湘教版七（下）数学第五章 对称轴与旋转 单元测试培优卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（华师大版七年级数学下册10.1.1生活中的轴对称同步练习）在汉字“生活中的日常用品”中，成轴对称的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2024七下·北海期末）如图，三角形OCD是由三角形OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，∠AOB＝60°，则∠COB的度数是（ ）
A．60° B．40° C．20° D．10°
3．（华师大版七年级数学下册10.3.2旋转的特征同步练习）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，则∠BAC的度数为（ ）
A．60° B．85° C．75° D．90°
4．（2023七下·贵港期末）如图，绕点的顺时针旋转，旋转的角是，得到，那么下列说法错误的是（ ）
A．平分 B． C． D．
5．（2023七下·郓城期末）如图，和关于直线1对称，下列结论：①；②；③垂直平分；④直线和的交点不一定在上．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．（2023七下·沅陵期末）如图，在方格纸中，△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是（ ）
A．把△ABC绕点C逆时针方向旋转90°，再向下平移2格
B．把△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格
C．把△ABC向下平移4格，再绕点C逆时针方向旋转180°
D．把△ABC向下平移5格，再绕点C顺时针方向旋转180°
7．（华师大版七年级数学下册10.3.2旋转的特征同步练习）如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB'C'，连接BB'，若AC'∥BB'，则∠CAB'的度数为（ ）
A．45° B．60° C．70° D．90°
8．（2025八上·温州期中）如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图案，直线l 是它的对称轴，下列结论中：①∠AOD+∠BOC=180°；②∠BOF=∠COE；③∠BOC=∠AOB；④∠BOD=90°。正确结论的个数是 （ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．（2023八上·北京市期中）如图是3×3的正方形网格，其中已有2个小方格涂成了黑色.现在要从编号为① ④的小方格中选出1个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，不能选择的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
10．（2023八上·天津市期中）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，线段AB的顶点均在格点上．在图中画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N均为格点，这样的线段能画（ ）条．
A．2 B．3 C．5 D．6
二、填空题（每题3分，共24分）
11．（2024八上·秦淮月考）如图，在的正方形网格中，有一个格点（阴影部分），则网格中所有与成轴对称的格点三角形的个数是 ．
12．（2025七下·杭州月考）图1是一款电脑显示器伸缩架，图2是其截面示意图，固定支架桌面屏幕PQ，支撑杆BC两端可调节和的大小。当屏幕时，测得， 度；若将屏幕PQ绕点顺时针方向旋转度如图3，现只调整的角度，使屏幕PQ仍垂直地面，则的度数为 （用的代数式表示）。
13．（2024八上·株洲月考）如图，将绕点O逆时针旋转后得到，若，则等于 ．
14．（2024八上·锡山月考）如图，在的正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形，可供选择的白色小正方形有 个．
15．（2023八上·广陵月考）如图，是轴对称图形，且直线是的对称轴，点E，F是线段上的任意两点，若的面积为，则图中阴影部分的面积是 ．
16．（2024七下·九台期末）如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点．若GH的长为10cm，求△PAB的周长为 ．
17．（2024七下·新昌期中）两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC边与边重合，∠BAC=45°，，接着如图2保持三角板ABC不动，将三角板绕着点C（点C不动）按顺时针（如图标示方向）旋转，在旋转的过程中，逐渐增大，当第一次等于90°时，停止旋转，在此旋转过程中，= 时，三角板有一条边与三角板ABC的边AB恰好平行．
18．（2024七下·临海期中） 如图，现将一副三角尺摆放在一起，重合的顶点为A点，固定含的三角尺不动，将含的三角尺绕顶点A转动，当点E在直线的下方时，使三角尺中的边与三角尺ABC的一边平行，则（）可能符合条件的度数为 ．
三、解答题（共8题，共66分）
19．（2026八上·安州期末） 如图，在平面直角坐标系中，已知 A(0，1)，B(2，0)，C(4，3).
（1） 在平面直角坐标系中画出 ；
（2） 画出 关于 x 轴对称的图形 ；
（3） 在第二象限找一点 D，使得 轴且，写出点 D 的坐标.
20．（2023七下·怀化期末）如图，已知的顶点都在格点上，直线l与网线重合（每个小正方形的边长均为1个单位长度）
（1）画出关于直线l对称的；
（2）将向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到，画出；
（3）画出绕点A逆时针旋转后得到的．
21．（2025八上·安吉期中）作图题：
（1）如图1所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．在图中画出关于直线对称的．（要求：与，与，与相对应）
（2）如图2是由9个相同的小正方形拼成的正方形网格，现将其中2个小正方形涂黑，请用3种不同的方法分别在图中再将1个小正方形涂黑，使图案成为轴对称图形．
22．（2023八上·西和期中） 如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．
（1）图中点C的对应点是点 ，∠B的对应角是 ；
（2）若DE＝5，BF＝2，则CF的长为 ；
（3）若∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，求∠EAF的度数．
23．（2023七下·盘龙期末）酷热的夏天之后汛期即将来临，防汛指挥部在盘龙江两岸各安置了探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图一，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是秒，灯转动的速度是秒，且、满足．
假定这一带盘龙江两岸河堤是平行的，即，且．
（1） ， ；
（2）若灯射线先转动30秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动 秒时，两灯的光束第一次互相平行；
（3）如图2，两灯同时转动秒，在灯射线到达之前，若射出的光束交于点．
① ▲ （用含的代数式表示）；
②过作交于点，则在转动过程中，猜想：与有怎样的数量关系，并说明理由．
24．（2024七下·德惠期末）一副三角尺（分别含、、和、、）按如图1所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合（，），将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角尺的运动时间为（秒）．
（1）当时，边经过的量角器刻度线对应的度数是________度；
（2）如图2，若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．．
①用含的代数式表示：（________）°； （________）°；
②当为何值时，边平分；
③直接写出当为何值时，
25．（2024七下·宁波期中） 将一副直角三角板按图1方式叠放在一起，并且直角顶点C重合，其中，．保持三角尺固定不动，将三角尺绕着点C顺时针旋转α度．探究以下问题：
（1）如图2，当时，求证：；
（2）当时，若这两个三角尺的一组边互相平行，请画出相应的图形，并求出此时α的度数．
26．（2023七下·衡阳期末）如图，有一副直角三角板如图放置（其中，），，与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点逆时针旋转．
（1）在图1中， ；
（2）①如图2，若三角板保持不动，三角板绕点逆时针旋转，转速为秒，转动一周三角板就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有成立；
②如图，在图基础上，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，当转到与位置重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当时，求旋转的时间是多少？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】生活中的轴对称现象
【解析】【解答】根据轴对称的定义，
在汉字“生活中的日常用品”中，成轴对称的字有“中、日、品”3个；
故选B．
【分析】根据轴对称的定义，找出成轴对称的字，即可解答．
2．【答案】C
【知识点】角的运算；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵三角形OCD是由三角形OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形， ∠AOB＝60°，
∴∠COD=∠AOB＝60°，∠AOC=∠BOD=40°，
∵∠AOB=∠AOC+∠BOC，
∴60°=40°+∠BOC，解得：∠BOC=20°.
故答案为：C.
【分析】先利用旋转的性质说明∠COD=∠AOB＝60°，∠AOC=∠BOD=40°，再利用角的和求出∠BOC.
3．【答案】B
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，
∴∠C=∠E=70°，∠BAC=∠DAE，
∵AD⊥BC，
∴∠AFC=90°，
∴∠CAF=90°﹣∠C=90°﹣70°=20°，
∴∠DAE=∠CAF+∠EAC=20°+65°=85°，
∴∠BAC=∠DAE=85°．
故选B．
【分析】先根据旋转的性质得∠C=∠E=70°，∠BAC=∠DAE，再根据垂直的定义得∠AFC=90°，则利用互余计算出∠CAF=90°﹣∠C=20°，所以∠DAE=∠CAF+∠EAC=85°，于是得到∠BAC=85°．
4．【答案】C
【知识点】图形的旋转；旋转的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：将△ADE绕点D顺时针旋转，得到△CDB，∴∠ADE=∠CDB，AD=CD，AE=BC，故A、B、D选项正确；
∵∠B=∠E，但∠B不一定等于∠BDC，即∠E不一定等于∠CDB，
∴BD不一定平行于AE，
故C选项错误；
故答案为：C．
【分析】利用旋转的性质可得∠ADE=∠CDB，AD=CD，AE=BC，再利用角平分线的定义及平行线的判定方法逐项分析判断即可.
5．【答案】B
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：①∵和关于直线对称，
∴，故①正确；
②∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
③∵和关于直线对称，
∴直线垂直平分，故③正确；
④∵和关于直线对称，
∴直线和的交点一定在直线上，故④错误；
故答案为：B．
【分析】根据轴对称的性质，逐项进行判断即可.
6．【答案】B
【知识点】平移的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据图象，△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格即可与△DEF重合．
故答案为：B．
【分析】根据图形的位置，利用平移、旋转的特征解答即可．
7．【答案】D
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转l20°得到△AB'C'，
∴∠BAB'=∠CAC'=120°，AB=AB'，
∴∠AB'B=（180°﹣120°）=30°，
∵AC'∥BB'，
∴∠C'AB'=∠AB'B=30°，
∴∠CAB'=∠CAC'﹣∠C'AB'=120°﹣30°=90°．
故选D．
【分析】先根据旋转的性质得到∠BAB'=∠CAC'=120°，AB=AB'，根据等腰三角形的性质易得∠AB'B=30°，再根据平行线的性质由AC'∥BB'得∠C'AB'=∠AB'B=30°，然后利用∠CAB'=∠CAC'﹣∠C'AB'进行计算．
8．【答案】B
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，
由图形可知： ∠IOA =∠BOG =∠GOC =∠HOD，
则∠AOD +∠BOC =∠AOD +∠BOG +∠GOC =∠AOD +∠IOA +∠DOH =180°，即①正确；
由图形可知： ∠BOE =∠COF，则∠BOE +∠BOF =∠COF +∠BOF，
∴∠BOF =∠COE，即②正确；
由OB = OB，OA = OC，但AB≠BC，则△BOC与△AOB不全等，
∴∠BOC ≠∠AOB，故③错误；
由图形可知： ∠BOG =∠HOD，则∠BOD =∠BOG +∠GOD =∠HOD +∠GOD =90°，即④正确.
综上，正确的有3个.
故答案为：B.
【分析】根据轴对称的性质，结合全等三角形的判定与性质、角的和差以及等量代换逐个判断即可.
9．【答案】D
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【解答】解：如图所示：
从编号为① ④的小方格中选出1个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，使黑色部分成为轴对称图形，这样的白色小方格有：①，②，③，方格④不可以．
故答案为：D
【分析】根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格，剩下的一个即为所求．
10．【答案】C
【知识点】作图﹣轴对称
【解析】【解答】如图，根据题意共画出5种位置的线段MN
故选：C
【分析】因为正方形是轴对称图形有四条对称轴，所有至少可以找到4种对称关系的线段，排除答案A、B；再观察线段AB，在正方形内部矩形内还可以画出1条对称线段，共5条。
11．【答案】5
【知识点】作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：如图，与成轴对称的格点三角形有、、、、共5个，
故答案为：5．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此利用方格纸的特点可分别求出△ABC与AC所在的直线为对称轴的轴对称△ACF，以过AB中点且垂直BC的直线为对称轴的轴对称△BCD，以过AC中点且平行BC得直线为对称轴的轴对称△CDA，以正方形网格框的两条对角线所在的直线为对称轴的轴对称△GEH与△GBH，综上可得答案.
12．【答案】150；(120-α)°
【知识点】角的运算；平行线的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点C作EF//AB，
∵PQ⊥MN，AB⊥桌面MN，
∴PQ//AB//EF，
∴∠CDQ+∠DCF=180°
∠BCF+∠ABC=180°
∴∠CDQ+∠DCF+∠BCF+∠ABC=180°+180°，
即∠CDQ+∠BCD+∠ABC=360°
∵CD⊥屏幕PQ，∠ABC=120°
∴∠CDQ=90°，
∴360°=∠CDQ+∠BCD+∠ABC=90°+∠BCD+120°，
∴∠BCD=150°；
若将屏幕PO绕点D顺时针方向旋转a度，屏幕PQ仍垂直地面，且只调整∠ABC的角度，
∵∠CDQ=(90+α)°，∠BCD=150°
∴360°=∠CDQ+∠BCD+∠ABC=(90+α)°+150°+∠ABC
∴∠ABC=(120-α)°；
故答案为：150；(120-α)°.
【分析】过点C作EF//AB，推出∠CDQ+∠BCD+∠ABC=360°，然后分两种情况求解即可.
13．【答案】
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：绕点按逆时针方向旋转后得到，
．
，
．
故答案为：．
【分析】先根据旋转的性质得到，进而进行角的运算即可求解。
14．【答案】5
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【解答】解：如图，共有以下5种选取涂黑方法：
故答案为：5．
【分析】本题主要对轴对称的概念进行考查，先找出图形存在的对称轴，再根据对称轴对图形进行涂黑，满足要求的小正方形有5个．
15．【答案】9
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵是轴对称图形，且直线是对称轴，
∴，，
∴阴影部分的面积等于面积的一半，
∴（）．
故答案为：9．
【分析】根据轴对称的性质可得：阴影部分的面积等于面积的一半，即可求解．
16．【答案】10cm
【知识点】轴对称的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，
∴AG=AP，PB=BH，
∵GH的长为10cm，
∴△PAB的周长为：AP+PB+AB=AG+AB+BH=GH=10cm，
故答案为：10cm．
【分析】
根据两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AG=AP，PB=BH，然后表示出三角形周长，计算可得答案．
17．【答案】45°
【知识点】图形的旋转；旋转的性质
【解析】【解答】解：由于旋转角度最大为90°，当AB与A'C平行时，∠ACA'=∠A=45°，故旋转45°度符合题意.
故答案为：45°.
【分析】直接由平行去反推旋转角，即可求得结果.
18．【答案】、和
【知识点】平行线的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意可知，点E在直线的下方，
如图所示，当时，
；
如图所示，，
；
如图所示，，
；
故答案为：、和．
【分析】分类讨论：当时，，，根据题意画出图形，根据旋转的性质，平行线的性质分别求解即可．
19．【答案】（1）解：即为所求作；
（2）解：如下图，即为所求作；
（3）解：∵在第二象限找一点D，使得轴且，，
∴点D的坐标为(-2，3).
【知识点】轴对称的性质；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【分析】(1)在平面直角坐标系中描点A，B，C，然后依次连接即可；
(2)分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
(3)根据和x轴平行的直线上的点的纵坐标相同，结合DC=6解题即可.
20．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如（1）题图，即为所求；
（3）解：如（1）题图，即为所求．
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）依据轴对称的性质分别作点A、B、C关于直线l的对称点A1、B1、C1，再顺次连接即得；
（2）根据平移的方向和距离，分别确定点A、B、C平移后的对应点A2、B2、C2，再顺次连接即得；
（3）根据旋转的性质分别作点A、B、C 绕点A逆时针旋转后的对应点B3、C3，再顺次连接即得．
21．【答案】（1）解：以直线为对称轴，分别作点的对称点，的对称点，的对称点，顺次连接，就是关于直线的对称图形；
（2）解：如下图所示．（画3种方法即可）
【知识点】轴对称图形；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质，点到对称轴直线l的距离等于点到对称轴直线l的距离，点到对称轴直线l的距离等于点到对称轴直线l的距离，点到对称轴直线l的距离等于点到对称轴直线l的距离，依此作图再顺次连接即可；
（2）根据轴对称的定义，可以逐一分析每个空格，观察涂黑后是否是轴对称图形.
22．【答案】（1）E；∠D
（2）3
（3）解：∵∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，
∴∠CAE＝108°-30°＝78°，
再根据对称性，
∴∠EAF＝∠CAF，
∴∠EAF＝＝39°．
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE关于直线MN对称，
∴点C的对应点是E，∠B的对应角是∠D，
故答案为：E；∠D；
（2）∵△ABC和△ADE关于直线MN对称，
∴DE=BC=5，BF=DF=2，CF=EF，
∴CF=BC-BF=5-2=3，
故答案为：3.
【分析】（1）利用轴对称的性质可得点C的对应点是E，∠B的对应角是∠D；
（2）利用轴对称的性质可得DE=BC=5，BF=DF=2，CF=EF，再利用线段的和差及等量代换求出CF的长即可；
（3）先利用角的运算求出∠CAE的度数，再利用轴对称的性质可得∠EAF＝＝39°．
23．【答案】（1）3；1
（2）15
（3）解：①；
②
显然点一定在的右侧，，即，
，
，
【知识点】角的运算；平行线的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴a-3=0，b-1=0，
∴a=3，b=1，
故答案为：3，1；
（2）设灯A转动x秒时，两灯光第一次互相平行，由平行线性质，
可得：3x=x+30，
解得x=15，
故答案为：15；
（3）①经过t秒后，∠PBC=t°，∠MAC=3t°，
∵∠BCA=∠NAC+∠PBC，
∴∠BCA=∠NAC+∠PBC=180°-∠MAC+∠PBC=180°-3t°+t°=180°-2t°，
故答案为：.
【分析】（1）利用非负数之和为0的性质求出a、b的值即可；
（2）设灯A转动x秒时，两灯光第一次互相平行，根据题意列出方程3x=x+30，再求出x的值即可；
（3）①先求出∠PBC=t°，∠MAC=3t°，再利用角的运算和等量代换求解即可；
②先求出，再求出，即可得到.
24．【答案】（1）
（2）解：①，；
②如图，
由旋转可得，，
平分，，
，
，
，
，
，
解得：，
当秒时，边平分；
③5秒或秒
【知识点】解一元一次方程；旋转的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：（1）当时，旋转的角度为，
∴边经过的量角器刻度线对应的度数是；
（2）①当旋转时间为时，则，；
故答案为：，；
③在三角尺和三角尺旋转前，，
而，
分两种情况：与相遇前，
则：， 解得：，
与相遇后，则：，
解得：，
∴当t为5秒或秒时，．
故答案为：5秒或秒
【分析】
（1）先求解时，旋转的角度，从而可得答案；
（2）①根据旋转和角的和差关系进行求解即可；
②根据角平分线平分角可得，结合平角的定义列出方程，解方程即可得到答案；
③分两种情况：与相遇前列方程；相遇后列方程，计算即可求解；
（1）解：当时，旋转的角度为，
∴边经过的量角器刻度线对应的度数是；
（2）①当旋转时间为时，则，；
故答案为：，；
②如图，
由旋转可得，，
平分，，
，
，
，
，
，
解得：，
当秒时，边平分；
③在三角尺和三角尺旋转前，，
而，
分两种情况：与相遇前，
则：， 解得：，
与相遇后，则：，
解得：，
∴当t为5秒或秒时，．
25．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①旋转过程中，当时，如图1所示：
则，
由旋转性质可得：；
②当DE//AB时，如图2所示，延长交于点F：
∵点D在直线的上方，∠A=60°，
∴，
∵，
∴，
∴；
③当时，如图3所示：
则，
∴；
④当时，如图4所示：
则；
⑤当时，如图5所示：
则，
∴；
综上所述：α的度数为或或或或．
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）利用周角的定义求出∠ACE的度数，再计算∠A的度数，从而利用平行线的判定定理得到结论.
（2）分AB//CE，AB//DE，AB//DC，AC//ED，BC//DE几种情况进行讨论，并利用平行线的性质计算α的度数.
26．【答案】（1）
（2）解：①如图1，此时，成立，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵转速为秒，
∴旋转时间为秒；
如图2，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵三角板绕点逆时针旋转的角度为，
∵转速为秒，
∴旋转时间为秒，
综上所述，当旋转时间为或秒时，成立；
②设旋转的时间为t秒，由题知，，
∴，
∴，
当，即，
解得：，
∴当，旋转的时间是秒．
【知识点】平行线的性质；图形的旋转
【解析】【解答】解：（1）∵△BDP和△ACP是一副直角三角板，∠D=45°，∠C=30°，
∴∠DPB=45°，∠APC=60°，
∴∠DPC=180°-∠DPB-∠APC=75°.
故答案为：75°.
【分析】（1）由三角板得∠DPB=45°，∠APC=60°，接着由平角的定义即可得答案.
（1）①分两种情况讨论，当边BD和PC在直线MN同侧时，BD∥PC，根据平行线性质得∠CPN=90°，从而得到旋转角度∠APN=30°，再根据转速为10°/秒，得旋转时间为3秒；当边BD和PC在直线MN异侧时，BD∥PC，根据平行线性质得∠CPB=90°，从而得到∠APM=30°，旋转角度为210°，再根据转速为10°/秒，得旋转时间为21秒.
②设旋转的时间为t秒，由题知，， 根据平角的定义表示出∠BPN，根据周角的定义表示出∠CPD，根据∠CPD=∠BPN列出方程，解方程即可得答案.
1 / 1湘教版七（下）数学第五章 对称轴与旋转 单元测试培优卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（华师大版七年级数学下册10.1.1生活中的轴对称同步练习）在汉字“生活中的日常用品”中，成轴对称的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】生活中的轴对称现象
【解析】【解答】根据轴对称的定义，
在汉字“生活中的日常用品”中，成轴对称的字有“中、日、品”3个；
故选B．
【分析】根据轴对称的定义，找出成轴对称的字，即可解答．
2．（2024七下·北海期末）如图，三角形OCD是由三角形OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，∠AOB＝60°，则∠COB的度数是（ ）
A．60° B．40° C．20° D．10°
【答案】C
【知识点】角的运算；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵三角形OCD是由三角形OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形， ∠AOB＝60°，
∴∠COD=∠AOB＝60°，∠AOC=∠BOD=40°，
∵∠AOB=∠AOC+∠BOC，
∴60°=40°+∠BOC，解得：∠BOC=20°.
故答案为：C.
【分析】先利用旋转的性质说明∠COD=∠AOB＝60°，∠AOC=∠BOD=40°，再利用角的和求出∠BOC.
3．（华师大版七年级数学下册10.3.2旋转的特征同步练习）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，则∠BAC的度数为（ ）
A．60° B．85° C．75° D．90°
【答案】B
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，
∴∠C=∠E=70°，∠BAC=∠DAE，
∵AD⊥BC，
∴∠AFC=90°，
∴∠CAF=90°﹣∠C=90°﹣70°=20°，
∴∠DAE=∠CAF+∠EAC=20°+65°=85°，
∴∠BAC=∠DAE=85°．
故选B．
【分析】先根据旋转的性质得∠C=∠E=70°，∠BAC=∠DAE，再根据垂直的定义得∠AFC=90°，则利用互余计算出∠CAF=90°﹣∠C=20°，所以∠DAE=∠CAF+∠EAC=85°，于是得到∠BAC=85°．
4．（2023七下·贵港期末）如图，绕点的顺时针旋转，旋转的角是，得到，那么下列说法错误的是（ ）
A．平分 B． C． D．
【答案】C
【知识点】图形的旋转；旋转的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：将△ADE绕点D顺时针旋转，得到△CDB，∴∠ADE=∠CDB，AD=CD，AE=BC，故A、B、D选项正确；
∵∠B=∠E，但∠B不一定等于∠BDC，即∠E不一定等于∠CDB，
∴BD不一定平行于AE，
故C选项错误；
故答案为：C．
【分析】利用旋转的性质可得∠ADE=∠CDB，AD=CD，AE=BC，再利用角平分线的定义及平行线的判定方法逐项分析判断即可.
5．（2023七下·郓城期末）如图，和关于直线1对称，下列结论：①；②；③垂直平分；④直线和的交点不一定在上．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：①∵和关于直线对称，
∴，故①正确；
②∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
③∵和关于直线对称，
∴直线垂直平分，故③正确；
④∵和关于直线对称，
∴直线和的交点一定在直线上，故④错误；
故答案为：B．
【分析】根据轴对称的性质，逐项进行判断即可.
6．（2023七下·沅陵期末）如图，在方格纸中，△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是（ ）
A．把△ABC绕点C逆时针方向旋转90°，再向下平移2格
B．把△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格
C．把△ABC向下平移4格，再绕点C逆时针方向旋转180°
D．把△ABC向下平移5格，再绕点C顺时针方向旋转180°
【答案】B
【知识点】平移的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据图象，△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格即可与△DEF重合．
故答案为：B．
【分析】根据图形的位置，利用平移、旋转的特征解答即可．
7．（华师大版七年级数学下册10.3.2旋转的特征同步练习）如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB'C'，连接BB'，若AC'∥BB'，则∠CAB'的度数为（ ）
A．45° B．60° C．70° D．90°
【答案】D
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转l20°得到△AB'C'，
∴∠BAB'=∠CAC'=120°，AB=AB'，
∴∠AB'B=（180°﹣120°）=30°，
∵AC'∥BB'，
∴∠C'AB'=∠AB'B=30°，
∴∠CAB'=∠CAC'﹣∠C'AB'=120°﹣30°=90°．
故选D．
【分析】先根据旋转的性质得到∠BAB'=∠CAC'=120°，AB=AB'，根据等腰三角形的性质易得∠AB'B=30°，再根据平行线的性质由AC'∥BB'得∠C'AB'=∠AB'B=30°，然后利用∠CAB'=∠CAC'﹣∠C'AB'进行计算．
8．（2025八上·温州期中）如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图案，直线l 是它的对称轴，下列结论中：①∠AOD+∠BOC=180°；②∠BOF=∠COE；③∠BOC=∠AOB；④∠BOD=90°。正确结论的个数是 （ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，
由图形可知： ∠IOA =∠BOG =∠GOC =∠HOD，
则∠AOD +∠BOC =∠AOD +∠BOG +∠GOC =∠AOD +∠IOA +∠DOH =180°，即①正确；
由图形可知： ∠BOE =∠COF，则∠BOE +∠BOF =∠COF +∠BOF，
∴∠BOF =∠COE，即②正确；
由OB = OB，OA = OC，但AB≠BC，则△BOC与△AOB不全等，
∴∠BOC ≠∠AOB，故③错误；
由图形可知： ∠BOG =∠HOD，则∠BOD =∠BOG +∠GOD =∠HOD +∠GOD =90°，即④正确.
综上，正确的有3个.
故答案为：B.
【分析】根据轴对称的性质，结合全等三角形的判定与性质、角的和差以及等量代换逐个判断即可.
9．（2023八上·北京市期中）如图是3×3的正方形网格，其中已有2个小方格涂成了黑色.现在要从编号为① ④的小方格中选出1个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，不能选择的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【解答】解：如图所示：
从编号为① ④的小方格中选出1个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，使黑色部分成为轴对称图形，这样的白色小方格有：①，②，③，方格④不可以．
故答案为：D
【分析】根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格，剩下的一个即为所求．
10．（2023八上·天津市期中）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，线段AB的顶点均在格点上．在图中画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N均为格点，这样的线段能画（ ）条．
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】作图﹣轴对称
【解析】【解答】如图，根据题意共画出5种位置的线段MN
故选：C
【分析】因为正方形是轴对称图形有四条对称轴，所有至少可以找到4种对称关系的线段，排除答案A、B；再观察线段AB，在正方形内部矩形内还可以画出1条对称线段，共5条。
二、填空题（每题3分，共24分）
11．（2024八上·秦淮月考）如图，在的正方形网格中，有一个格点（阴影部分），则网格中所有与成轴对称的格点三角形的个数是 ．
【答案】5
【知识点】作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：如图，与成轴对称的格点三角形有、、、、共5个，
故答案为：5．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此利用方格纸的特点可分别求出△ABC与AC所在的直线为对称轴的轴对称△ACF，以过AB中点且垂直BC的直线为对称轴的轴对称△BCD，以过AC中点且平行BC得直线为对称轴的轴对称△CDA，以正方形网格框的两条对角线所在的直线为对称轴的轴对称△GEH与△GBH，综上可得答案.
12．（2025七下·杭州月考）图1是一款电脑显示器伸缩架，图2是其截面示意图，固定支架桌面屏幕PQ，支撑杆BC两端可调节和的大小。当屏幕时，测得， 度；若将屏幕PQ绕点顺时针方向旋转度如图3，现只调整的角度，使屏幕PQ仍垂直地面，则的度数为 （用的代数式表示）。
【答案】150；(120-α)°
【知识点】角的运算；平行线的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点C作EF//AB，
∵PQ⊥MN，AB⊥桌面MN，
∴PQ//AB//EF，
∴∠CDQ+∠DCF=180°
∠BCF+∠ABC=180°
∴∠CDQ+∠DCF+∠BCF+∠ABC=180°+180°，
即∠CDQ+∠BCD+∠ABC=360°
∵CD⊥屏幕PQ，∠ABC=120°
∴∠CDQ=90°，
∴360°=∠CDQ+∠BCD+∠ABC=90°+∠BCD+120°，
∴∠BCD=150°；
若将屏幕PO绕点D顺时针方向旋转a度，屏幕PQ仍垂直地面，且只调整∠ABC的角度，
∵∠CDQ=(90+α)°，∠BCD=150°
∴360°=∠CDQ+∠BCD+∠ABC=(90+α)°+150°+∠ABC
∴∠ABC=(120-α)°；
故答案为：150；(120-α)°.
【分析】过点C作EF//AB，推出∠CDQ+∠BCD+∠ABC=360°，然后分两种情况求解即可.
13．（2024八上·株洲月考）如图，将绕点O逆时针旋转后得到，若，则等于 ．
【答案】
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：绕点按逆时针方向旋转后得到，
．
，
．
故答案为：．
【分析】先根据旋转的性质得到，进而进行角的运算即可求解。
14．（2024八上·锡山月考）如图，在的正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形，可供选择的白色小正方形有 个．
【答案】5
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【解答】解：如图，共有以下5种选取涂黑方法：
故答案为：5．
【分析】本题主要对轴对称的概念进行考查，先找出图形存在的对称轴，再根据对称轴对图形进行涂黑，满足要求的小正方形有5个．
15．（2023八上·广陵月考）如图，是轴对称图形，且直线是的对称轴，点E，F是线段上的任意两点，若的面积为，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】9
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵是轴对称图形，且直线是对称轴，
∴，，
∴阴影部分的面积等于面积的一半，
∴（）．
故答案为：9．
【分析】根据轴对称的性质可得：阴影部分的面积等于面积的一半，即可求解．
16．（2024七下·九台期末）如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点．若GH的长为10cm，求△PAB的周长为 ．
【答案】10cm
【知识点】轴对称的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，
∴AG=AP，PB=BH，
∵GH的长为10cm，
∴△PAB的周长为：AP+PB+AB=AG+AB+BH=GH=10cm，
故答案为：10cm．
【分析】
根据两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AG=AP，PB=BH，然后表示出三角形周长，计算可得答案．
17．（2024七下·新昌期中）两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC边与边重合，∠BAC=45°，，接着如图2保持三角板ABC不动，将三角板绕着点C（点C不动）按顺时针（如图标示方向）旋转，在旋转的过程中，逐渐增大，当第一次等于90°时，停止旋转，在此旋转过程中，= 时，三角板有一条边与三角板ABC的边AB恰好平行．
【答案】45°
【知识点】图形的旋转；旋转的性质
【解析】【解答】解：由于旋转角度最大为90°，当AB与A'C平行时，∠ACA'=∠A=45°，故旋转45°度符合题意.
故答案为：45°.
【分析】直接由平行去反推旋转角，即可求得结果.
18．（2024七下·临海期中） 如图，现将一副三角尺摆放在一起，重合的顶点为A点，固定含的三角尺不动，将含的三角尺绕顶点A转动，当点E在直线的下方时，使三角尺中的边与三角尺ABC的一边平行，则（）可能符合条件的度数为 ．
【答案】、和
【知识点】平行线的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意可知，点E在直线的下方，
如图所示，当时，
；
如图所示，，
；
如图所示，，
；
故答案为：、和．
【分析】分类讨论：当时，，，根据题意画出图形，根据旋转的性质，平行线的性质分别求解即可．
三、解答题（共8题，共66分）
19．（2026八上·安州期末） 如图，在平面直角坐标系中，已知 A(0，1)，B(2，0)，C(4，3).
（1） 在平面直角坐标系中画出 ；
（2） 画出 关于 x 轴对称的图形 ；
（3） 在第二象限找一点 D，使得 轴且，写出点 D 的坐标.
【答案】（1）解：即为所求作；
（2）解：如下图，即为所求作；
（3）解：∵在第二象限找一点D，使得轴且，，
∴点D的坐标为(-2，3).
【知识点】轴对称的性质；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【分析】(1)在平面直角坐标系中描点A，B，C，然后依次连接即可；
(2)分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
(3)根据和x轴平行的直线上的点的纵坐标相同，结合DC=6解题即可.
20．（2023七下·怀化期末）如图，已知的顶点都在格点上，直线l与网线重合（每个小正方形的边长均为1个单位长度）
（1）画出关于直线l对称的；
（2）将向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到，画出；
（3）画出绕点A逆时针旋转后得到的．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如（1）题图，即为所求；
（3）解：如（1）题图，即为所求．
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）依据轴对称的性质分别作点A、B、C关于直线l的对称点A1、B1、C1，再顺次连接即得；
（2）根据平移的方向和距离，分别确定点A、B、C平移后的对应点A2、B2、C2，再顺次连接即得；
（3）根据旋转的性质分别作点A、B、C 绕点A逆时针旋转后的对应点B3、C3，再顺次连接即得．
21．（2025八上·安吉期中）作图题：
（1）如图1所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．在图中画出关于直线对称的．（要求：与，与，与相对应）
（2）如图2是由9个相同的小正方形拼成的正方形网格，现将其中2个小正方形涂黑，请用3种不同的方法分别在图中再将1个小正方形涂黑，使图案成为轴对称图形．
【答案】（1）解：以直线为对称轴，分别作点的对称点，的对称点，的对称点，顺次连接，就是关于直线的对称图形；
（2）解：如下图所示．（画3种方法即可）
【知识点】轴对称图形；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质，点到对称轴直线l的距离等于点到对称轴直线l的距离，点到对称轴直线l的距离等于点到对称轴直线l的距离，点到对称轴直线l的距离等于点到对称轴直线l的距离，依此作图再顺次连接即可；
（2）根据轴对称的定义，可以逐一分析每个空格，观察涂黑后是否是轴对称图形.
22．（2023八上·西和期中） 如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．
（1）图中点C的对应点是点 ，∠B的对应角是 ；
（2）若DE＝5，BF＝2，则CF的长为 ；
（3）若∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，求∠EAF的度数．
【答案】（1）E；∠D
（2）3
（3）解：∵∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，
∴∠CAE＝108°-30°＝78°，
再根据对称性，
∴∠EAF＝∠CAF，
∴∠EAF＝＝39°．
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE关于直线MN对称，
∴点C的对应点是E，∠B的对应角是∠D，
故答案为：E；∠D；
（2）∵△ABC和△ADE关于直线MN对称，
∴DE=BC=5，BF=DF=2，CF=EF，
∴CF=BC-BF=5-2=3，
故答案为：3.
【分析】（1）利用轴对称的性质可得点C的对应点是E，∠B的对应角是∠D；
（2）利用轴对称的性质可得DE=BC=5，BF=DF=2，CF=EF，再利用线段的和差及等量代换求出CF的长即可；
（3）先利用角的运算求出∠CAE的度数，再利用轴对称的性质可得∠EAF＝＝39°．
23．（2023七下·盘龙期末）酷热的夏天之后汛期即将来临，防汛指挥部在盘龙江两岸各安置了探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图一，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是秒，灯转动的速度是秒，且、满足．
假定这一带盘龙江两岸河堤是平行的，即，且．
（1） ， ；
（2）若灯射线先转动30秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动 秒时，两灯的光束第一次互相平行；
（3）如图2，两灯同时转动秒，在灯射线到达之前，若射出的光束交于点．
① ▲ （用含的代数式表示）；
②过作交于点，则在转动过程中，猜想：与有怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）3；1
（2）15
（3）解：①；
②
显然点一定在的右侧，，即，
，
，
【知识点】角的运算；平行线的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴a-3=0，b-1=0，
∴a=3，b=1，
故答案为：3，1；
（2）设灯A转动x秒时，两灯光第一次互相平行，由平行线性质，
可得：3x=x+30，
解得x=15，
故答案为：15；
（3）①经过t秒后，∠PBC=t°，∠MAC=3t°，
∵∠BCA=∠NAC+∠PBC，
∴∠BCA=∠NAC+∠PBC=180°-∠MAC+∠PBC=180°-3t°+t°=180°-2t°，
故答案为：.
【分析】（1）利用非负数之和为0的性质求出a、b的值即可；
（2）设灯A转动x秒时，两灯光第一次互相平行，根据题意列出方程3x=x+30，再求出x的值即可；
（3）①先求出∠PBC=t°，∠MAC=3t°，再利用角的运算和等量代换求解即可；
②先求出，再求出，即可得到.
24．（2024七下·德惠期末）一副三角尺（分别含、、和、、）按如图1所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合（，），将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角尺的运动时间为（秒）．
（1）当时，边经过的量角器刻度线对应的度数是________度；
（2）如图2，若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．．
①用含的代数式表示：（________）°； （________）°；
②当为何值时，边平分；
③直接写出当为何值时，
【答案】（1）
（2）解：①，；
②如图，
由旋转可得，，
平分，，
，
，
，
，
，
解得：，
当秒时，边平分；
③5秒或秒
【知识点】解一元一次方程；旋转的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：（1）当时，旋转的角度为，
∴边经过的量角器刻度线对应的度数是；
（2）①当旋转时间为时，则，；
故答案为：，；
③在三角尺和三角尺旋转前，，
而，
分两种情况：与相遇前，
则：， 解得：，
与相遇后，则：，
解得：，
∴当t为5秒或秒时，．
故答案为：5秒或秒
【分析】
（1）先求解时，旋转的角度，从而可得答案；
（2）①根据旋转和角的和差关系进行求解即可；
②根据角平分线平分角可得，结合平角的定义列出方程，解方程即可得到答案；
③分两种情况：与相遇前列方程；相遇后列方程，计算即可求解；
（1）解：当时，旋转的角度为，
∴边经过的量角器刻度线对应的度数是；
（2）①当旋转时间为时，则，；
故答案为：，；
②如图，
由旋转可得，，
平分，，
，
，
，
，
，
解得：，
当秒时，边平分；
③在三角尺和三角尺旋转前，，
而，
分两种情况：与相遇前，
则：， 解得：，
与相遇后，则：，
解得：，
∴当t为5秒或秒时，．
25．（2024七下·宁波期中） 将一副直角三角板按图1方式叠放在一起，并且直角顶点C重合，其中，．保持三角尺固定不动，将三角尺绕着点C顺时针旋转α度．探究以下问题：
（1）如图2，当时，求证：；
（2）当时，若这两个三角尺的一组边互相平行，请画出相应的图形，并求出此时α的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①旋转过程中，当时，如图1所示：
则，
由旋转性质可得：；
②当DE//AB时，如图2所示，延长交于点F：
∵点D在直线的上方，∠A=60°，
∴，
∵，
∴，
∴；
③当时，如图3所示：
则，
∴；
④当时，如图4所示：
则；
⑤当时，如图5所示：
则，
∴；
综上所述：α的度数为或或或或．
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）利用周角的定义求出∠ACE的度数，再计算∠A的度数，从而利用平行线的判定定理得到结论.
（2）分AB//CE，AB//DE，AB//DC，AC//ED，BC//DE几种情况进行讨论，并利用平行线的性质计算α的度数.
26．（2023七下·衡阳期末）如图，有一副直角三角板如图放置（其中，），，与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点逆时针旋转．
（1）在图1中， ；
（2）①如图2，若三角板保持不动，三角板绕点逆时针旋转，转速为秒，转动一周三角板就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有成立；
②如图，在图基础上，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，当转到与位置重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当时，求旋转的时间是多少？
【答案】（1）
（2）解：①如图1，此时，成立，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵转速为秒，
∴旋转时间为秒；
如图2，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵三角板绕点逆时针旋转的角度为，
∵转速为秒，
∴旋转时间为秒，
综上所述，当旋转时间为或秒时，成立；
②设旋转的时间为t秒，由题知，，
∴，
∴，
当，即，
解得：，
∴当，旋转的时间是秒．
【知识点】平行线的性质；图形的旋转
【解析】【解答】解：（1）∵△BDP和△ACP是一副直角三角板，∠D=45°，∠C=30°，
∴∠DPB=45°，∠APC=60°，
∴∠DPC=180°-∠DPB-∠APC=75°.
故答案为：75°.
【分析】（1）由三角板得∠DPB=45°，∠APC=60°，接着由平角的定义即可得答案.
（1）①分两种情况讨论，当边BD和PC在直线MN同侧时，BD∥PC，根据平行线性质得∠CPN=90°，从而得到旋转角度∠APN=30°，再根据转速为10°/秒，得旋转时间为3秒；当边BD和PC在直线MN异侧时，BD∥PC，根据平行线性质得∠CPB=90°，从而得到∠APM=30°，旋转角度为210°，再根据转速为10°/秒，得旋转时间为21秒.
②设旋转的时间为t秒，由题知，， 根据平角的定义表示出∠BPN，根据周角的定义表示出∠CPD，根据∠CPD=∠BPN列出方程，解方程即可得答案.
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