7.5 正态分布 课件(共50张PPT)

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第七章 随机变量及其分布列
7.5
正态分布
·选择性必修第三册·
学习目标
1. 通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量；
2.通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特点；
3.了解正态分布的均值、方差及其含义；（重点）
4.了解3σ原则,会求随机变量在特殊区间内的概率.（难点）
情景导入
7.5 正态分布
01
创设背景 引入新知
印在人民币上的数学家
高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举，德国的10马克纸币上印有高斯的头像和正态分布曲线，这就传达了一个信息：在高斯的科学贡献中，对人类文明影响最大的是“正态分布”．
那么,什么是正态分布？正态分布的曲线有什么特征？
正态分布
02
7.5 正态分布
探究新知
现实中, 除了前面已经研究过的离散型随机变量外, 还有大量问题中的随机变量不是离散的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴 , 但取一点的概率为0 , 我们称这类随机变量为连续性随机变量 , 下面我们看一个具体问题。
探究新知
问题
自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400g.由于各种不可控的因素，任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差(实际质量减去标准质量).用X表示这种误差，则X是一个连续型随机变量.检测人员在一次产品检验中，随机抽取了100袋食盐，获得误差X(单位：g)的观测值如下：
(1)如何描述这100个样本误差数据的分布
(2)如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布
探究新知
可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布,如图所示.
其中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率,所有小矩形的面积为和为1.
随着样本数据量越来越大，让分组越来越多，组距越来越小，由频率的稳定性可知，频率分布直方图的轮廓就越来越稳定，接近一条光滑的钟形曲线.
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其中μ∈R,σ>0为参数.
对任意的x∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的上方,可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1. 我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线,
由函数知识可知，上图中的钟形曲线是一个函数.
思考1：这个函数是否存在解析式呢
X~N(μ, σ2)
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ, σ2). 特别地，当μ=0, σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布.
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小知识
早在1734年，法国数学家棣莫弗(A．DeMoivre，1667-1754)在研究二项概率的近似计算时，已提出了正态密度函数的形式，但当时只是作为一个数学表达式．直到徳国数学家高斯(C．F．Gauss，1777-1855）提出“正态误差”的理论后，正态密度函数才取得“概率分布”的身份．因此，人们也称正态分布为高斯分布．
探究新知
思考：
探究新知
思考1：
正态曲线下对称区域的面积相等，代表什么含义？
-x1 -x2 x2 x1
= 0
a
-a
正态曲线下对称区域的面积相等，代表对应的概率也相等
利用“对称法”求正态分布下随机变量在某个区间的概率
探究新知
正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布，例如，某些物理量的测量误差，某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等，一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量，自动流水线生产的各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容），某地每年7月的平均气温、平均湿度、降水量等，一般都近似服从正态分布．
探究新知
思考2：
观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现正态曲线的哪些特点
由 X 的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点:
(1) 曲线是单峰的，它关于直线 x=μ 对称；
(2) 曲线在x=μ处达到峰值
(3) 当|x| 无限增大时，曲线无限接近 x 轴.
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思考3：
一个正态分布由参数 μ 和 σ 完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响？它们反映正态分布的哪些特征？
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思考3：
一个正态分布由参数 μ 和 σ 完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响？它们反映正态分布的哪些特征？
观察两个图象可以发现，参数反映了正态分布的集中位置，反映了随机变量的分布相对于均值的离散程度. 实际上，我们有：
若，则.
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总结
正态曲线的性质：
σ=0.5
0
1
2
-1
-2
x
-3
3
x=μ
σ=1
σ=2
(1) 曲线在x轴的上方，与x轴不相交；
(3) 曲线与x轴之间的面积为1；
(4) 当μ一定时，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
(2) 曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称，且曲线在x=μ处取得最大值；
(5) 参数μ反映了正态分布的集中位置，σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度. 在实际问题中，参数μ，σ可以分别用样本均值和样本标准差来估计，故有
应用新知
例：
李明上学有时坐公交车, 有时骑自行车. 他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间, 经数据分析得到:坐公交车平均用时30min, 样本方差为36; 骑自行车平均用时34min, 样本方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布．
(1)估计X，Y 的分布中的参数；
(2)根据(1)中的估计结果，利用信息技术工具画出X与Y的分布密度曲线；
(3)如果某天有38min可用, 李明应选择哪种交通工具 如果某天只有34min可用，又应该选择哪种交通工具？请说明理由．
分析
对于第(1)问，正态分布由参数μ和σ完全确定，根据正态分布参数的意义，可以分别用样本均值和样本标准差来估计，对于第(3)问，这是一个概率决策问题，首先要明确决策的准则，在给定的时间内选择不迟到概率大的交通工具；然后结合图形，根据概率的表示，比较概率的大小，作出判断．
应用新知
解析
(1)随机变量X的样本均值为30 , 样本标准差为6;
随机变量Y的样本均值为34, 样本标准差为2. 用样本均值估计参数μ. 用样本标准差估计参数σ, 可以得到
X~N(30 , 62) , Y~N(34 , 22).
(2)X和Y的分布密度曲线如图所示,
应用新知
解析
(3)应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具.
由图可知,
P(X ≤ 34)>P(Y ≤ 34).
P(X≤38)所以 , 如果有38min可用 , 那么骑自行车不迟到的概率大, 应选择骑自行车;
如果只有34min可用, 那么坐公交车不迟到的概率大, 应选择坐公交车.
正态分布的3σ原则
03
7.5 正态分布
探究新知
假定，可以证明：对给定的，是一个与有关的定值.特别地，
上述结果可用图表示.
探究新知
由此看到，尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，的取值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况几乎不可能发生.
在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取
中的值，这在统计学中称为原则.
能力提升
04
7.5 正态分布
能力提升
题型一
正态密度函数（正态曲线）解决均值和方差问题
例题1
解析
AC
能力提升
题型一
正态密度函数（正态曲线）解决均值和方差问题
例题1
A
解析
能力提升
总结
利用正态曲线的特点求参数，
1.正态曲线是单峰的，它关于直线对称，由此性质结合图象求.
2.正态曲线在处达到峰值，由此性质结合图象可求.
3.由的大小区分曲线的胖瘦.
能力提升
题型二
利用对称性求概率
例题2
若X～N(1, σ2)，且P(X<0)=a，则
(1) P(X >1)=_________；
(2) P(X >0)=_________；
(3) P(0(4) P(X<2)=_________；
(5) P(00
1
2
-1
-2
x
y
-3
3
4
μ=1
0.5
1-a
0.5-a
1-a
1-2a
总结
能力提升
题型三
利用3σ原则求概率
例题3
能力提升
题型三
利用3σ原则求概率
解析
总结
能力提升
题型四
正态分布的实际应用
例题4
能力提升
题型四
正态分布的实际应用
解析
总结
课堂小结+限时小练
05
7.5 正态分布
课堂小结
正态分布
随堂限时小练
解
随堂限时小练
ABD
解
随堂限时小练
解
A
随堂限时小练
解
0.14
随堂限时小练
解
A
随堂限时小练
解
D
作业布置与课后练习答案
06
7.5 正态分布
作业布置
巩固作业
作业1：完成教材：第87页习题7.5 第1，2，3，4题.
作业2：配套辅导资料对应的《正态分布》.
课后作业答案(练习第87页)
0.5
解：
0.6826
0.8413
0.1587
课后作业答案(练习第87页)
解：
课后作业答案(练习第87页)
3．举出两个服从正态分布的随机变量的例子．
解：
(1)某地区16岁男孩的身高分布可以近似看成服从正态分布；
(2)某厂生产的某种型号的灯泡的使用寿命的分布可以近似看成服从正态分布．
课后作业答案(第87页习题7.5)
解：
课后作业答案(第87页习题7.5)
解：
课后作业答案(第87页习题7.5)
解：
课后作业答案(第87页习题7.5)
4．袋装食盐标准质量为400 g，规定误差的绝对值不超过4 g就认为合格．假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4．请你估计这批袋装食盐的合格率．
解：
THANKS
感谢您的聆听