安徽省安庆市潜山中学2025-2026学年高二下学期期初适应性训练数学试题(含解析)

25-26学年高二第二学期期初适应性训练
（数学学科）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．直线在y轴上的截距为（ ）
A． B． C． D．
3．圆和圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相离 C．相交 D．外切
4．已知等差数列满足，若数列的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是，则（ ）
A．2 B． C． D．
7．已知等差数列的前项和为，若，，则使的最小的的值为（ ）
A． B． C． D．
8．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，他指出，平面内到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.则方程表示的圆锥曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．5
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9．下列选项正确的是（ ）
A．向量是直线的一个方向向量
B．过点且在轴上的截距是在轴上截距的2倍的直线的方程为
C．已知空间向量，，则在方向上的投影向量为
D．点是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是
10．已知椭圆C：的左右焦点分别为，长轴长为4，点P在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）
A．离心率e的取值范围为
B．当离心率时，的最大值为
C．存在点Q使得
D．的最小值为
11．设是数列的前项和，，，则下列说法正确的有（ ）
A．数列的前项和为
B．数列为递增数列
C．数列的通项公式为
D．数列的最大项为
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线上一点P到焦点的距离为5，则点P的横坐标是__________.
13．已知数列满足，，则数列的通项公式为______.
14．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们关于原点对称的两个交点，的平分线交于点M，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，是的中点．
(1)若，求的值；
(2)求线段的长．
16．已知圆经过点和，且圆心在直线上．
(1)求圆的标准方程；
(2)过原点作圆的切线，求直线的方程；
(3)求直线被圆所截得的弦长．
17．如图1，在平面四边形中，，，，，过点D作，垂足为.如图2，将三角形沿折起，使得点到达点处，且.

(1)证明：；
(2)若点F为线段上的点（不含端点），是否存在点满足直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
18．已知数列的前项和为，且.
(1)求；
(2)若，求数列的前项和.
19．在平面直角坐标系中，对于任意一点，总存在一个点满足关系式，则称为平面直角坐标系中的伸缩变换.
(1)若曲线的方程为.
（i）求经过伸缩变换后所得到曲线的标准方程；
（ii）设曲线的左、右顶点分别为A，B，过点的直线与曲线交于M，N两点，直线与交于点T，证明：点T在一条定直线上；
(2)已知，抛物线经过伸缩变换，得到抛物线，设，，.求数列的前n项和.
试卷第1页，共3页
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1．C
设直线的倾斜角为，，
直线的斜率为，即，所以.
故选：C
2．A
由，令得.
即直线在y轴上的截距为.
故选：A.
3．C
由两圆的方程可知，圆心坐标依次为：，，半径依次为，
则，由，可得两圆相交.
故选：C.
4．A
设等差数列的公差为，则，解得
则
所以
则
故选：A
5．D
由题意知：，
再由余弦定理得：
代入得：，
解得：，则的面积是,
故选：D.
6．C
，
所以，
因为三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是，
所以，
所以.
故选：C.
7．D
设等差数列的公差为，
∵，，
∴数列为递减数列，
∴，，，
由得，即，
∴，
∴使的最小的的值为.
故选：D．
8．B
因为，
所以，
表示点到定点的距离与到定直线的距离比为，
所以.
故选：B
9．ACD
对于A，直线的斜率为，
故是直线的一个方向向量，故A正确；
对于B，当直线过原点时，方程为，
当直线不过原点时，设方程为，则，解得，所以直线方程为，
综上，所求直线方程为或，故B错误；
对于C，，，
在方向上的投影向量为，故C正确，
对于D，，是直线的一个单位方向向量，
∴点到直线的距离为，故D正确.
故选：ACD
10．ABD
因为长轴长为4，所以，即；因为点在椭圆内部，
所以，又，故可得.
对于选项A：因为，故，，故A正确；
对于选项B：当，即，解得，所以，
则；
由椭圆定义：，
如图所示：当点，，共线且在轴下方时，取最大值，
所以的最大值为，故B正确；
对于选项C：若，则
由A选项知，，，，
所以，
所以不存在使得，故C不正确；
对于选项D：，且
由基本不等式可得
，
当且仅当，即时取得等号，故D正确．
综上所述：正确的选项是：ABD.
故选：ABD.
11．ABD
解：由，得，
，即，
又，数列为以1为首项，以1为公差的等差数列，
则，可得，故正确；
当时，，
，数列的最大项为，故错误，正确．
故选：．
12．4
抛物线的方程为，故且焦点为，
设，则到焦点的距离，
故，
故答案为：4.
13．
由，
当时，，
当时，，
两式相减，得，即，
所以，
所以，
所以，
由于时，不满足上式，
所以.
故答案为：.
14．1
不妨设椭圆和双曲线的中心均在原点，对称轴均为坐标轴，如图所示，
设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为，
设点在第一象限，根据椭圆及双曲线的定义，得，
所以，
因为，所以，
根据对称性知四边形为平行四边形，所以，
所以为等边三角形，所以，
在中，由余弦定理得，
化简得，所以，
则，
当且仅当，即时等号成立，故的最小值是1.
故答案为：1.
15．(1)0
(2)
（1），
（2）
，
．
16．(1)
(2)或
(3)
（1）设圆心，，，
解得，∴圆心，半径，
∴圆的标准方程为．
（2）当直线斜率不存在时，直线恰与圆相切；
当直线斜率存在时，设，即．
由圆心到直线的距离，可得，
则，即．
综上所述，直线的方程为或．
（3）圆心到直线的距离为，
．
17．1）由题意得，又．
为平面内两条相交直线，
所以平面．
因为平面，所以．
因为，，又有公共边，
所以与全等，
所以，，
如图，连接，则．
因为，，平面PCE，
所以平面．
因为平面，所以．
（2）由（1）知平面，且平面BCDE，
所以，．又，
所以两两垂直．
以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图2的空间直角坐标系，如图1，过作，

由（1）知为等边三角形，所以，
因为，所以，
所以，即，则，，，
设，则，所以，
所以，，．
设平面的一个法向量为，
则即，
取，则，，所以．
设直线与平面所成的角为，
则，
化简可得，
解得或，又，
故不存在点F满足直线与平面所成角的正弦值为.
18．(1)
(2)
1）依题意，
故，
故是以2为公差的等差数列.
而，
又，解得，
故的首项为3，
则，
则.
（2）由（1）可知，当时，；
当时，
也满足该式，故，
故，
则，
两式相减得，，
故
19．（1）（i）设上任意一点，则点在上，
由题意得，化简得，所以曲线的标准方程为；
（ii）设直线，，，

联立直线与，，化简得，
，，
直线，直线，
设点，则，
两条直线方程相除，可得
法一：
即，解得，即点T在直线上；
法二：，，
即，解得，即点T在直线上.
（2）设上的点经过伸缩变换后得点，
则代入的方程，得
则的方程为，则
因为，，所以，
又，所以当时，
，
又符合上式，所以，所以，
，
，
两式作差可得
，所以.
答案第1页，共2页
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