玉溪一中2025-2026学年下学期高一年级开学考考试
数学学科试卷
总分：150分，考试时间：120分钟 命题人：
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
2.“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
4.若单位向量，的夹角为，向量，向量，则下列命题为假命题的是( )
A. B. C. D.
5.如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖位置为．若初始位置为，当秒针（注：此时）正常开始走时，那么点的纵坐标与时间（单位：秒）的函数关系式为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6.函数的零点个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7.若函数的最大值是2，则（ ）
A． B． C． D．
8.已知正数a，b满足，则下列选项错误的是（ ）
A. 的最小值为4 B. 的最小值为2
C. 的最小值为 D. 的最小值为6
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列各式中，值为 的是（ ）
A. B. C. D.
10.已知函数的部分图象如图所示，
则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 当时，的值域为
C. 将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
D. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，
得到的函数图象关于点对称
11.已知函数，若有三个不等实根，，，且，则（ ）
A．的单调递减区间为 B．的取值范围是
C．的取值范围是 D．函数有4个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若，则 .
13.已知向量，，若向量与垂直，则 .
14.使不等式成立的的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知，，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
16.（15分）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量单位：与时间单位：间的关系为，污染物的初始含量，其中k是正的常数，如果在前5h消除了的污染物.
求k的值.
后还剩百分之几的污染物？
污染物减少需要花多少时间精确到？ 参考数据：，
17.（15分）已知
若的解集为，求实数a，b的值;
解关于x的不等式
18.（17分）已知函数的图象经过点
求a的值；
求不等式的解集；
若成立，求实数m的取值范围.
19.（17分）已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)若将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，所得的图象在区间内恰有一个对称中心，求的取值范围；
(3)若函数在上有唯一零点，求实数的取值范围.
试卷第2页，共4页玉溪一中2025-2026学年下学期高一年级开学考考试
数学学科参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C B A B C D A D ABD AD ACD
1.【答案】C 解：依题意，，解得，所以的定义域的为
2.【答案】B 解:，所以“”是“”的必要不充分条件.
3.【答案】 【解析】解：因为角的终边经过点，所以
4.【答案】B 【解析】解：，，
所以，，，，A正确；
，C正确；
，所以，B错误，D正确．故选：
5．【答案】C 【解析】由题意可得，初始位置为，不妨设初相为，
故可得，，则．排除B、D．
又函数周期是60（秒）且秒针按顺时针旋转，即，所以，即．
故满足题意的函数解析式为，．故选C．
6．【答案】D 【解析】函数的定义域为，易知，
故函数为偶函数，故而只需要考虑函数在时，零点个数即可，因为左右对称．
因此，当时，，令可得，作出函数，在上的图象如图所示：
结合图象可知，函数，在上的交点个数为2，故函数在上的零点个数为2，因此，函数在整个上的零点个数为4． 故选：D．
7．【答案】A 【解析】函数的最大值是2，
可知，的最小值为，可得，解得．故选：A．
8.【答案】D
【解析】解：因为且a，，
对于A，，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为4，说法正确；
对于B，由基本不等式得，解得，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为2，说法正确；
对于C，因为，由AB得，，
所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，说法正确；
对于D，由解得， 则，
令，则，所以 ，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，说法错误． 故选：
9.【答案】ABD 解：，正确; ，正确;
，不正确; ，正确，
10.【答案】AD 解：由函数图象可知，，的最小正周期为，A选项正确；
，，，
则，由，得，所以
当时，，，的值域为，B选项错误；
将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象，C选项错误；
将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数的图象，，函数的图象关于点对称，D选项正确.故选：
11．【答案】ACD 【解析】作出函数和有三个交点的图象：
结合图象可知，的单调递减区间为，故A正确；
并且如果有三个交点，则参数的取值范围是，故B错误；
显然易知：，结合，则
，
结合图象，可知，故而的取值范围为，故C正确；
对于D选项，我们易知函数或，因此函数的零点可转化为或的零点，由图象可知只有一个零点，有3个零点，
即函数有4个零点，故D正确；故选：ACD．
12.【答案】1 【解析】解：根据题意: 则，故
13.【答案】7 解：因为向量， 所以，
又向量与垂直，则有，解得 故答案为
14．【答案】
解:如图，分别作出的图象，结合图象可知恒成立，
当时，；当时，；当时，；
所以不等式成立的的取值范围是.故答案为：.
15.【解析】（1）由题可得，，，∴，，
又．
（2）． 由，则，
由，则，
∴，，又，，则，
∴，而，故．
16.【解析】解：由题意可知当时，，即，所以；
当时，，即10h后，还剩的污染物；
设污染物减少需要花th，则有， 两边取以e为底的对数，得，
所以
， 即污染物减少大约需要花
17.【解析】解：因为的解集为，所以为方程的根，
所以，解得，
所以由，解得，所以
等价于，整理得：，
当时，解得或
当时，解得
当时，解得或；
综上所述，当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为
18.【解析】解：因为函数的图象过点，所以，解得
，定义域为R，，即为奇函数；
因为为增函数，为减函数，所以为增函数，
等价于，即，
所以，解得或，所以不等式的解集为或
由可知函数为增函数，，所以；
等价于，即在恒成立，
因为，当且仅当时等号成立，所以在上的最小值为，
所以，解得，实数m的取值范围是
19．【解析】（1）
，所以函数的最小正周期.
（2）由题意得变换后的函数解析式为，当时，，
函数在区间内恰有一个对称中心，即函数在恰有一个对称中心，
故，解得，所以的取值范围为.
（3）当时，，作出函数在上的图象，如图所示：
函数在上有唯一零点，
即方程在上有唯一解，
令，方程可化为，当关于的方程只有一个根时，
若方程在上有唯一解，
则关于的方程的根，
令，解得，此时方程的根为，符合题意；
当关于的方程有两个根时，若方程在上有唯一解，
则关于的方程的两个根，，
当时，方程只有一个根，不符合题意，则，，
因为函数的对称轴为，所以方程的两个根，一个小于，一个大于，
所以若，则恒成立，所以仅需满足即可，
所以，解得.
综上所述，的取值范围为.
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