6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第1课时） 课件(共55张PPT)
文档属性
| 名称 | 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第1课时） 课件(共55张PPT) |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 5.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-15 00:00:00 | ||
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文档简介
(共55张PPT)
第六章 计数原理
6.1分类加法计数原理
与分步乘法计数原理
·选择性必修第三册·
学习目标
1.通过实例能归纳总结出分类加法计数原理与分步乘法计数原理;（重点）
2.正确理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征,选择“分类”或“分步”.（重点）
3.能利用两个原理解决一些简单的实际问题.（难点）
4.培养数学建模、数学运算等重要学科素养
情境导入
6.1 两个计数原理
01
引入新知
随着人们生活水平的提高,家庭汽车拥有量迅速增长,汽车号牌序号需要扩容．
那么,交通管理部门应如何确定序号的组成方法,才能满足民众的需求呢
计数问题
引入新知
小朋友数玩具
红、黄、绿三面旗帜组成航海信号
4种碱基组成不同的RNA分子
思考：通过一个一个地数是计数的基本方法，但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高，能否设计巧妙的“计数”，以提高效率呢？
分类加法计数原理
6.1 两个计数原理
02
探究新知
思考
用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
编号有2类方案：
第一类方案 用大写的英文字母编号：可编出 26种 不同的号码;
第二类方案 用阿拉伯数字编号：可编出 10种 不同号码;
总共能编出 26+10=36种 不同的号码.
探究新知
探究
你能说一说这个问题的特征吗
首先
这里要完成的事情是“给一个座位编号”
其次
“或”字的出现：一个座位编号用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示
因为英文字母与阿拉伯数字互不相同，所以用英文字母
编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也互不相同．
这两类号码数相加就得到号码的总数．
探究新知
思考
上述计数过程的基本环节有哪些？
（1）
确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类；
（2）
分别计算各类号码的个数；
（3）
各类号码的个数相加，得出所有号码的个数．
思考
你能举一些生活中类似的例子吗？
探究新知
举例
小明要从北京到重庆，一天中飞机有4班，火车有3班，一天中乘坐这些交通工具从北京到重庆共有多少种不同的走法？
从北京到重庆有2类方案：
第一类方案 乘坐飞机：可编出 4种 不同的号码;
第二类方案 乘坐火车：可编出 3种 不同号码;
总共能编出 4+3=7种 不同的号码.
探究新知
定义
一般地，有如下 分类加法计数原理：
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有 m 种不同的方法，在第2类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有：
种不同的方法.
应用新知
例1：在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些
自己感兴趣的强项专业，如表6.1-1，
表6.1-1
A大学 B大学
生物学 数学
化学 会计学
医学 信息技术学
管理学 法学
工程学
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？
应用新知
分析
要完成的事情是“选一个专业”．因为这名同学在A，B两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又因为这两所大学没有共同的强项专业，所以符合分类加法计数原理的条件．
解析
该同学选一个专业，有两类方案：
第1类，在A大学中选，有5种专业选择方法；
所以根据分类加法计数原理，共有不同选法种数为:
N = 5+4 = 9
第2类，在B大学中选，有4种专业选择方法．，
应用新知
可以从男生或女生种选一名．
从男生中有30种不同选法，从女生中有24种不同选法．
根据分类加法计数原理，该班选一名做代表的选法种数为
N= 30+24 = 54
解析
跟踪练习：某班有男生30名，女生24名，现要从中选一名，代表班级参加比
赛，共有_______种不同的选法.
54
探究新知
探究
完成一件事有三类不同方案，在第 1 类方案中有 m1 种不同的方法，在第 2 类方案中有 m2 种不同的方法，在第 3 类方案中有 m3 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？
共有 N = m1+m2+m3 种不同方法
推广
如果完成一件事情有 n 类不同方案，在每一类中都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢
共有 N = m1+m2+ ... +mn 种不同方法
分步乘法计数原理
6.1 两个计数原理
03
探究新知
追问
前一个问题和这个问题，完成的事情都是“给一个座位编号”，这两个问题有何不同？
思考
这两个问题中编号的要求不同，
在前一问题中，用26个英文字母中的任意一个或10个阿拉伯数字中的任意一个，都可以给出一个座位号码．
但在这个问题中，号码必须由一个英文字母和一个作为下标的阿拉伯数字组成，即得到一个号码要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这样两个步骤．
探究新知
提示
用图6.1-1所示的方法可以列出所有可能的号码.
图 6.1-1 是解决计数问题常用的
“树状图”
追问
你能用树状图列出所有可能的号码吗？
探究新知
追问
有没有更简单一点的计数方法？
我们还可以这样来思考：
由于前 6 个英文字母的任意一个都能和 9 个数字中的任何一个组成一个号码,而且它们各不相同，因此共有
6×9 = 54
个不同的号码.
探究新知
探究
你能说一说这个问题的特征吗
首先
这里要完成的事情仍然是“给一个座位编号”
其次
“和”字的出现：一个座位编号由一个英文字母和一个阿拉伯数字构成
因此得到一个座位号要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这两个步骤，每一个英文字母与不同的数字组成的号码是互不相同的．
探究新知
思考
上述计数过程的基本环节有哪些？
（1）
确定分步标准，根据问题条件分：先选字母号码，后选数字号码两个步骤；
（2）
分别计算各步骤号码的个数；
（3）
各类号码的个数相乘，得出所有号码的个数．
思考
你能举一些生活中类似的例子吗？
探究新知
举例
小明先从北京到成都，飞机有4班，一天后再从成都到重庆，火车有3班。小明乘坐这些交通工具从北京经成都到重庆共有多少种不同的走法？
从北京到重庆：需分2个步骤进行
第一步 从北京到成都：有 4种 不同的走法;
第二步 从成都到重庆：有 3种 不同的走法;
总共有 4×3=12种 不同的走法.
探究新知
定义
一般地，有如下 分步乘法法计数原理：
完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2 步有 种不同的方法，那么完成这件事共有：
N = m×n
种不同的方法.
辨析
(1)无论第1步采用哪种方法，与之对应的第2步都有相同的方法数
(2)只有各个步骤都完成才算做完这件事情
应用新知
例2：某班有男生30名、女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加
比赛，共有多少种不同的选法
分析
要完成的一件事是“选男生和女生各1名”，可以分两个步骤：第1步，选男生；第2步，选女生．
任选男生和女生各1名，可以分两个步骤完成：
第1步，从30名男生中选出1人，有30种不同选法；
第2步，从24名女生中选出1人，有24种不同选法，
所以根据分步乘法计数原理，共有不同选法种数为:
N= 30×24 = 720
解析
应用新知
跟踪练习：某电话局管辖范围内的电话号码由6位数字组成，其中前4位的数
字是不变的，后2位数字都是0～9之间的一个数字，这个电话局
不同的电话号码最多有多少个？
确定后两位数字组成一个电话号码，可以分两个步骤完成：
第1步，选第5位上的数字，有10种不同选法；
第2步，选第6位上的数字，有10种不同选法，
所以根据分步乘法计数原理，共有不同选法种数为
N= 10×10 = 100
解析
探究新知
探究
完成一件事需要三个步骤，做第 1 步有 m1 种不同的方法，做第 2 步有 m2 种不同的方法，做第 3 步有 m3 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？
共有 N = m1×m2×m3 种不同方法
推广
如果完成一件事情需要 n 个步骤，做每一步都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢
共有 N = m1×m2× ... ×mn 种不同方法
应用新知
例3：书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，
第3层放有2本不同的体育书．
(1)从书架上任取1本书，有多少种不同取法
(2)从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法
分析
(1)要完成的一件事是“从书架上取1本书”，可以分从第1层、第2层和第3层中取三类方案；
(2)要完成的一件事是“从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书”，可以分三个步骤完成．
应用新知
(1)从书架上任取 1 本书，有三类方案：
解析
第 1 类方案是从第 1 层取１本计算机书，有 4 种方法；
根据分类加法计数原理，不同取法的种数为：N = 4+3+2 = 9
第 2 类方案是从第 2 层取１本文艺书，有 3 种方法；
第 3 类方案是从第 3 层取１本体育书，有 2 种方法．
应用新知
(2)从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分3个步骤完成：
解析
第 1 步，从第 1 层取 1 本计算机书，有 4 种方法；
根据分步乘法计数原理，不同取法的种数为：N = 4×3×2 = 24
第 2 步，从第 2 层取 1 本文艺书，有 3 种方法；
第 3 步，从第 3 层取 1 本体育书，有 2 种方法．
应用新知
跟踪练习：要从甲、乙、丙 3 幅不同的画中选出 2 幅, 分别
挂在左、右两边墙上的指定位置,问共有多少种不
同的挂法
解析
法一：分步乘法计数原理 3×2 = 6
第 1 步：选出 2 幅画( 3种：甲乙、甲丙、乙丙)
第 2 步：对 2 幅画确定左右(各 2 种挂法)
法二：分步乘法计数原理 3×2 = 6
第 1 步：选 1 幅挂左边( 3种：甲、乙、丙)
第 2 步：选 1 幅挂右边(各 2 种选择)
应用新知
跟踪练习：要从甲、乙、丙 3 幅不同的画中选出 2 幅, 分别
挂在左、右两边墙上的指定位置,问共有多少种不
同的挂法
解析
法三：分类加法计数原理 2+2+2 = 6
第 1 类：甲在左( 2种方法：甲乙、甲丙)
第 2 类：乙在左( 2种方法：乙丙、乙甲)
第 3 类：丙在左( 2种方法：丙甲、丙乙)
法四：树状图列举法，如右图
探究新知
总结
分类计数原理加法与分步乘法计数原理的异同：
相同点
回答的都是有关做一件事的不同方法总数的问题
不同点
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用任何一种方法都可以做完这件事；
针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．
能力提升
6.1 两个计数原理
04
能力提升
题型一
“多面手”问题
例题1
7名学生中，3名会下象棋但不会下围棋，2名会下围棋但不会下象棋，2名既会下象棋又会下围棋，现从这7人中选出2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有____种不同的选法.
【详解】第 1 步：选出会象棋的，有5种选择;
第 2 步：选出会围棋的，有4种选择;
根据分步乘法计数原理，共5×4=20种选法.
3
象
2
围
2
多
其中同个多面手2次均被选中的情况应排除，
故有20－2=18种选法
能力提升
总结
排除法解决“多面手”问题
模型
a 名会甲但不会乙，c 名会乙但不会甲，b 名既会甲又会乙，现从中选出2人分别参加甲比赛和乙比赛，共有 N 种不同的选法.
a
甲
c
乙
b
多
解析
第1步：选出会甲的，有 a+b 种选择;
第2步：选出会乙的，有 c+b 种选择;
根据分步乘法计数原理，共 (a+b)(c+b) 种选法.
其中同个多面手2次均被选中的情况应排除，
故有 (a+b)(c+b)－b种选法
能力提升
题型二
“ ab与ba”问题
例题2
有6名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定6名同学都参加)
(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；
(2)每项限报一人，但每人参加的项目不限．
【详解】(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法．根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为：36=729
(2)每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这6人中选出1人参赛．
根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为：63=216
能力提升
总结
模型
有a个人选b个项目，在下列情况下各有多少种不同的选法？(不一定每人都参加)
(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；
(2)每项限报一人，但每人参加的项目不限．
分步乘法计数原理解决“abba”问题
解析
(1)人选项目，每人有 b 种选法，根据乘法原理：a个人共有种 ba 选法;
(2)项目选人，每项目有 a 种选法，根据乘法原理：b个项目共有 ab 种选法;
课堂小结+限时小练
6.1 两个计数原理
05
课堂小结
两个
计数原理
随堂限时小练
解析
随堂限时小练
解析
随堂限时小练
解析
随堂限时小练
解析
随堂限时小练
解析
随堂限时小练
解析
随堂限时小练
解析
第1步：选出会下象棋的，有 6 种选择;
第2步：选出会乙的，有 7 种选择;
根据分步乘法计数原理，共 6×7=42 种选法.
其中同个多面手 4 次均被选中的情况应排除，
故有 42-4=38 种选法
2
象棋
3
围棋
4
多
作业布置
巩固作业
作业1：完成教材：第5页~第6页 练习1,2,3,4.
作业2：配套辅导资料对应的《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》.
作业布置与课后练习答案
6.1 两个计数原理
06
课后作业答案
1．填空题
(1)一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是 ；
(2)从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同路线的条数是 ．
练习 (第5页)
(1)由分类加法计数原理可得，不同选法的种数是：5 + 4=9
(2)由分步乘法计数原理可得，不同选法的种数是：3×2=6
课后作业答案
练习 (第5页)
在例1中，若数学也是A大学的强项专业，则A大学有6个专业可以选择，B大学有4个专业可以选择，应用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择种数为6+4=10．这种算法有什么问题？
这种算法不正确.
因为要确定的是这名同学的专业选择，并步需要考虑学校的差异，
所以应当是6+4-1=9（种）可能的专业选择.
课后作业答案
练习 (第5页)
3．书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书
(1)从书架上任取1本书，有多少种不同的取法
(2)从书架上任取数学书和语文书各1本，有多少种不同的取法
(1)从书架上任取 1 本书，有两类方法：
第 1 类方法是从上层取 1 本数学书，有 6 种取法；
第 2 类方法是从下层取 1 本语文书，有 5 种取法，
根据分类加法计数原理可得，不同的取法种数为 N=6+5=11
课后作业答案
练习 (第6页)
3．书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书
(1)从书架上任取1本书，有多少种不同的取法
(2)从书架上任取数学书和语文书各1本，有多少种不同的取法
(2)从书架的上、下层各取 1 本书，可以分成两个步骤完成：
第 1 步，从上层取 1 本数学书，有 6 种取法；
第 2 步，从下层取 1 本语文书，有 5 种取法，
根据分步乘法计数原理可得，不同的取法种数为 N=6×5=30.
课后作业答案
练习 (第6页)
4．现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名．
(1)从三个年级的学生中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法
(2)从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动．有多少种不同的选法
(1)从三个年级的学生中任选 1 人，有三类方案：
第 1 类从高一年级的学生中选取 1 名，有 3 种选法；第 2 类从高二年级的学生中选取 1 名，有 5 种选法；第 3 类从高三年级的学生中选取 1 名，有 4 种选法；
根据分类加法计数原理可得，不同的取法种数为 N=3+5+4=12
课后作业答案
练习 (第6页)
4．现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名．
(1)从三个年级的学生中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法
(2)从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动．有多少种不同的选法
(2)从三个年级的学生中任各选 1 人，可以分三步完成：
第 1 步从高一年级的学生中选取 1 名，有 3 种选法；第 2 步从高二年级的学生中选取 1 名，有 5 种选法；第 3 步从高三年级的学生中选取 1 名，有 4 种选法；
根据分步乘法计数原理可得，不同的取法种数为 N=3×5×4=60.
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第六章 计数原理
6.1分类加法计数原理
与分步乘法计数原理
·选择性必修第三册·
学习目标
1.通过实例能归纳总结出分类加法计数原理与分步乘法计数原理;（重点）
2.正确理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征,选择“分类”或“分步”.（重点）
3.能利用两个原理解决一些简单的实际问题.（难点）
4.培养数学建模、数学运算等重要学科素养
情境导入
6.1 两个计数原理
01
引入新知
随着人们生活水平的提高,家庭汽车拥有量迅速增长,汽车号牌序号需要扩容．
那么,交通管理部门应如何确定序号的组成方法,才能满足民众的需求呢
计数问题
引入新知
小朋友数玩具
红、黄、绿三面旗帜组成航海信号
4种碱基组成不同的RNA分子
思考：通过一个一个地数是计数的基本方法，但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高，能否设计巧妙的“计数”，以提高效率呢？
分类加法计数原理
6.1 两个计数原理
02
探究新知
思考
用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
编号有2类方案：
第一类方案 用大写的英文字母编号：可编出 26种 不同的号码;
第二类方案 用阿拉伯数字编号：可编出 10种 不同号码;
总共能编出 26+10=36种 不同的号码.
探究新知
探究
你能说一说这个问题的特征吗
首先
这里要完成的事情是“给一个座位编号”
其次
“或”字的出现：一个座位编号用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示
因为英文字母与阿拉伯数字互不相同，所以用英文字母
编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也互不相同．
这两类号码数相加就得到号码的总数．
探究新知
思考
上述计数过程的基本环节有哪些？
（1）
确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类；
（2）
分别计算各类号码的个数；
（3）
各类号码的个数相加，得出所有号码的个数．
思考
你能举一些生活中类似的例子吗？
探究新知
举例
小明要从北京到重庆，一天中飞机有4班，火车有3班，一天中乘坐这些交通工具从北京到重庆共有多少种不同的走法？
从北京到重庆有2类方案：
第一类方案 乘坐飞机：可编出 4种 不同的号码;
第二类方案 乘坐火车：可编出 3种 不同号码;
总共能编出 4+3=7种 不同的号码.
探究新知
定义
一般地，有如下 分类加法计数原理：
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有 m 种不同的方法，在第2类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有：
种不同的方法.
应用新知
例1：在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些
自己感兴趣的强项专业，如表6.1-1，
表6.1-1
A大学 B大学
生物学 数学
化学 会计学
医学 信息技术学
管理学 法学
工程学
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？
应用新知
分析
要完成的事情是“选一个专业”．因为这名同学在A，B两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又因为这两所大学没有共同的强项专业，所以符合分类加法计数原理的条件．
解析
该同学选一个专业，有两类方案：
第1类，在A大学中选，有5种专业选择方法；
所以根据分类加法计数原理，共有不同选法种数为:
N = 5+4 = 9
第2类，在B大学中选，有4种专业选择方法．，
应用新知
可以从男生或女生种选一名．
从男生中有30种不同选法，从女生中有24种不同选法．
根据分类加法计数原理，该班选一名做代表的选法种数为
N= 30+24 = 54
解析
跟踪练习：某班有男生30名，女生24名，现要从中选一名，代表班级参加比
赛，共有_______种不同的选法.
54
探究新知
探究
完成一件事有三类不同方案，在第 1 类方案中有 m1 种不同的方法，在第 2 类方案中有 m2 种不同的方法，在第 3 类方案中有 m3 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？
共有 N = m1+m2+m3 种不同方法
推广
如果完成一件事情有 n 类不同方案，在每一类中都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢
共有 N = m1+m2+ ... +mn 种不同方法
分步乘法计数原理
6.1 两个计数原理
03
探究新知
追问
前一个问题和这个问题，完成的事情都是“给一个座位编号”，这两个问题有何不同？
思考
这两个问题中编号的要求不同，
在前一问题中，用26个英文字母中的任意一个或10个阿拉伯数字中的任意一个，都可以给出一个座位号码．
但在这个问题中，号码必须由一个英文字母和一个作为下标的阿拉伯数字组成，即得到一个号码要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这样两个步骤．
探究新知
提示
用图6.1-1所示的方法可以列出所有可能的号码.
图 6.1-1 是解决计数问题常用的
“树状图”
追问
你能用树状图列出所有可能的号码吗？
探究新知
追问
有没有更简单一点的计数方法？
我们还可以这样来思考：
由于前 6 个英文字母的任意一个都能和 9 个数字中的任何一个组成一个号码,而且它们各不相同，因此共有
6×9 = 54
个不同的号码.
探究新知
探究
你能说一说这个问题的特征吗
首先
这里要完成的事情仍然是“给一个座位编号”
其次
“和”字的出现：一个座位编号由一个英文字母和一个阿拉伯数字构成
因此得到一个座位号要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这两个步骤，每一个英文字母与不同的数字组成的号码是互不相同的．
探究新知
思考
上述计数过程的基本环节有哪些？
（1）
确定分步标准，根据问题条件分：先选字母号码，后选数字号码两个步骤；
（2）
分别计算各步骤号码的个数；
（3）
各类号码的个数相乘，得出所有号码的个数．
思考
你能举一些生活中类似的例子吗？
探究新知
举例
小明先从北京到成都，飞机有4班，一天后再从成都到重庆，火车有3班。小明乘坐这些交通工具从北京经成都到重庆共有多少种不同的走法？
从北京到重庆：需分2个步骤进行
第一步 从北京到成都：有 4种 不同的走法;
第二步 从成都到重庆：有 3种 不同的走法;
总共有 4×3=12种 不同的走法.
探究新知
定义
一般地，有如下 分步乘法法计数原理：
完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2 步有 种不同的方法，那么完成这件事共有：
N = m×n
种不同的方法.
辨析
(1)无论第1步采用哪种方法，与之对应的第2步都有相同的方法数
(2)只有各个步骤都完成才算做完这件事情
应用新知
例2：某班有男生30名、女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加
比赛，共有多少种不同的选法
分析
要完成的一件事是“选男生和女生各1名”，可以分两个步骤：第1步，选男生；第2步，选女生．
任选男生和女生各1名，可以分两个步骤完成：
第1步，从30名男生中选出1人，有30种不同选法；
第2步，从24名女生中选出1人，有24种不同选法，
所以根据分步乘法计数原理，共有不同选法种数为:
N= 30×24 = 720
解析
应用新知
跟踪练习：某电话局管辖范围内的电话号码由6位数字组成，其中前4位的数
字是不变的，后2位数字都是0～9之间的一个数字，这个电话局
不同的电话号码最多有多少个？
确定后两位数字组成一个电话号码，可以分两个步骤完成：
第1步，选第5位上的数字，有10种不同选法；
第2步，选第6位上的数字，有10种不同选法，
所以根据分步乘法计数原理，共有不同选法种数为
N= 10×10 = 100
解析
探究新知
探究
完成一件事需要三个步骤，做第 1 步有 m1 种不同的方法，做第 2 步有 m2 种不同的方法，做第 3 步有 m3 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？
共有 N = m1×m2×m3 种不同方法
推广
如果完成一件事情需要 n 个步骤，做每一步都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢
共有 N = m1×m2× ... ×mn 种不同方法
应用新知
例3：书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，
第3层放有2本不同的体育书．
(1)从书架上任取1本书，有多少种不同取法
(2)从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法
分析
(1)要完成的一件事是“从书架上取1本书”，可以分从第1层、第2层和第3层中取三类方案；
(2)要完成的一件事是“从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书”，可以分三个步骤完成．
应用新知
(1)从书架上任取 1 本书，有三类方案：
解析
第 1 类方案是从第 1 层取１本计算机书，有 4 种方法；
根据分类加法计数原理，不同取法的种数为：N = 4+3+2 = 9
第 2 类方案是从第 2 层取１本文艺书，有 3 种方法；
第 3 类方案是从第 3 层取１本体育书，有 2 种方法．
应用新知
(2)从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分3个步骤完成：
解析
第 1 步，从第 1 层取 1 本计算机书，有 4 种方法；
根据分步乘法计数原理，不同取法的种数为：N = 4×3×2 = 24
第 2 步，从第 2 层取 1 本文艺书，有 3 种方法；
第 3 步，从第 3 层取 1 本体育书，有 2 种方法．
应用新知
跟踪练习：要从甲、乙、丙 3 幅不同的画中选出 2 幅, 分别
挂在左、右两边墙上的指定位置,问共有多少种不
同的挂法
解析
法一：分步乘法计数原理 3×2 = 6
第 1 步：选出 2 幅画( 3种：甲乙、甲丙、乙丙)
第 2 步：对 2 幅画确定左右(各 2 种挂法)
法二：分步乘法计数原理 3×2 = 6
第 1 步：选 1 幅挂左边( 3种：甲、乙、丙)
第 2 步：选 1 幅挂右边(各 2 种选择)
应用新知
跟踪练习：要从甲、乙、丙 3 幅不同的画中选出 2 幅, 分别
挂在左、右两边墙上的指定位置,问共有多少种不
同的挂法
解析
法三：分类加法计数原理 2+2+2 = 6
第 1 类：甲在左( 2种方法：甲乙、甲丙)
第 2 类：乙在左( 2种方法：乙丙、乙甲)
第 3 类：丙在左( 2种方法：丙甲、丙乙)
法四：树状图列举法，如右图
探究新知
总结
分类计数原理加法与分步乘法计数原理的异同：
相同点
回答的都是有关做一件事的不同方法总数的问题
不同点
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用任何一种方法都可以做完这件事；
针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．
能力提升
6.1 两个计数原理
04
能力提升
题型一
“多面手”问题
例题1
7名学生中，3名会下象棋但不会下围棋，2名会下围棋但不会下象棋，2名既会下象棋又会下围棋，现从这7人中选出2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有____种不同的选法.
【详解】第 1 步：选出会象棋的，有5种选择;
第 2 步：选出会围棋的，有4种选择;
根据分步乘法计数原理，共5×4=20种选法.
3
象
2
围
2
多
其中同个多面手2次均被选中的情况应排除，
故有20－2=18种选法
能力提升
总结
排除法解决“多面手”问题
模型
a 名会甲但不会乙，c 名会乙但不会甲，b 名既会甲又会乙，现从中选出2人分别参加甲比赛和乙比赛，共有 N 种不同的选法.
a
甲
c
乙
b
多
解析
第1步：选出会甲的，有 a+b 种选择;
第2步：选出会乙的，有 c+b 种选择;
根据分步乘法计数原理，共 (a+b)(c+b) 种选法.
其中同个多面手2次均被选中的情况应排除，
故有 (a+b)(c+b)－b种选法
能力提升
题型二
“ ab与ba”问题
例题2
有6名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定6名同学都参加)
(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；
(2)每项限报一人，但每人参加的项目不限．
【详解】(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法．根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为：36=729
(2)每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这6人中选出1人参赛．
根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为：63=216
能力提升
总结
模型
有a个人选b个项目，在下列情况下各有多少种不同的选法？(不一定每人都参加)
(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；
(2)每项限报一人，但每人参加的项目不限．
分步乘法计数原理解决“abba”问题
解析
(1)人选项目，每人有 b 种选法，根据乘法原理：a个人共有种 ba 选法;
(2)项目选人，每项目有 a 种选法，根据乘法原理：b个项目共有 ab 种选法;
课堂小结+限时小练
6.1 两个计数原理
05
课堂小结
两个
计数原理
随堂限时小练
解析
随堂限时小练
解析
随堂限时小练
解析
随堂限时小练
解析
随堂限时小练
解析
随堂限时小练
解析
随堂限时小练
解析
第1步：选出会下象棋的，有 6 种选择;
第2步：选出会乙的，有 7 种选择;
根据分步乘法计数原理，共 6×7=42 种选法.
其中同个多面手 4 次均被选中的情况应排除，
故有 42-4=38 种选法
2
象棋
3
围棋
4
多
作业布置
巩固作业
作业1：完成教材：第5页~第6页 练习1,2,3,4.
作业2：配套辅导资料对应的《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》.
作业布置与课后练习答案
6.1 两个计数原理
06
课后作业答案
1．填空题
(1)一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是 ；
(2)从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同路线的条数是 ．
练习 (第5页)
(1)由分类加法计数原理可得，不同选法的种数是：5 + 4=9
(2)由分步乘法计数原理可得，不同选法的种数是：3×2=6
课后作业答案
练习 (第5页)
在例1中，若数学也是A大学的强项专业，则A大学有6个专业可以选择，B大学有4个专业可以选择，应用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择种数为6+4=10．这种算法有什么问题？
这种算法不正确.
因为要确定的是这名同学的专业选择，并步需要考虑学校的差异，
所以应当是6+4-1=9（种）可能的专业选择.
课后作业答案
练习 (第5页)
3．书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书
(1)从书架上任取1本书，有多少种不同的取法
(2)从书架上任取数学书和语文书各1本，有多少种不同的取法
(1)从书架上任取 1 本书，有两类方法：
第 1 类方法是从上层取 1 本数学书，有 6 种取法；
第 2 类方法是从下层取 1 本语文书，有 5 种取法，
根据分类加法计数原理可得，不同的取法种数为 N=6+5=11
课后作业答案
练习 (第6页)
3．书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书
(1)从书架上任取1本书，有多少种不同的取法
(2)从书架上任取数学书和语文书各1本，有多少种不同的取法
(2)从书架的上、下层各取 1 本书，可以分成两个步骤完成：
第 1 步，从上层取 1 本数学书，有 6 种取法；
第 2 步，从下层取 1 本语文书，有 5 种取法，
根据分步乘法计数原理可得，不同的取法种数为 N=6×5=30.
课后作业答案
练习 (第6页)
4．现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名．
(1)从三个年级的学生中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法
(2)从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动．有多少种不同的选法
(1)从三个年级的学生中任选 1 人，有三类方案：
第 1 类从高一年级的学生中选取 1 名，有 3 种选法；第 2 类从高二年级的学生中选取 1 名，有 5 种选法；第 3 类从高三年级的学生中选取 1 名，有 4 种选法；
根据分类加法计数原理可得，不同的取法种数为 N=3+5+4=12
课后作业答案
练习 (第6页)
4．现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名．
(1)从三个年级的学生中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法
(2)从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动．有多少种不同的选法
(2)从三个年级的学生中任各选 1 人，可以分三步完成：
第 1 步从高一年级的学生中选取 1 名，有 3 种选法；第 2 步从高二年级的学生中选取 1 名，有 5 种选法；第 3 步从高三年级的学生中选取 1 名，有 4 种选法；
根据分步乘法计数原理可得，不同的取法种数为 N=3×5×4=60.
THANKS
感谢您的聆听