辽宁沈阳市回民中学2025-2026学年高二下学期期初考试数学试题(含解析)

沈阳市回民中学2024级高二下学期期初考试
数学
试卷满分：150分 时间：120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知直线与垂直，则实数的值为（ ）
A． B． C．1 D．-2
2．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列满足，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．5
4．甲、乙、丙等5人站成一排，其中甲、乙不相邻且甲、丙相邻的排法有（ ）
A．24种 B．36种 C．42种 D．48种
5．已知某批矿物晶体中含有大量水分子，且经过测量发现其中轻水分子、重水分子、超重水分子的比例为6：3：1.现利用仪器从一块矿物晶体中分离出3个水分子，用频率估计概率，则至少分离出2个轻水分子的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知等比数列的前项和为，且满足，则数列的前10项和为（ ）
A． B． C． D．
7．某农科所在甲、乙、丙三个地块培育同一种苗，甲地块培育的一等种苗占比95%，乙地块培育的一等种苗占比80%，丙地块培育的一等种苗占比70%，甲、乙、丙培育的种苗数分别占总数的40%、30%、30%，将三个地块培育的种苗混放在一起. 从这批种苗中随机抽取一株，它是一等种苗的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．双曲线的左顶点为，右焦点，过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于点，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知随机变量，若，则（ ）
A． B．
C． D．
10．记圆：，圆：，则（ ）
A．
B．若坐标原点在圆上，则点在圆上
C．若圆与圆内切，则
D．当时，圆与圆的相交弦方程为
11．已知抛物线的焦点，，为抛物线上的两个动点，为线段的中点，，则（ ）
A．
B．若，则点到准线的距离为4
C．的最小值为4
D．若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．设等差数列的前项和为.若，则______.
13．某多功能体育场馆决定承包举办马术、击剑、游泳、跑步四项比赛.应主办方要求，马术比赛和跑步比赛不相邻，游泳比赛不在第一场也不在最后一场，则不同的比赛方式共有______种.
14．椭圆具有特殊的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.对于椭圆，其左、右焦点分别是，，P为椭圆C上任意一点，面积的最大值为，椭圆C在点P处的切线为l，过点P且与l垂直的直线与椭圆的长轴交于点M（M与O不重合），且，若，则________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知的展开式中第3项与第项的二项式系数之和为30.
(1)求的值；
(2)记，从中任取两个相乘，求积为负数的概率.
16．某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．

(1)估计该地区本次物理测试的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
(2)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前60%的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数）
(3)从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．
17．如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，点是棱上的动点，且．
(1)若，证明：平面；
(2)若与平面所成角的正弦值为，求的值．
18．随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇．
(1)为了更好了解乡村居民对新能源汽车的接受程度，某乡村汽车协会依据年龄采用分层随机抽样的方式，从40岁以下和40岁及以上两个年龄层中各抽取80名村民进行调查，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了以下统计数据：
选择新能源汽车 选择传统汽车 总计
40岁以下 56 80
40岁及以上 36 80
总计 160
完成列联表，并判断是否有的把握认为选择新能源汽车与年龄有关；
(2)为了了解某一地区新能源汽车的销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销售量（单位：万台）关于年份的线性回归方程，且销售量的方差为，年份的方差为．求与间的样本相关系数，并据此判断该地区新能源汽车销售量与年份的线性相关性强弱．
附：（i）在线性回归方程中，；
（ii）样本相关系数，若，则可判断与线性相关性较强；
（iii），其中．
参考数据：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19．《文心雕龙》有语：“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立，”意指自然界的事物都是成双成对的．已知动点P到定点的距离和它到定直线的距离的比值是常数（且）设点P的轨迹为曲线H，若某条直线上存在这样的点P，则称该直线为“齐备直线”．
(1)若，求曲线H的方程；
(2)若“齐备直线”与曲线H相交于A、B两点，点M为曲线H上不同于A、B的一点，且直线，的斜率分别为，，判断是否存在，使得取得最小值，说明理由；
(3)若，与曲线H有公共点N的“齐备直线”与曲线H的两条渐近线分别交于点S、T，且N为线段的中点，求证：直线与曲线H有且仅有一个公共点．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
1．B
因为直线与垂直，
所以，即，解得．
2．C
在上的投影向量为
.
故选：C
3．C
由，
则，
所以，
所以数列是周期为3的周期数列，
对做除法得：，即除以3余1，
因此.
4．B
将甲、丙进行捆绑，形成一个“大元素”，再将这个“大元素”与其他3个人进行排序，共有种排法．
接下来考虑甲与乙、丙都相邻的情形，
需将甲、乙、丙进行捆绑，且甲位于中间，
然后将这个“大元素”与其他2个人进行排序，此时共有种排法．
综上，共有种不同的排法．
故选：B.
5．D
设事件“至少分离出2个轻水分子”，
由题意知分离出1个轻水分子的概率为，
分离出1个非轻水分子的概率为，
所以，
故至少分离出2个轻水分子的概率为．
故选：D.
6．D
因为，所以当时，有，
两式相减：，即；
当时，，
因为为等比数列，所以，代入可得，
数列是首项为 3、公比为 3 的等比数列，
所以前 10 项和为.
故选：D
7．D
记事件表示“随机抽取一株是一等种苗”，
事件表示“抽取的种苗来自甲地块”，
事件表示“抽取的种苗来自乙地块”，
事件表示“抽取的种苗来自丙地块”，
则，，，
，，，
由全概率公式
，
因此从这批种苗中随机抽取一株，它是一等种苗的概率为.
故选：D
8．B
过作垂直x轴于点P，作垂直双曲线的准线于点Q，如图：
由题意，所以，
所以，，所以，
又，所以，所以，
所以，即，又，所以，化简得，所以，所以.
故选：B
9．AB
因为随机变量，所以，故A正确；
，故B正确；
因为随机变量，所以，
则，故C错误；
又，故D错误.
故选：AB.
10．ABD
A选项，圆的圆心为，圆的圆心为，
则，A正确；
B选项，若坐标原点在圆上，则，故，
故圆的方程为，
将代入可得，故点在圆上，B正确；
C选项，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
由A知，，
若圆与圆内切，则，解得，C错误；
D选项，时，圆：，圆：，
两圆相减得，D正确.
故选：ABD
11．ACD
对于A，因为抛物线的焦点，所以，得，故A正确；
对于B ，分别过点作准线的垂线，垂足为，
则由抛物线的定义可知，
因为为线段的中点，所以点到准线的距离为，故B错误；
对于C，因为，
则当三点共线时，有最小值，故C正确；
延长交准线于点，由以及抛物线定义可知，，
则为的中位线，
设，则，，
由相似关系可知，，则，得，故，故D正确.
故选：ACD
12．
.
故答案为：
13．
对游泳比赛的安排进行分类讨论：
①若游泳比赛安排在第二场，为保证马术、跑步不相邻，
则第一场安排马术比赛或跑步比赛，剩余两项比赛的安排无限制，
此时不同的安排方法种数为种；
②若游泳比赛安排在第三场，为保证马术、跑步不相邻，
则第四场安排马术比赛或跑步比赛，剩余两项比赛的安排无限制，
此时不同的安排方法种数为种.
综上所述，不同的安排方法种数为.
故答案为：.
14．3
由椭圆，得椭圆的短半轴长，设该椭圆半焦距为，
由面积的最大值为，得，，即椭圆的方程为，
由椭圆的光学性质得过点与垂直的直线为的角平分线，而，
则，令，
则，而，，
于是，且，
由，得，
整理得，解得或，
当时，，点与点重合，不符合题意，
所以，.
故答案为：3

15．(1)
(2)
（1）第3项与第项的二项式系数之和为，
即，解得或，
又，所以.
（2）由（1）得，则的通项公式为，
所以，
所以当时，，当时，，
所以从中任取两个相乘，积为负数的概率为.
16．（1）由题意，解得，
则平均分
，所以该地区本次物理测试的平均分为74分．
（2）成绩在的频率为0.1，
在的频率为0.25，在的频率为0.3，
因为，，
所以选报物理方向的最低分x在内，则，解得，所以估计报物理方向的学生本次成绩不低于72分．
（3）由题可知，成绩在区间的频数为，
成绩在区间的频数为，
利用分层抽样，从中抽取7份，成绩在的频数为，
成绩在的频数为，
再从这7份答卷中随机抽取3份，X的所有可能取值为0，1，2，
，，
，
故X的分布列为：
X 0 1 2
P
所以X的数学期望为：．
17．（1）如图连接交于点，连接
因为且，
所以，
因为，所以，
所以，所以 ，
又因为平面，平面,
所以平面
（2）如图建立空间直角坐标系，则,，
则,，
因为，所以，
所以，
设平面的一个法向量，
则 ，即，令，得，
所以，解得或（舍）
所以的值为.
18．（1）补全列联表如下：
选择新能源汽车 选择传统汽车 总计
40岁以下 56 24 80
40岁及以上 44 36 80
总计 100 60 160
提出零假设为：选择新能源汽车与年龄无关．
则，
故认为选择新能源汽车与年龄无关；
（2）因为，
所以，又，
所以，故与线性相关性较强．
19．（1）当时，定直线，比值为．
设，由已知得，
两边平方，整理得，即为曲线H的方程．
（2）设，由已知，得，
整理得，，即为曲线H的方程．
设，，
则，，
．
则
当且仅当，即时，等号成立．
所以存在使得取得最小值4．
（3）由（2）知，当时，曲线，它是焦点在x轴上的双曲线，其渐近线方程为，不妨设S在渐近线上，如图，
设，因为直线与双曲线的两条渐近线分别交于点S，T，所以．
由，解得，即，
同理得，所以
代入双曲线方程，得，
整理得，即
解得（舍）或
当时，由，消去y得，
此时，，故方程有两个相等的解．
故直线与曲线H有且仅有一个公共点N．

答案第1页，共2页
答案第1页，共2页