7.3.1 离散型随机变量的均值 课件(共56张PPT)

(共56张PPT)
第七章 随机变量及其分布列
7.3.1离散型
随机变量的均值
·选择性必修第三册·
学习目标
1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.（重点)
2.理解离散型随机变量均值的性质.（重点)
3.掌握两点分布的均值.
4.会利用离散型随机变量的均值，解决一些相关的实际问题．（难点)
情景导入
7.3.1 离散型随机变量的均值
01
创设背景 引入新知
某商场如果把这三种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，那么如何对糖果定价才比较合理呢？
18元/千克
24元/千克
36元/千克
方案1：按照糖果的最高价格定价，所以定价为36元/千克.
方案3：按照这三种糖果的加权平均价格定价，所以定价为
元/千克
思考：哪种方案更合理？
方案2：按照这三种糖果的平均价格定价，所以定价为 元/千克.
离散型随机变量的均值
02
7.3.1 离散型随机变量的均值
探究新知
离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律. 但在解决有些实际问题时, 直接使用分布列并不方便 . 例如, 要比较不同班级某次考试成绩, 通常会比较平均成绩; 要比较两名射箭运动员的射箭水平,一般会比较他们射箭的成绩(平均环数或总环数)以及稳定性.
因此, 类似于研究一组数据的均值和方差, 我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差 , 它们统称为随机变量的数字特征.
探究新知
甲、 乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如下表所示.
问题1
环数X 7 8 9 10
甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4
乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2
思考：如何比较他们射箭水平的高低呢
类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，再看稳定性.
假设甲射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为甲n次射箭射中的平均环数为
探究新知
即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9，这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平.
同理，乙射中环数的平均值为7×0.15+8×0.25+9×0.4+10×0.2=8.65
从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高.
当n足够大时，频率稳定于概率，所以稳定于
7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9
探究新知
一般地，若离散型随机变量 X 的分布列如下表所示，
定义
为随机变量X的均值(mean)或数学期望(mathematical expectation)，数学期望简称期望．
探究新知
思考：随机变量的均值本质是什么？有何作用？
作用
均值综合了随机变量的取值和取值的概率，
反映了随机变量取值的平均水平．
本质
均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数
应用新知
例1
在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分 X 的均值是多少？
分析
解
即该运动员罚球1次得分 X 的均值是0.8．
应用新知
思考：如果随机变量 X 服从两点分布，那么它的均值是多少？
随机变量 X 服从两点分布，分布列如下表：
所以，随机变量 X 的均值为：
应用新知
例2
抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为 X，求 X 的均值.
分析
先求出X的分布列，再根据定义计算 X 的均值．
解
的分布列为
因此，
应用新知
总结
求离散型随机变量 X 的均值的步骤
(1)根据 X 的实际意义，写出 ξ 的全部取值；
(2)求出 X 每个值的概率；
(3)写出 X 的分布列；
(4)利用随机变量均值定义求出均值.
其中第(1)(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中应注重应用概率的相关知识．
应用新知
跟踪练习
北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业、礼仪及服务等方面知识的测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，已知每位参加笔试的人员测试能否合格是相互独立的.若甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题.求：
(1)甲、乙两人至多一人测试合格的概率；
(2)甲答对的试题数X的分布列和数学期望.
应用新知
解析
(1)根据题意，甲测试合格的概率为 ，
乙测试合格的概率为 ，
故甲、乙两人都测试合格的概率为 ，
则甲、乙两人至多一人测试合格的概率为 ．
(2)由题可知，甲答对的试题数 的所有可能取值为0， ， ， ，
，
，
应用新知
解析
，
，
故 的分布列为:
0 1 2 3

则 的数学期望 ．
离散型随机变量均值的性质
03
7.3.1 离散型随机变量的均值
探究新知
观察
掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数X的均值为3.5.随机模拟这个试验，重复60次和重复300次各做6次，观测出现的点数并计算平均数.根据观测值的平均数(样本均值)绘制统计图，分别如图(1)和(2)所示.观察图形，在两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别？
探究新知
观察结果
观察上图可以发现：
在这12组掷骰子试验中，样本均值各不相同，但它们都在掷出点数 X 的均值3.5附近波动，且重复掷300次的样本均值波动幅度明显小于重复60次的．
结论
事实上，随机变量的均值是一个确定的数，而样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动．随着重复试验次数的增加，样本均值的波动幅度一般会越来越小．
因此，我们常用随机变量的观测值的均值去估计随机变量的均值．
探究新知
探究
如果 X 是一个离散型随机变量，X 加一个常数或乘一个常数后，其均值会怎样变化 即E(X＋b)(其中 b为常数)分别与E(X)有怎样的关系
设的分布列为，，，，.
根据随机变量均值的定义，
.
探究新知
要求
用相同的方法，找出E(aX)(其中a为常数)与E(X)的关系
设的分布列为，，，，.
根据随机变量均值的定义，
.
结论
探究新知
要求
若X, Y 是两个随机变量, 且Y=aX+b, 则有
即随机变量X 的线性函数的均值等于这个随机变量的均值E(X )
的同一线性函数.
(2)当a=1时, E(X+b)=E(X )+b.
(1)当a=0时, E(b)=b.
(3)当b=0时,E(aX )=aE(X ).
应用新知
例3：
猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下表所示.
规则如下: 按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首. 求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.
歌曲 A B C
猜对的概率 0.8 0.6 0.4
获得的公益基金额/元 1000 2000 3000
应用新知
分析
根据规则，公益基金总额X的可能取值有四种情况：
猜错A，获得0元基金；
猜对A而猜错B，获得1000元基金；
猜对A和B而猜错C，获得3000元基金；
A，B，C全部猜对，获得6000元基金．
因此 X 是一个离散型随机变量．利用独立条件下的乘法公式可求分布列．
应用新知
解析
分别 A,B,C 用表示猜对歌曲 A,B,C 歌名的事件，则 A,B,C 相互独立.
的分布列如右表所示：
的均值为
X 0 1000 3000 6000
P 0.2 0.32 0.288 0.192
探究新知
思考
如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得的公益基金均值最大？请计算按ACB的顺序来猜歌.
X 0 1000 4000 6000
P 0.2 0.48 0.128 0.192
如果按ACB的顺序来猜歌,分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，
A,B,C相互独立; ( =0)= ()=0.2,
( =1000)= (A)=0.8×0.4=0.32,
( =3000)= ( C)=0.8×0.4×0.4=0.128,
( =6000)= ( CB)=0.8×0.4×0.6=0.192.
X 的分布列如下表所示：
解析
X 的均值为
探究新知
通过计算所有顺序的均值，得出下表
猜歌顺序 E(X)/元 猜歌顺序 E(X)/元
ABC 2336 BCA 2112
ACB 2144 CAB 1904
BAC 2256 CBA 1872
结论
所以，按由易到难的顺序来猜歌，获得的公益基金的均值最大
应用新知
例4：
根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元。为保护设备，有以下三种方案：
方案1：运走设备，搬运费为3800元。
方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能挡住小洪水。
方案3：不采取措施，希望不发生洪水。
工地的领导该如何决策呢
应用新知
分析
决策目标为总损失(投入费用与设备损失之和)越小越好,
根据题意,各种方案在不同状态下的总损失如表所示：
方案2和方案3的总损失都是随机变量,可以采用期望总损失最小的方案。
应用新知
解析
因此，从期望损失最小的角度，应采取方案2．
探究新知
辩证的理解该题结论
值得注意的是，上述结论是通过比较“期望总损失”而得出的．
一般地，我们可以这样来理解“期望总损失”：
如果问题中的天气状况多次发生，那么采用方案2将会使总损失减到最小．不过，因为洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的．
能力提升
04
7.3.1 离散型随机变量的均值
能力提升
题型一
求离散型随机变量的均值
例题1
解析
能力提升
题型一
求离散型随机变量的均值
例题1
解析
能力提升
题型一
求离散型随机变量的均值
例题1
解析
能力提升
题型二
利用离散型随机变量的均值定义和性质求参
例题2
X 1 2 3
P n m
解析
B
能力提升
题型四
离散型随机变量均值的实际应用
例题4
能力提升
题型四
离散型随机变量均值的实际应用
解析
能力提升
总结
常见实际问题中的均值问题
比如，在体育比赛的安排和成绩预测、消费预测、工程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计．
离散型随机变量均值的实际应用问题的解题“三步曲”：
①审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些；
②确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值；
③对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论.
总结
课堂小结+限时小练
05
7.3.1 离散型随机变量的均值
课堂小结
离散型随机
变量的均值
随堂限时小练
解
B
随堂限时小练
解
2
随堂限时小练
解
B
随堂限时小练
解
随堂限时小练
解
A3
作业布置与课后练习答案
06
7.3.1 离散型随机变量的均值
作业布置
巩固作业
作业1：完成教材：P66-67练习1、2、3题
P71习题7.3的2、3、4、6题；
作业2：配套辅导资料对应的《离散型随机变量的均值》.
课后作业答案(练习第66页)
1．已知随机变量 X 的分布列为：
X 1 2 3 4 5
P 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1
解：
课后作业答案(练习第66页)
解：
课后作业答案(练习第66页)
3．甲、乙两台机床生产同一种零件，它们生产的产量相同，在1 h内生产出的次品数分别为X1，X2，其分布列分别为：
甲机床次品数的分布列 乙机床次品数的分布列
X1 0 1 2 3 X2 0 1 2
P 0.4 0.3 0.2 0.1 P 0.3 0.5 0.2
哪台机床更好？请解释你所得出结论的实际含义？
解：
其实际含义是随着产量的增加，第2台机床生产出的次品数要比第1台机床生产出的次品数少．
THANKS
感谢您的聆听