椭圆的离心率公式和椭圆定义以及椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得出a，b，c的值，进而得出椭圆的方程.
（2）（ⅰ）将直线方程与椭圆方程联立，利用交点坐标表示两条相交直线，再通过方程组求出交点纵坐标，利用韦达定理证出这些点在一条直线上.
（ⅱ）把两三角形面积之积问题转化为两交点的横坐标问题，再通过求解两交点横坐标之积，从而证出两三角形面积之积为定值，并求出此定值.
（1）由题意可得：，解得，
所以椭圆的方程为；
（2）（ⅰ）设直线方程为，与椭圆联立，消得：
，
又设交点，则，
所以有
则直线方程为：，直线方程为：，
两式消元得：，
代入可得：，
即交点为的纵坐标为常数，即这些点在一条直线上；
（ⅱ）因为与的面积之积是，
由（ⅰ）可得交点为的纵坐标为常数，代入直线方程可得：
， 即交点为的横坐标为
又设直线方程为：，直线方程为：，
两式消元得：，
代入可得：，
即交点为的纵坐标也为常数，即点也在这条直线上，
把代入直线方程可得：
，即交点为的横坐标为，
由，
因为，所以，
即与的面积之积是.
19．【答案】（1）解：因为数列中，，所以数列为等比数列，
设公比为，因为.，，显然不为1，
所以，，
又为正项数列，解得，，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则；
（2）解：①当时，可得，当时，得，
当时，得，
因为数列为等差数列，可得，可得，
当时，由，可得，
又由，当时，数列为等差数列；
②由题意知，，，，
，，
则当时，，不合题意，舍去；
当时，，所以成立；
当时，若，显然，
若不为2，则必是数列中的某一项，
则
，
又因为，所以，
即，所以，
因为为奇数，而为偶数，所以上式无解，
即当时，，不合题意，舍去；
综上所述，满足题意的正整数仅有.
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和；等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【分析】（1）根据可知数列为等比数列，设公比为，根据等比数列的通项公式和前项和公式求解即可；
（2）①、先求，根据为等差数列，满足，求得，再利用定义法验证即可；
②、由题意可得数列，分，，分别求解即可.
（1）因为在数列中，，所以数列为等比数列，
设公比为，因为.，，显然不为1，
所以，，
又为正项数列，解得，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
故；
（2）①当时，可得，当时，得，
当时，得，
因为数列为等差数列，可得，可得，
当时，由，可得，
又由，当时，数列为等差数列；
②由题意知，，，，
，，
则当时，，不合题意，舍去；
当时，，所以成立；
当时，若，显然，
若不为2，则必是数列中的某一项，
则
，
又因为，所以，
即，所以，
因为为奇数，而为偶数，所以上式无解，
即当时，，不合题意，舍去；
综上所述，满足题意的正整数仅有.
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