7.3.2 离散型随机变量的方差 课件(共64张PPT)

(共64张PPT)
第七章 随机变量及其分布列
7.3.2离散型
随机变量的方差
·选择性必修第三册·
学习目标
1.通过实例,理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念和意义.
2.会求离散型随机变量的方差、标准差.(重点)
3.掌握方差的性质以及两点分布的方差的求法.(重点)
4.会利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题.(难点)
情景导入
7.3.2 离散型随机变量的方差
01
复习回顾 引入新知
1.离散型随机变量的均值：
一般地，若离散型随机变量X 的分布列如下表所示，
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
则称
为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.
2.均值的性质：
3.随机变量X服从两点分布，则有
创设背景 引入新知
从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示.
X 6 7 8 9 10
P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07
Y 6 7 8 9 10
P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03
通过计算可得，，. 因为两个均值相等，
方差
评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，
还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度.
提示
思考：
均值已不能区分这两名同学的射击水平，
那么我们将如何评价这两名同学的射击水平呢
离散型随机变量的方差
02
7.3.2 离散型随机变量的方差
探究新知
随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势” .
因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小 . 所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征.
探究新知
从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示.
问题2
思考：下图分别是X和Y的概率分布图，比较两个图形，你可以发现什么？
X 6 7 8 9 10
P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07
Y 6 7 8 9 10
P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03
可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定.
探究新知
思考：怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度
我们知道，样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的．
类比，一个自然的想法是，随机变量的离散程度能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量呢？
答案是肯定的
探究新知
设离散型随机变量 X 的分布列如表所示.
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
考虑所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2……(xn－E(X))2.因为X取每个值的概念不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度，即
探究新知
一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示.
定义
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
为随机变量的方差，有时也记为，并称为随机变量的标准差，记为.
探究新知
思考：随机变量X的方差和标准差的意义是什么？
随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.
方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；
方差或标准差越大，随机变量的取值越分散 .
探究新知
探究
从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示.
X 6 7 8 9 10
P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07
Y 6 7 8 9 10
P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03
分别计算这两名同学的方差，并用此评价他们的射击水平.
所以随机变量的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定.
探究新知
在方差计算中, 利用下面的结论经常可以使计算简化.
即：D(X)=E(X2)-[E(X)]2
应用新知
例5：
拋掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X 的方差．
解析
离散型随机变量方差的性质
03
7.3.2 离散型随机变量的方差
探究新知
探究
离散型随机变量X 加上一个常数，方差会有怎样的变化？离散型随机变量X 乘以一个常数，方差又有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？
探究新知
关于方差性质的四点说明
(1)当时，，即常数的方差等于0.
(2)当时，，即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身.
(3)当时，，即随机变量与常数之积的方差，等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积.
(4)当均为非零常数时，随机变量的方差.
应用新知
例6：
投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如下表所示.
股票A收益的分布列
股票B收益的分布列
收益X /元 －1 0 2
概率 0.1 0.3 0.6
收益Y /元 0 1 2
概率 0.3 0.4 0.3
(1) 投资哪种股票的期望收益大
(2) 投资哪种股票的风险较高
分析
股票投资收益是随机变量, 期望收益就是随机变量的均值. 投资风险是指收益的不确定性，在两种股票期望收益相差不大的情况下, 可以用收益的方差来度量它们的投资风险高低, 方差越大风险越高, 方差越小风险越低.
应用新知
解析
(1)股票和股票投资收益的期望分别为
因为，所以投资股票的期望收益较大.
(2)股票和股票投资收益的方差分别为
因为和相差不大，且，
所以投资股票比投资股票的风险高.
在实际中，可以选择适当的比例投资两种股票，使期望收益最大或风险最小．
探究新知
要求
随机变量的方差是一个重要的数字特征，它刻画了随机变量的取值与其均值的偏离程度，或者说反映随机变量取值的离散程度．
在不同的实际问题背景中，方差可以有不同的解释，请举例说明
如果随机变量是某项技能的测试成绩，那么方差的大小反映了技能的稳定性；
如果随机变量是加工某种产品的误差，那么方差的大小反映了加工的精度；
如果随机变量是风险投资的收益，那么方差的大小反映了投资风险的高低.
应用新知
跟踪练习
两封信随机投入A,B,C三个空邮箱中，则A邮箱的信件数
的方差.
解析
的所有可能取值为0，1，2，
所以，
.
应用新知
总结
求离散型随机变量的方差的一般步骤
(1)理解的意义，明确其可能取值；
(2)判定是否服从特殊分布(如两点分布等)，若服从特殊分布，则可利用公式直接求解；若不服从特殊发布则继续下面步骤；
(3)求取每个值的概率；
(4)写出的分布列，并利用分布列性质检验；
(5)根据方差定义求.
能力提升
04
7.3.2 离散型随机变量的方差
能力提升
题型一
求离散型随机变量的方差
例题1
解析
能力提升
题型一
求离散型随机变量的方差
例题1
解析
B
能力提升
题型二
利用离散型随机变量的方差定义和性质求参
例题2
X －1 0 1
P m 0.2 0.3
能力提升
题型二
利用离散型随机变量的方差定义和性质求参
解析
X 6 11 16
P 0.5 0.2 0.3
故选：ACD
总结
利用离散型随机变量的均值、方差的定义和性质，建立方程（组），解方程（组）即可得解.
能力提升
题型三
离散型随机变量的均值和方差的综合应用
例题3
X －1 0 a 2
P b
解析
能力提升
题型三
离散型随机变量的均值和方差的综合应用
例题3
X －1 0 a 2
P b
解析
C
能力提升
题型四
离散型随机变量方差在决策问题中的应用
例题4
能力提升
题型四
离散型随机变量方差在决策问题中的应用
解析
能力提升
题型四
离散型随机变量方差在决策问题中的应用
解析
能力提升
总结
利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤
(1)比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均
水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的水平高.
(2)在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的稳
定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析一下谁的水平发挥
相对稳定.
(3)下结论：依据均值和方差的几何意义做出结论.
课堂小结+限时小练
05
7.3.2 离散型随机变量的方差
课堂小结
离散型随机
变量的方差
随堂限时小练
D
解
随堂限时小练
解
A
随堂限时小练
解
D
随堂限时小练
解
随堂限时小练
解
BD
随堂限时小练
解
随堂限时小练
解
作业布置与课后练习答案
06
7.3.2 离散型随机变量的方差
作业布置
巩固作业
作业1：第121页 练习 第1,2,3,4题
第127 页 习题3.2 第1,2,5,6,7题；
作业2：配套辅导资料对应的《离散型随机变量的方差》.
课后作业答案(练习第66页)
1．已知随机变量 X 的分布列为：
X 1 2 3 4 5
P 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1
解：
课后作业答案(练习第70页)
1．已知随机变量 X 的分布列为
X 1 2 3 4
P 0.2 0.3 0.4 0.1
解：
课后作业答案(练习第70页)
解：
课后作业答案(练习第70页)
3．甲、乙两个班级同学分别目测数学教科书的长度，其误差X和Y(单位：cm)的分布列如下：
甲班的目测误差分布列 乙班的目测误差分布列
X -2 -1 0 1 2 Y -2 -1 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 P 0.05 0.15 0.6 0.15 0.05
先直观判断X和Y的分布哪一个离散程度大，再分别计算X和Y的方差，验证你的判断．
解：
由分布列，估计X的分布离散程度大．
课后作业答案(练习第70页)
3．甲、乙两个班级同学分别目测数学教科书的长度，其误差X和Y(单位：cm)的分布列如下：
甲班的目测误差分布列 乙班的目测误差分布列
X -2 -1 0 1 2 Y -2 -1 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 P 0.05 0.15 0.6 0.15 0.05
先直观判断X和Y的分布哪一个离散程度大，再分别计算X和Y的方差，验证你的判断．
解：
课后作业答案(练习第71页习题7.3)
1．某品牌手机投放市场，每部手机可能发生按定价售出、打折后售出、没有售出而收回三种情况．按定价售出每部利润100元，打折后售出每部利润0元，没有售出而收回每部利润－300元．据市场分析，发生这三种情况的概率分别为0.6，0.3，0.1．求每部手机获利的均值和方差．
解：
X 的分布列为:
X 100 0 -300
P 0.6 0.3 0.1
课后作业答案(练习第71页习题7.3)
2．现要发行10000张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1000张，10元的彩票300张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1000元的彩票5张．1张彩票中奖金额的均值是多少元
解：
课后作业答案(练习第71页习题7.3)
2．现要发行10000张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1000张，10元的彩票300张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1000元的彩票5张．1张彩票中奖金额的均值是多少元
所以X的分布列为：
X 0 2 10 50 100 1000
P 0.8545 0.1 0.03 0.01 0.005 0.0005
解：
即1张彩票可能中奖金额的均值是2元．
课后作业答案(练习第71页习题7.3)
解：
课后作业答案(练习第71页习题7.3)
解：
4．在单项选择题中，每道题有四个选项，其中仅有一个选项正确．如果从四个选项中随机选一个，选对的概率为0.25．请给选对和选错分别赋予合适的分值，使得随机选择时得分的均值为0．
设选对得分为a，选错得分为b，则得分X的分布列为
X a b
P 0.25 0.75
课后作业答案(练习第71页习题7.3)
证明：
设离散型随机变量X的分布列为：
课后作业答案(练习第71页习题7.3)
证明：
课后作业答案(练习第71页习题7.3)
6．有A和B两道谜语，张某猜对A谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元；猜对B谜语的概率为0.5，猜对得奖金20元．规则规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道．如果猜谜顺序由张某选择，他应该选择先猜哪一道谜语？
解：
设先猜A谜语奖金为X元，则X的分布列为
X 0 10 30
P 0.2 0.4 0.4
设先猜B迷语奖金为Y ，则Y的分布列为
Y 0 20 30
P 0.5 0.1 0.4
课后作业答案(练习第71页习题7.3)
7．甲、乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别为X和Y（单位：s），其分布列为：
甲品牌的走时误差分布列 乙品牌的走时误差分布列
X -1 0 1 Y -2 -1 0 1 2
P 0.1 0.8 0.1 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
试比较甲、乙两种品牌手表的性能．
解：
课后作业答案(练习第71页习题7.3)
解：
课后作业答案(练习第71页习题7.3)
解：
课后作业答案(练习第71页习题7.3)
解：
课后作业答案(练习第71页习题7.3)
证法二：
THANKS
感谢您的聆听