6.2.3&6.2.4 组合与组合数 (共84张PPT)
文档属性
| 名称 | 6.2.3&6.2.4 组合与组合数 (共84张PPT) |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 9.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-15 00:00:00 | ||
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文档简介
(共84张PPT)
第六章 计数原理
6.2.3&6.2.4 组合与组合数
·选择性必修第三册·
学习目标
1. 理解组合、组合数的概念及组合和排列之间的区别与联系；（重点）
2. 能利用计数原理推导组合数公式，并熟练掌握组合数公式及组合数的性质，能运用组合数的性质化简、计算、证明；（重点）
3. 能运用排列数公式、组合数公式和计数原理解决一些简单的应用问题，提高数学应用能力和分析问题、解决问题的能力.（难点）
情景导入
6.2.3&6.2.4 组合与组合数
01
引入新知
某校开展春季校运会招募了20名志愿者,他们的编号分别是1号,2号,…,19号,20号.若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作,其中两个编号较小的人在一组,两个编号较大的在另一组,那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取方法有多少种
引入新知
在学习排列时，有如下问题：
问题１：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中１名同学参加上午的活动，另１名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？
变式：从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，有多少种不同的选法
这是我们本节课要学习的组合与组合数问题？
组合的概念
02
6.2.3&6.2.4 组合与组合数
探究新知
探究
从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，有多少种不同的选法
提示
请用列举法得出结果
甲乙；甲丙；乙丙。共3种选法
甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，就只需考虑将选出的2名同学作为一组， 不需要考虑他们的顺序．因此：
探究新知
思考
两个问题有什么区别？
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？
问题1：从已知的3个不同元素中取出2个元素,
按照一定的顺序排成一列.
问题2：从已知的3个不同元素中取出2个元素,
并成一组.
排列
组合
有顺序
无顺序
探究新知
定义
组合的定义
一般地，从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素作为一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合．
思考：相同组合的条件是什么？
只要元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的.
探究新知
思考：排列与组合之间的联系与区别是什么？
都要“从 n 个不同元素中任取 m 个元素”
联系
排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关.
区别
在上述探究问题中，“甲乙”与 “乙甲”的元素完全相同，
但元素的排列顺序不同，
因此它们是相同的组合，不同的排列．
举例
探究新知
思考：
校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆．
下面的问题是排列问题，还是组合问题
(1)从中选3辆，有多少种不同的方法
(2)从中选3辆给3位同学，有多少种不同的方法
第(1)题组合问题
第(2)题排列问题
应用新知
总结
区分排列与组合的方法
首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，
而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．
应用新知
跟踪练习
判断下列问题是组合问题还是排列问题
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票
有多少种不同的火车票价？
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种
分法
(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次
(5)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法
(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少
种不同的方法
组合问题
排列问题
组合问题
组合问题
组合问题
排列问题
组合问题
应用新知
例1：平面内有A，B，C，D共4个点.
(1)以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？并列举所有有向线段.
分析
(1)确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑它们的顺序，是排列问题；
解析
一条有向线段的两个端点要分起点和终点，以平面内4个点中的2个为端点的有向线段的条数，就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段条数为：
应用新知
例1：平面内有A，B，C，D共4个点.
(2)以其中2个点为端点的线段共有多少条？并列举所有线段.
分析
(2)确定一条线段，只需确定两个端点，而不需考虑它们的顺序，是组合问题．
解析
由于不考虑两个端点的顺序，因此将(2)中端点相同、方向不同的2条有向线段作为一条线段，就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数，共有：AB、AC、AD、BC、BD、CD六条.
应用新知
思考：
利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能建立起例5(1)中排列和(2)中组合之间的对应关系吗
进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数
能，具体对应关系如下：
结合上图可知：12(排列数)÷2=6 (组合的个数)
组合数
组合数
03
6.2.3&6.2.4 组合与组合数
应用新知
定义
组合数的定义
从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号表示.
组合的第一个字母
元素总数
取出元素数
m，n所满足的条件是：
(1) m∈N*，n∈N* ； (2) m≤n .
符号 中的C是英文combination(组合)
的第一个字母，组合数还可以用符号 表示
探究新知
探究
① 从 3 个不同元素a, b, c中取出 2 个元素
排列
组合
ab
ac
bc
ab ba
ac ca
bc cb
探究新知
② 从 4 个不同元素a, b, c, d中取出 3 个元素
排列
abc acb bac bca cab cba
abd adb bad bda dab dba
acd adc cad cda dac dca
组合
abc
abd
acd
bcd
bcd bdc cbd cdb dbc dcb
探究新知
要求
探究新知
公式
组合数公式
应用新知
解析
探究新知
思考
观察例6的(1)与(2) , (3)与(4)的结果,你有什么发现？
(1)与(2)分别用了不同形式的组合数公式,你对公式的选择有什么想法？
猜想：
应用新知
跟踪练习
解析
应用新知
例7：在100件产品中，有98件合格品，2件次品、从这100件产品中任意抽出3件．
(1)有多少种不同的抽法
分析
(1)从100件产品中任意抽出3件，不需考虑顺序，因此这是一个组合问题；
解析
应用新知
例7：在100件产品中，有98件合格品，2件次品、从这100件产品中任意抽出3件．
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种
分析
(2)可以先从2件次品中抽出1件，再从98件合格品中抽出2件，因此可以看作是一个分步完成的组合问题；
解析
应用新知
例7：在100件产品中，有98件合格品，2件次品、从这100件产品中任意抽出3件．
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种
分析
(3)从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品的情况，因此可以看作是一个分类完成的组合问题．
解析
方法1 从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为：
应用新知
例7：在100件产品中，有98件合格品，2件次品、从这100件产品中任意抽出3件．
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种
分析
(3)从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品的情况，因此可以看作是一个分类完成的组合问题．
解析
方法2 抽出的件中至少有件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即：
应用新知
有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类
(1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数.
(2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏.
总结
有限制条件的抽(选)取问题的处理
应用新知
跟踪练习
现有30件分别标有编号的产品，且除了2件次品外，其余都是合格品，从中取出3件：
(1)一共有多少种不同的取法？
(2)若取出的3件产品中恰有1件次品，则不同的抽法共有多少种？
(3)若取出的3件产品中至少要有1件次品，则不同的抽法共有多少种？
解析
应用新知
跟踪练习
现有30件分别标有编号的产品，且除了2件次品外，其余都是合格品，从中取出3件：
(1)一共有多少种不同的取法？
(2)若取出的3件产品中恰有1件次品，则不同的抽法共有多少种？
(3)若取出的3件产品中至少要有1件次品，则不同的抽法共有多少种？
解析
应用新知
跟踪练习
现有30件分别标有编号的产品，且除了2件次品外，其余都是合格品，从中取出3件：
(1)一共有多少种不同的取法？
(2)若取出的3件产品中恰有1件次品，则不同的抽法共有多少种？
(3)若取出的3件产品中至少要有1件次品，则不同的抽法共有多少种？
解析
能力提升
04
6.2.3&6.2.4 组合与组合数
能力提升
题型一
插空法解决“不相邻问题”
例题1
解析
总结
对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可.
能力提升
题型二
捆绑法解决“相邻问题”
总结
对于某几个元素相邻的排列问题，可先将相邻的元素捆绑，再将它与其它元素在一起排列，注意捆绑部分的内部顺序.
例题2
解析
能力提升
题型三
不同元素的分组问题
类型一：除法策略解决不同元素的完全平均分组问题
例题3
解析
总结
能力提升
题型三
不同元素的分组问题
类型二：除法策略解决不同元素的部分平均分组问题
例题3
解析
总结
能力提升
题型三
不同元素的分组问题
类型三：不除策略解决不同元素的完全不平均分组问题
例题3
解析
总结
能力提升
题型四
隔板法解决“相同元素的分组问题”
类型一：每组至少一个元素的情况
例题4
(2)把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，
共有多少种放法（ ）.
A．10种 B．24种 C．36种 D．60种
解析
总结
能力提升
题型四
隔板法解决“相同元素的分组问题”
类型二：允许有的组没有元素的情况
例题4
(1)把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，共有多少种放法( ).
A．24种 B．36种 C．60种 D．84种
解析
总结
课堂小结+限时小练
05
6.2.3&6.2.4 组合与组合数
课堂小结
组合与组合数
随堂限时小练
解
随堂限时小练
解
随堂限时小练
解
随堂限时小练
解
随堂限时小练
解
随堂限时小练
解
随堂限时小练
解
随堂限时小练
解
作业布置
巩固作业
作业1：完成教材：第22-23页 练习1,2,3,第25页 练习1,2,3.
作业2：配套辅导资料对应的《组合即组合数》.
作业布置与课后练习答案
06
6.2.3&6.2.4 组合与组合数
课后作业答案(第22-23页 练习1，2，3)
1.甲、乙、丙、丁4个球队举行单循环赛，列出：
(1)所有各场比赛的双方；
(2)所有冠亚军的可能情况.
(2)所有冠亚军的可能情况有：
(1)(甲、乙)，(甲、丙)，(甲、丁)，(乙、丙)，(乙、丁)，(丙、丁)；
冠军 甲 乙 甲 丙 甲 丁 乙 丙 乙 丁 丙 丁
亚军 乙 甲 丙 甲 丁 甲 丙 乙 丁 乙 丁 丙
课后作业答案(第22-23页 练习1，2，3)
2.已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3个点都不在一条直线上，写出其
中每3点为顶点的所有三角形.
课后作业答案(第22-23页 练习1，2，3)
3.现有1，3，7，13这4个数．
(1)从这4个数中任取2个相加，可以得到多少个不相等的和
(2)从这4个数中任取2个相减，可以得到多少个不相等的差
课后作业答案(第25页 练习1，2，3)
1. 先计算，然后用计算器验证结果：
课后作业答案(第25页 练习1，2，3)
课后作业答案(第25页 练习1，2，3)
3.有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门成绩．
(1)共有多少种不同的选法？
(2)如果物理和化学恰有1门被选，那么共有多少种不同的选法？
(3)如果物理和化学至少有1门被选，那么共有多少种不同的选法．
课后作业答案(习题6.2 第26页)
课后作业答案(习题6.2 第26页)
课后作业答案(习题6.2 第26页)
3.壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆的人民币各1张，一共可以组成多少种币值
由于四张人民币的面值都不相同，组成的面值与顺序无关，所以可以分为四类面值，分别由1张、2张、3张、4张人民币组成，共有不同的面值
课后作业答案(习题6.2 第26页)
4.填空：
(1)有三张参观卷，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是 ；
(2)要从5件不同的礼物中选出3件分送3位同学，不同方法的种数是 ；
(3)5名工人要在3天中各自选择1天休息，不同方法的种数是 ；
(4)集合A有m个元素，集合B有n个元素，从两个集合中各取1个元素，不同
方法的种数 是 .
mn
课后作业答案(习题6.2 第26页)
5．一名同学有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，现要将这些书放在一个单层的书架上．
(1)如果要选其中的6本书放在书架上，那么有多少种不同的放法？
(2)如果要将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，那么有多少种不同的放法？
课后作业答案(习题6.2 第26页)
6.(1)空间有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，一共可以
作多少个平面
(2)空间有10个点，其中任何4点不共面，以每4个点为顶点作一个四面体，一
共可以作多少个四面体
(1)由“三个不共线的点确定一个平面”，所确定的平面与点的顺序无关，所以共可确定的平面数是
课后作业答案(习题6.2 第26页)
7．在一次考试的选做题部分，要求在第1题的4个小题中选做3个小题，在第2题的3个小题中选做2个小题，在第3题的2个小题中选做1个小题，有多少种不同的选法
课后作业答案(习题6.2 第26页)
课后作业答案(习题6.2 第26页)
9. 学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，共有多少种不同的排法
课后作业答案(习题6.2 第26页)
10．班上每个小组有12名同学，现要从每个小组选4名同学组成一支代表队，与其他小组进行辩论赛．
(1)每个小组的代表队有多少种选法？
(2)如果还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每个小组的代表队有多少种选法？
(3)如果每支代表队还要分别指定第一、二、三、四辩手，那么每个小组的代表队有多少种选法？
课后作业答案(习题6.2 第26页)
10．班上每个小组有12名同学，现要从每个小组选4名同学组成一支代表队，与其他小组进行辩论赛．
(1)每个小组的代表队有多少种选法？
(2)如果还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每个小组的代表队有多少种选法？
(3)如果每支代表队还要分别指定第一、二、三、四辩手，那么每个小组的代表队有多少种选法？
课后作业答案(习题6.2 第26页)
10．班上每个小组有12名同学，现要从每个小组选4名同学组成一支代表队，与其他小组进行辩论赛．
(1)每个小组的代表队有多少种选法？
(2)如果还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每个小组的代表队有多少种选法？
(3)如果每支代表队还要分别指定第一、二、三、四辩手，那么每个小组的代表队有多少种选法？
课后作业答案(习题6.2 第26页)
11．一个数阵有m行n列，第一行中的n个数互不相同，其余行都由这n个数以不同的顺序组成．如果任意两行的顺序都不相同，那么m可以取多大的值？
课后作业答案(习题6.2 第26页)
12．(1)从0，2，4，6中任取3个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？
(2)由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字，并且比500 0000大的正整数．
课后作业答案(习题6.2 第26页)
12．(1)从0，2，4，6中任取3个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？
(2)由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字，并且比500 0000大的正整数．
课后作业答案(习题6.2 第26页)
13.从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，问：
(1)如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法
(2)如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有多少种选法
课后作业答案(习题6.2 第26页)
14.一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会．
(1)如果必须有人去，去几个人自行决定，有多少种不同的去法？
(2)如果其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，有多少种去法？
课后作业答案(习题6.2 第26页)
15．从含有3件次品的100件产品中，任意抽取5件进行检验．
(1)抽出的产品都是合格品的抽法有多少种？
(2)抽出的产品中恰好有2件是次品的抽法有多少种？
(3)抽出的产品中至少有2件是次品的抽法有多少种？
(4)抽出的产品中至多有2件是次品的抽法有多少种？
课后作业答案(习题6.2 第26页)
课后作业答案(习题6.2 第26页)
课后作业答案(习题6.2 第26页)
课后作业答案(习题6.2 第26页)
17. 现有五种不同的颜色要对如图形中的四个部分进行着色，要求有公共边的两块不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法
可以按照I，II，III，IV的顺序分别着色：
分别有5，4，3，3种方法，
所以着色种数有
5×4×3×3＝180（种）.
课后作业答案(习题6.2 第26页)
18．移动互联网给人们的沟通交流带来了方便．某种移动社交软件平台，既可供用户彼此添加“好友”单独交流，又可供多个用户建立一个“群”（“群里”的人彼此不一定是“好友”关系）共同交流．如果某人在平台上发了信息，他的“好友”都可以看到，但“群”里的非“好友”不能看到．现有一个10人的“群”，其中1人在平台上发了一条信息，“群”里有3人说看到了，那么这个“群”里与发信息这人是“好友”关系的情况可能有多少种？
群里有3人看到了，说明发信息这人在群里的“好友”有3～9人，
课后作业答案(习题6.2 第26页)
19. 甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次. 甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说“你当然不会是最差的”. 从以上回答分析，5人的名次排列有多少种不同情况
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第六章 计数原理
6.2.3&6.2.4 组合与组合数
·选择性必修第三册·
学习目标
1. 理解组合、组合数的概念及组合和排列之间的区别与联系；（重点）
2. 能利用计数原理推导组合数公式，并熟练掌握组合数公式及组合数的性质，能运用组合数的性质化简、计算、证明；（重点）
3. 能运用排列数公式、组合数公式和计数原理解决一些简单的应用问题，提高数学应用能力和分析问题、解决问题的能力.（难点）
情景导入
6.2.3&6.2.4 组合与组合数
01
引入新知
某校开展春季校运会招募了20名志愿者,他们的编号分别是1号,2号,…,19号,20号.若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作,其中两个编号较小的人在一组,两个编号较大的在另一组,那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取方法有多少种
引入新知
在学习排列时，有如下问题：
问题１：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中１名同学参加上午的活动，另１名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？
变式：从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，有多少种不同的选法
这是我们本节课要学习的组合与组合数问题？
组合的概念
02
6.2.3&6.2.4 组合与组合数
探究新知
探究
从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，有多少种不同的选法
提示
请用列举法得出结果
甲乙；甲丙；乙丙。共3种选法
甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，就只需考虑将选出的2名同学作为一组， 不需要考虑他们的顺序．因此：
探究新知
思考
两个问题有什么区别？
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？
问题1：从已知的3个不同元素中取出2个元素,
按照一定的顺序排成一列.
问题2：从已知的3个不同元素中取出2个元素,
并成一组.
排列
组合
有顺序
无顺序
探究新知
定义
组合的定义
一般地，从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素作为一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合．
思考：相同组合的条件是什么？
只要元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的.
探究新知
思考：排列与组合之间的联系与区别是什么？
都要“从 n 个不同元素中任取 m 个元素”
联系
排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关.
区别
在上述探究问题中，“甲乙”与 “乙甲”的元素完全相同，
但元素的排列顺序不同，
因此它们是相同的组合，不同的排列．
举例
探究新知
思考：
校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆．
下面的问题是排列问题，还是组合问题
(1)从中选3辆，有多少种不同的方法
(2)从中选3辆给3位同学，有多少种不同的方法
第(1)题组合问题
第(2)题排列问题
应用新知
总结
区分排列与组合的方法
首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，
而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．
应用新知
跟踪练习
判断下列问题是组合问题还是排列问题
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票
有多少种不同的火车票价？
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种
分法
(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次
(5)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法
(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少
种不同的方法
组合问题
排列问题
组合问题
组合问题
组合问题
排列问题
组合问题
应用新知
例1：平面内有A，B，C，D共4个点.
(1)以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？并列举所有有向线段.
分析
(1)确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑它们的顺序，是排列问题；
解析
一条有向线段的两个端点要分起点和终点，以平面内4个点中的2个为端点的有向线段的条数，就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段条数为：
应用新知
例1：平面内有A，B，C，D共4个点.
(2)以其中2个点为端点的线段共有多少条？并列举所有线段.
分析
(2)确定一条线段，只需确定两个端点，而不需考虑它们的顺序，是组合问题．
解析
由于不考虑两个端点的顺序，因此将(2)中端点相同、方向不同的2条有向线段作为一条线段，就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数，共有：AB、AC、AD、BC、BD、CD六条.
应用新知
思考：
利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能建立起例5(1)中排列和(2)中组合之间的对应关系吗
进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数
能，具体对应关系如下：
结合上图可知：12(排列数)÷2=6 (组合的个数)
组合数
组合数
03
6.2.3&6.2.4 组合与组合数
应用新知
定义
组合数的定义
从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号表示.
组合的第一个字母
元素总数
取出元素数
m，n所满足的条件是：
(1) m∈N*，n∈N* ； (2) m≤n .
符号 中的C是英文combination(组合)
的第一个字母，组合数还可以用符号 表示
探究新知
探究
① 从 3 个不同元素a, b, c中取出 2 个元素
排列
组合
ab
ac
bc
ab ba
ac ca
bc cb
探究新知
② 从 4 个不同元素a, b, c, d中取出 3 个元素
排列
abc acb bac bca cab cba
abd adb bad bda dab dba
acd adc cad cda dac dca
组合
abc
abd
acd
bcd
bcd bdc cbd cdb dbc dcb
探究新知
要求
探究新知
公式
组合数公式
应用新知
解析
探究新知
思考
观察例6的(1)与(2) , (3)与(4)的结果,你有什么发现？
(1)与(2)分别用了不同形式的组合数公式,你对公式的选择有什么想法？
猜想：
应用新知
跟踪练习
解析
应用新知
例7：在100件产品中，有98件合格品，2件次品、从这100件产品中任意抽出3件．
(1)有多少种不同的抽法
分析
(1)从100件产品中任意抽出3件，不需考虑顺序，因此这是一个组合问题；
解析
应用新知
例7：在100件产品中，有98件合格品，2件次品、从这100件产品中任意抽出3件．
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种
分析
(2)可以先从2件次品中抽出1件，再从98件合格品中抽出2件，因此可以看作是一个分步完成的组合问题；
解析
应用新知
例7：在100件产品中，有98件合格品，2件次品、从这100件产品中任意抽出3件．
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种
分析
(3)从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品的情况，因此可以看作是一个分类完成的组合问题．
解析
方法1 从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为：
应用新知
例7：在100件产品中，有98件合格品，2件次品、从这100件产品中任意抽出3件．
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种
分析
(3)从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品的情况，因此可以看作是一个分类完成的组合问题．
解析
方法2 抽出的件中至少有件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即：
应用新知
有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类
(1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数.
(2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏.
总结
有限制条件的抽(选)取问题的处理
应用新知
跟踪练习
现有30件分别标有编号的产品，且除了2件次品外，其余都是合格品，从中取出3件：
(1)一共有多少种不同的取法？
(2)若取出的3件产品中恰有1件次品，则不同的抽法共有多少种？
(3)若取出的3件产品中至少要有1件次品，则不同的抽法共有多少种？
解析
应用新知
跟踪练习
现有30件分别标有编号的产品，且除了2件次品外，其余都是合格品，从中取出3件：
(1)一共有多少种不同的取法？
(2)若取出的3件产品中恰有1件次品，则不同的抽法共有多少种？
(3)若取出的3件产品中至少要有1件次品，则不同的抽法共有多少种？
解析
应用新知
跟踪练习
现有30件分别标有编号的产品，且除了2件次品外，其余都是合格品，从中取出3件：
(1)一共有多少种不同的取法？
(2)若取出的3件产品中恰有1件次品，则不同的抽法共有多少种？
(3)若取出的3件产品中至少要有1件次品，则不同的抽法共有多少种？
解析
能力提升
04
6.2.3&6.2.4 组合与组合数
能力提升
题型一
插空法解决“不相邻问题”
例题1
解析
总结
对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可.
能力提升
题型二
捆绑法解决“相邻问题”
总结
对于某几个元素相邻的排列问题，可先将相邻的元素捆绑，再将它与其它元素在一起排列，注意捆绑部分的内部顺序.
例题2
解析
能力提升
题型三
不同元素的分组问题
类型一：除法策略解决不同元素的完全平均分组问题
例题3
解析
总结
能力提升
题型三
不同元素的分组问题
类型二：除法策略解决不同元素的部分平均分组问题
例题3
解析
总结
能力提升
题型三
不同元素的分组问题
类型三：不除策略解决不同元素的完全不平均分组问题
例题3
解析
总结
能力提升
题型四
隔板法解决“相同元素的分组问题”
类型一：每组至少一个元素的情况
例题4
(2)把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，
共有多少种放法（ ）.
A．10种 B．24种 C．36种 D．60种
解析
总结
能力提升
题型四
隔板法解决“相同元素的分组问题”
类型二：允许有的组没有元素的情况
例题4
(1)把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，共有多少种放法( ).
A．24种 B．36种 C．60种 D．84种
解析
总结
课堂小结+限时小练
05
6.2.3&6.2.4 组合与组合数
课堂小结
组合与组合数
随堂限时小练
解
随堂限时小练
解
随堂限时小练
解
随堂限时小练
解
随堂限时小练
解
随堂限时小练
解
随堂限时小练
解
随堂限时小练
解
作业布置
巩固作业
作业1：完成教材：第22-23页 练习1,2,3,第25页 练习1,2,3.
作业2：配套辅导资料对应的《组合即组合数》.
作业布置与课后练习答案
06
6.2.3&6.2.4 组合与组合数
课后作业答案(第22-23页 练习1，2，3)
1.甲、乙、丙、丁4个球队举行单循环赛，列出：
(1)所有各场比赛的双方；
(2)所有冠亚军的可能情况.
(2)所有冠亚军的可能情况有：
(1)(甲、乙)，(甲、丙)，(甲、丁)，(乙、丙)，(乙、丁)，(丙、丁)；
冠军 甲 乙 甲 丙 甲 丁 乙 丙 乙 丁 丙 丁
亚军 乙 甲 丙 甲 丁 甲 丙 乙 丁 乙 丁 丙
课后作业答案(第22-23页 练习1，2，3)
2.已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3个点都不在一条直线上，写出其
中每3点为顶点的所有三角形.
课后作业答案(第22-23页 练习1，2，3)
3.现有1，3，7，13这4个数．
(1)从这4个数中任取2个相加，可以得到多少个不相等的和
(2)从这4个数中任取2个相减，可以得到多少个不相等的差
课后作业答案(第25页 练习1，2，3)
1. 先计算，然后用计算器验证结果：
课后作业答案(第25页 练习1，2，3)
课后作业答案(第25页 练习1，2，3)
3.有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门成绩．
(1)共有多少种不同的选法？
(2)如果物理和化学恰有1门被选，那么共有多少种不同的选法？
(3)如果物理和化学至少有1门被选，那么共有多少种不同的选法．
课后作业答案(习题6.2 第26页)
课后作业答案(习题6.2 第26页)
课后作业答案(习题6.2 第26页)
3.壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆的人民币各1张，一共可以组成多少种币值
由于四张人民币的面值都不相同，组成的面值与顺序无关，所以可以分为四类面值，分别由1张、2张、3张、4张人民币组成，共有不同的面值
课后作业答案(习题6.2 第26页)
4.填空：
(1)有三张参观卷，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是 ；
(2)要从5件不同的礼物中选出3件分送3位同学，不同方法的种数是 ；
(3)5名工人要在3天中各自选择1天休息，不同方法的种数是 ；
(4)集合A有m个元素，集合B有n个元素，从两个集合中各取1个元素，不同
方法的种数 是 .
mn
课后作业答案(习题6.2 第26页)
5．一名同学有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，现要将这些书放在一个单层的书架上．
(1)如果要选其中的6本书放在书架上，那么有多少种不同的放法？
(2)如果要将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，那么有多少种不同的放法？
课后作业答案(习题6.2 第26页)
6.(1)空间有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，一共可以
作多少个平面
(2)空间有10个点，其中任何4点不共面，以每4个点为顶点作一个四面体，一
共可以作多少个四面体
(1)由“三个不共线的点确定一个平面”，所确定的平面与点的顺序无关，所以共可确定的平面数是
课后作业答案(习题6.2 第26页)
7．在一次考试的选做题部分，要求在第1题的4个小题中选做3个小题，在第2题的3个小题中选做2个小题，在第3题的2个小题中选做1个小题，有多少种不同的选法
课后作业答案(习题6.2 第26页)
课后作业答案(习题6.2 第26页)
9. 学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，共有多少种不同的排法
课后作业答案(习题6.2 第26页)
10．班上每个小组有12名同学，现要从每个小组选4名同学组成一支代表队，与其他小组进行辩论赛．
(1)每个小组的代表队有多少种选法？
(2)如果还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每个小组的代表队有多少种选法？
(3)如果每支代表队还要分别指定第一、二、三、四辩手，那么每个小组的代表队有多少种选法？
课后作业答案(习题6.2 第26页)
10．班上每个小组有12名同学，现要从每个小组选4名同学组成一支代表队，与其他小组进行辩论赛．
(1)每个小组的代表队有多少种选法？
(2)如果还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每个小组的代表队有多少种选法？
(3)如果每支代表队还要分别指定第一、二、三、四辩手，那么每个小组的代表队有多少种选法？
课后作业答案(习题6.2 第26页)
10．班上每个小组有12名同学，现要从每个小组选4名同学组成一支代表队，与其他小组进行辩论赛．
(1)每个小组的代表队有多少种选法？
(2)如果还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每个小组的代表队有多少种选法？
(3)如果每支代表队还要分别指定第一、二、三、四辩手，那么每个小组的代表队有多少种选法？
课后作业答案(习题6.2 第26页)
11．一个数阵有m行n列，第一行中的n个数互不相同，其余行都由这n个数以不同的顺序组成．如果任意两行的顺序都不相同，那么m可以取多大的值？
课后作业答案(习题6.2 第26页)
12．(1)从0，2，4，6中任取3个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？
(2)由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字，并且比500 0000大的正整数．
课后作业答案(习题6.2 第26页)
12．(1)从0，2，4，6中任取3个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？
(2)由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字，并且比500 0000大的正整数．
课后作业答案(习题6.2 第26页)
13.从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，问：
(1)如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法
(2)如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有多少种选法
课后作业答案(习题6.2 第26页)
14.一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会．
(1)如果必须有人去，去几个人自行决定，有多少种不同的去法？
(2)如果其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，有多少种去法？
课后作业答案(习题6.2 第26页)
15．从含有3件次品的100件产品中，任意抽取5件进行检验．
(1)抽出的产品都是合格品的抽法有多少种？
(2)抽出的产品中恰好有2件是次品的抽法有多少种？
(3)抽出的产品中至少有2件是次品的抽法有多少种？
(4)抽出的产品中至多有2件是次品的抽法有多少种？
课后作业答案(习题6.2 第26页)
课后作业答案(习题6.2 第26页)
课后作业答案(习题6.2 第26页)
课后作业答案(习题6.2 第26页)
17. 现有五种不同的颜色要对如图形中的四个部分进行着色，要求有公共边的两块不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法
可以按照I，II，III，IV的顺序分别着色：
分别有5，4，3，3种方法，
所以着色种数有
5×4×3×3＝180（种）.
课后作业答案(习题6.2 第26页)
18．移动互联网给人们的沟通交流带来了方便．某种移动社交软件平台，既可供用户彼此添加“好友”单独交流，又可供多个用户建立一个“群”（“群里”的人彼此不一定是“好友”关系）共同交流．如果某人在平台上发了信息，他的“好友”都可以看到，但“群”里的非“好友”不能看到．现有一个10人的“群”，其中1人在平台上发了一条信息，“群”里有3人说看到了，那么这个“群”里与发信息这人是“好友”关系的情况可能有多少种？
群里有3人看到了，说明发信息这人在群里的“好友”有3～9人，
课后作业答案(习题6.2 第26页)
19. 甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次. 甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说“你当然不会是最差的”. 从以上回答分析，5人的名次排列有多少种不同情况
THANKS
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