(共22张PPT)
第十六章 函数及其图象
反比例函数
01
教学目标
02
新知导入
03
新知探究
05
课堂练习
04
新知讲解
06
课堂小结
07
作业布置
01
教学目标
理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的一般形式；
01
能根据实际问题中的条件列出反比例函数关系式，并能确定自变量的取值范围；
经历从两个具体问题情境中抽象出反比例函数的过程，体会从特殊到一般的数学思想，培养观察、比较、分析和归纳的能力；
通过生活中的实际问题引入，感受数学与生活的联系，激发学习数学的兴趣。
02
03
04
02
新知导入
同学们，我们在前面已经学习过正比例函数，它反映了两个量之间“同增同减”的关系。但在实际生活中，两个量之间还可能存在另一种关系：一个量增大，另一个量反而减小。比如：从甲地到乙地的路程固定，汽车的速度越快，所需的时间就越短。这个例子中，两个变量的乘积是一个常数。像这样，两个量之间成反比例关系，就可以用一类新的函数来描述，它就是——反比例函数。今天我们就一起来学习反比例函数，探索它的定义、表达式和实际意义。
03
新知探究
问题1 甲、乙两地相距，汽车从甲地匀速驶往乙地。显然，汽车的行驶时间由行驶速度确定，时间是速度的函数，试写出这个函数关系式。
分析 和其他实际问题一样，要探求两个变量之间的关系，应先选用适当的符号表示变量，再根据题意列出相应的函数关系式。
设汽车行驶的速度是，从甲地到乙地的行驶时间是。因为在匀速运动中，时间=路程÷速度，所以________
03
新知探究
问题2 学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为的长方形饲养场。设它的一边长为，求另一边的长与之间的函数关系式。
分析 根据长方形的面积公式，可知所以_______.
这两个函数关系是有什么共同点？
04
新知讲解
上述函数关系式都具有的形式。一般地，形如
的函数叫做反比例函数。反比例函数中，自变量的取值范围是不等于0的一切实数。
问题1和问题2中得到的函数，都是反比例函数。
04
新知讲解
小试牛刀
05
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.在反比例函数 中， 的取值范围是________.
解：∵m-1≠0，∴m≠1.故答案为：m≠1.
2.已知函数 是反比例函数，则k=__________.
解：∵ 是反比例函数，∴，
解得k=2或-1；∵k+1≠0，即k≠-1；∴可得k=2.故答案为：2.
05
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3. 在函数中，自变量的取值范围是 .
解：由题意得，x-1≠0，解得x≠1，故答案为：x≠1.
4. 已知反比例函数，当时，，则比例系数的值是 .
解：将x=-3，y=4代入得，，∴ k=-12.
05
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.已知反比例函数的表达式为，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
解：∵反比例函数的表达式为，∴∴。
6. 已知y=y1+y2，y1与(x-1)成正比例，y2与(x+1)成反比例，当x=0时，y=-3，当x=1时，y=-1．
（1）求y的表达式；
（2）求当x= 时，y的值．
05
课堂练习
（1）解：∵y1与(x-1)成正比例，y2与(x+1)成反比例，
∴设y1=k1(x-1)，y2= ,∵y=y1+y2，当x=0时，y=-3，当x=1时，
y=-1，∴∴，∴y=x-1-
（2）解：当x=时，y=
05
课堂练习
【综合拓展类作业】
7. 知y=y1+y2，y1与x2成正比例，y2与x成反比例，且当x=1时，y=3；当x=-1时，y=1．
（1）求y关于x的函数表达式.
（2）当时，求 y的值
05
课堂练习
（1）解：设，则，
把x=1，y=3 代入得：，
把 x=-1，y=1代入得：，
解得：，y关于x的函数表达式为：；
（2）解：由（1）得：，当时，.
06
课堂小结
反比例函数
定义
y=（，是常数)
正比例：y随x增大而增大
反比例：y随x增大而减小
与正比例函数对比
自变量取值范围
x ≠ 0
07
作业布置
【知识技能类作业】
1.若是反比例函数，则m的值为 ；
解：根据题意得m 1≠0且|m|＝1，解得m＝ 1.
2. 对于函数 ，当 时， 是 的反比例函数，且比例系数是3.
解：∵比例系数是3，∴m-1=3，∴m=4，
∴当m=4时，y是x的反比例函数.
07
作业布置
3. 反比例函数y＝= 中自变量x的取值范围为 .
解：∵自变量x在分母上，分式的分母不为0，∴x≠0．
4. 已知函数y＝（m﹣1）是反比例函数，则m的值为 ．
解：∵函数是反比例函数，
∴m2-2=-1且m-1≠0，解得m=-1.
07
作业布置
5. 对于反比例函数 ， 当自变量的值从3增加到6时，函数值减少了 1 ， 则该反比例函数的表达式为（ ）
A． B． C． D．
解：∵当x＝3时，y＝；当x＝6时，y＝，而函数值减少了1，
∴，解得：k＝6，∴反比例函数解析式为.
07
作业布置
6.已知函数 与 成正比例． 与 成反比例． 当 时， ； 当 时， ．
（1） 求 与 的函数关系式．
（2） 当 时， 的值是多少
解：（1）设，
， 解得：
（2）当时，
07
作业布置
【综合实践类作业】
7.当k为何值时，y=（k﹣1）x是反比例函数？
解：y=（k﹣1）是反比例函数，得
解得k=﹣1，当k=﹣1时，y=（k﹣1）是反比例函数
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反比例函数分课时教学设计
《16.4.1反比例函数》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是反比例函数的第一课时，主要内容是反比例函数的概念建立。在此之前，学生已经系统学习了变量之间的关系、函数的概念以及正比例函数、一次函数的相关知识，掌握了研究函数的基本方法。反比例函数作为初中阶段最后一种基本初等函数，是对函数概念的进一步延伸，也是完善函数知识体系的重要一环。本节课从两个实际生活情境出发：行程问题中的时间与速度关系、几何问题中的长方形边长关系，引导学生通过观察、分析、比较、归纳，从具体实例中抽象出反比例函数的共同特征，进而概括出反比例函数的概念。这一过程既体现了数学源于生活又服务于生活的思想，又渗透了从特殊到一般等数学思想方法，为学生后续学习反比例函数的图像与性质、解决相关实际问题奠定了坚实的基础。
学习者分析 八年级学生已经具备了一定的抽象思维能力和归纳能力，能够从具体情境中抽象出数量关系并用符号进行表达。学生在学习本节课之前，已经掌握了正比例函数的概念，对“比例”的含义有一定理解，这为学习反比例函数提供了知识基础。但反比例函数与正比例函数的变化规律恰好相反，学生容易产生混淆，需要教师在教学中注意对比辨析。此外，反比例函数中自变量不能为零这一限制条件，学生虽然从分式有意义的角度的能够理解，但在实际问题情境中能否考虑到自变量的实际意义，还需要教师通过具体例子加以引导。
教学目标 1.理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的一般形式； 2.能根据实际问题中的条件列出反比例函数关系式，并能确定自变量的取值范围； 3.经历从两个具体问题情境中抽象出反比例函数的过程，体会从特殊到一般的数学思想，培养观察、比较、分析和归纳的能力； 4.通过生活中的实际问题引入，感受数学与生活的联系，激发学习数学的兴趣。
教学重点 理解反比例函数的概念，能根据已知条件列出反比例函数关系式
教学难点 从具体实例中抽象概括出反比例函数的概念，理解反比例函数中自变量取值范围的规定及其实际意义。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 同学们，我们在前面已经学习过正比例函数，它反映了两个量之间“同增同减”的关系。但在实际生活中，两个量之间还可能存在另一种关系：一个量增大，另一个量反而减小。比如：从甲地到乙地的路程固定，汽车的速度越快，所需的时间就越短。这个例子中，两个变量的乘积是一个常数。像这样，两个量之间成反比例关系，就可以用一类新的函数来描述，它就是——反比例函数。今天我们就一起来学习反比例函数，探索它的定义、表达式和实际意义。学生活动1： 学生思考生活中的反比例关系实例，带着问题“什么是反比例函数”进入新知识的学习。活动意图说明：通过生活实例引出反比例函数的概念，激发学生的学习兴趣，建立新旧知识（正比例函数）的联系，让学生初步感知反比例函数的特征。环节二：新知探究教师活动2： 问题1 甲、乙两地相距，汽车从甲地匀速驶往乙地。显然，汽车的行驶时间由行驶速度确定，时间是速度的函数，试写出这个函数关系式。 分析 和其他实际问题一样，要探求两个变量之间的关系，应先选用适当的符号表示变量，再根据题意列出相应的函数关系式。 设汽车行驶的速度是，从甲地到乙地的行驶时间是。因为在匀速运动中，时间=路程÷速度，所以 问题2 学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为的长方形饲养场。设它的一边长为，求另一边的长与之间的函数关系式。 分析 根据长方形的面积公式，可知 所以 和这两个函数关系是有什么共同点？学生活动2： 学生在教师引导下，设出变量，根据公式列出关系式。 学生观察、思考、讨论，尝试归纳共同特征。活动意图说明：通过两个具体问题引导学生从实际情境中抽象出函数关系式，经历建模过程；通过观察、比较、归纳两个关系式的共同特征，自然引出反比例函数的概念，培养学生从特殊到一般的数学抽象能力。环节三：新知讲解教师活动3： 概括 上述函数关系式都具有的形式。一般地，形如的函数叫做反比例函数。反比例函数中，自变量的取值范围是不等于0的一切实数。 问题1和问题2中得到的函数，都是反比例函数。学生活动3： 学生结合实例理解反比例函数的定义，明确及自变量取值范围的限制，并判断问题1、2中的函数是否符合定义。活动意图说明：在观察归纳的基础上，正式给出反比例函数的定义，帮助学生形成准确的数学概念，明确函数形式的规范及自变量取值要求，为后续学习奠定基础。
板书设计 1.反比例函数 2.自变量取值范围
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.在反比例函数 中， 的取值范围是 解：∵m-1≠0，∴m≠1.故答案为：m≠1. 2.已知函数 是反比例函数，则k= 解：∵ 是反比例函数，∴，解得k=2或-1； ∵k+1≠0，即k≠-1；∴可得k=2.故答案为：2. 3. 在函数中，自变量的取值范围是 . 解：由题意得，x-1≠0，解得x≠1，故答案为：x≠1. 4. 已知反比例函数，当时，，则比例系数的值是 . 解：将x=-3，y=4代入得，，∴ k=-12. 选做题： 5.已知反比例函数的表达式为，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 解：∵反比例函数的表达式为，∴∴。 6. 已知y=y1+y2，y1与(x-1)成正比例，y2与(x+1)成反比例，当x=0时，y=-3，当x=1时，y=-1． （1）求y的表达式； （2）求当x= 时，y的值． （1）解：∵y1与(x-1)成正比例，y2与(x+1)成反比例， ∴设y1=k1(x-1)，y2= ∵y=y1+y2，当x=0时，y=-3，当x=1时，y=-1，∴ ∴，∴y=x-1- （2）解：当x=时，y= 【综合拓展类作业】 7. 知y=y1+y2，y1与x2成正比例，y2与x成反比例，且当x=1时，y=3；当x=-1时，y=1． （1）求y关于x的函数表达式. （2）当时，求 y的值 （1）解：设，则， 把x=1，y=3 代入得：，把 x=-1，y=1代入得：， 解得：，y关于x的函数表达式为：； （2）解：由（1）得：，当时，.
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.若是反比例函数，则m的值为 ； 解：根据题意得m 1≠0且|m|＝1，解得m＝ 1. 2. 对于函数 ，当 时， 是 的反比例函数，且比例系数是3. 解：∵比例系数是3，∴m-1=3，∴m=4， ∴当m=4时，y是x的反比例函数. 3. 反比例函数y＝= 中自变量x的取值范围为 . 解：∵自变量x在分母上，分式的分母不为0，∴x≠0． 4. 已知函数y＝（m﹣1）是反比例函数，则m的值为 ． 解：∵函数是反比例函数，∴m2-2=-1且m-1≠0，解得m=-1. 5. 对于反比例函数 ， 当自变量的值从3增加到6时，函数值减少了 1 ， 则该反比例函数的表达式为（ ） A． B． C． D． 解：∵当x＝3时，y＝；当x＝6时，y＝，而函数值减少了1， ∴，解得：k＝6，∴反比例函数解析式为. 6.已知函数 与 成正比例． 与 成反比例． 当 时， ； 当 时， ． （1） 求 与 的函数关系式． （2） 当 时， 的值是多少 解：（1）设， ， 解得： （2）当 【综合拓展类作业】 7. 当k为何值时，y=（k﹣1）x是反比例函数？ 解：y=（k﹣1）是反比例函数，得 解得k=﹣1，当k=﹣1时，y=（k﹣1）是反比例函数．
教学反思 本节课从学生熟悉的生活情境出发，通过行程问题和面积问题引入反比例函数，学生能够较快地列出函数关系式，并在观察比较中自然归纳出的形式。学生对“两个量的乘积为定值”这一核心特征理解较好，能够准确判断反比例关系。但在教学过程中也发现，部分学生对反比例函数与正比例函数的判断仍不够清晰，容易混淆两种函数的变化规律，后续教学中需要加强对比练习。此外，在引导学生归纳共同特征时，可以让学生更充分地展开讨论，给予更多表达机会，让反比例函数概念的形成过程更加自然。
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 华东师大版 册、章 下册第16章
课标要求 1.理解函数的基本概念，能识别变量与常量，判断两个变量之间是否存在函数关系，并会求简单函数的自变量的取值范围；2.掌握函数的三种表示方法，理解其各自特点并能相互转化；3.熟练运用平面直角坐标系，能根据坐标描点、根据点的位置写出坐标，理解函数图象的概念；4.掌握一次函数的概念、图象和性质，能根据已知条件用待定系数法确定一次函数表达式，并能结合图象解释其实际意义，能用一次函数解决简单实际问题；5.掌握反比例函数的概念、图象和性质，理解比例系数k的几何意义，能根据实际问题确定反比例函数表达式，能用反比例函数解决简单实际问题；6.能画出简单函数的图象，并能从图象中获取信息，分析函数的增减性、变化趋势等性质；7.具备初步的函数应用能力，能建立简单实际问题的函数模型；8.通过阅读材料与数学活动，了解函数发展的文化背景，体会数形结合思想，初步接触函数性质的理性推理方法。
内容分析 函数这一章在初中数学里具有重要的连接作用，它为学生搭建起从认识变量到建立函数模型的完整思维框架。本章以函数概念为核心起点，从生活实例中抽象出变量间的对应关系，并借助平面直角坐标系实现函数关系的可视化表达，在此基础上，重点展开对一次函数和反比例函数两类基本模型的深入研究，系统学习它们的概念、图象特征、性质以及实际应用方法。整个单元都强调数形结合思想和函数建模能力的培养，既为后续函数学习奠定坚实基础，也引导学生学会用联系的数学观点理解和描述现实世界的变化规律。由于函数知识具有高度抽象性、数形结合紧密、与实际应用联系广泛等特点，学生理解起来往往存在困难，教师在教学中要注重从学生熟悉的情境出发，设计循序渐进的探究活动，让学生在具体到抽象的过渡中逐步建立起对函数概念的深刻理解。
学情分析 八年级学生在本章之前尚未系统学面直角坐标系和变量、常量的概念，虽然学生在生活中对“一个量随着另一个量变化”有过一些直观感受，比如气温随时间变化等，但还没有把这些经验转化为系统的数学概念。他们对用图形表示数量关系有一定兴趣，但还不熟悉如何在坐标系中描点、看图说话。同时，学生刚开始学习用数学语言描述变化规律，容易把函数关系和简单算式混淆，需要教师通过具体实例帮助他们理解“唯一对应”这一核心特征。教学中应当从学生熟悉的生活变化入手，逐步引导他们认识变量、建立坐标系、画出变化图形，最终形成对函数及其图象的整体认识。
单元目标 （一）教学目标1.经历从生活实例中抽象变量与函数概念的过程，理解函数是描述两个变量间单值对应关系的数学模型；2.通过建立平面直角坐标系和描点作图的活动，掌握函数图象的绘制方法，体会数形结合的思想方法；3.经历一次函数图象的绘制与观察过程，掌握一次函数的图象特征和性质，发展几何直观能力；4.通过待定系数法的学习与应用，掌握根据已知条件确定一次函数表达式的方法，体会方程与函数的联系；5.经历反比例函数图象的探究过程，理解反比例函数的图象特征及其性质，形成分类讨论的思维习惯；6.通过函数知识在实际问题中的综合应用，初步建立函数模型，发展数学建模能力和应用意识；7.在函数学习过程中，感受数学与现实生活的密切联系，养成严谨求实的科学态度。（二）教学重点、难点教学重点：函数概念的理解与建立，一次函数与反比例函数的图象特征及其基本性质的掌握，数形结合思想的初步运用。教学难点：从具体情境中抽象出函数关系并建立模型，理解函数图象与解析式之间的对应关系，综合运用函数知识解决实际问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数16.1变量与函数116.2函数的图象216.3一次函数416.4反比例函数216.5实践与探索1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务16.1变量与函数1.理解并掌握变量、常量、自变量、因变量和函数的基本概念，理解函数的本质；2.能准确识别两个变量之间是否存在函数关系，并能初步确定自变量与因变量；3.了解函数的三种表示方法，能结合具体实例说出其表示形式；4.通过分析实际问题，能根据问题情境列出简单的函数解析式，体会函数与生活的联系，发展从具体情境中抽象数学关系的能力。1.能区分具体问题中的常量、变量、自变量和因变量；2.能判断两个变量之间是否存在函数关系；3.能说出函数的三种表示方法；4.能根据简单情境列出函数解析式。任务1：分析生活实例，指出其中的变量与常量；任务2：判断给定的对应关系是否为函数关系；任务3：用解析式、列表两种方式表示同一个函数关系；任务4：根据实际问题列出函数式。16.2函数的图象1.认识并能画出平面直角坐标系，理解点的坐标意义；2.理解函数图象的概念，初步体会“数形结合”思想；3.能识别简单的函数图象，并会通过描点法画出简单函数的图象；4.能从函数图象中读取基本信息。1.能在坐标系中标出点的位置，或根据点的位置写出坐标；2.能说出函数图象是满足函数关系的点的集合的概念；3.能用描点法画出简单函数的图象；4.能根据图象，说出因变量随自变量的增减变化情况。任务1：在给定的坐标系中，能准确描出给的点，并写出已知点的坐标；任务2：判断给定的坐标系中的曲线是否能表示一个函数的图象；任务3：用描点法画出简单函数在给定范围内的图象；任务4：观察一个简单实际问题的函数图象，描述其上升、下降或保持不变的趋势。16.3一次函数1.理解一次函数和正比例函数的概念，能识别和判断；2.掌握一次函数的图象和性质；3.能用待定系数法求一次函数的表达式;4.能运用一次函数知识解决简单的实际问题。1.能根据解析式判断函数是否为一次函数或正比例函数;2.能画出一次函数的草图，并能根据k、b的符号说出图象经过的象限和增减性;3.能根据已知两点坐标，用待定系数法求出一次函数的解析式;4.能根据实际问题建立一次函数模型，并进行简单计算或判断。任务1：对给定的函数关系式进行分类与辨析;任务2：分析与讨论一次函数中参数对图象的影响，并进行作图;任务3：根据已知点的坐标等信息，求解一次函数的解析式;任务4：建立一次函数模型来解决简单的应用问题。16.4反比例函数1.理解反比例函数的概念，能根据定义进行判断;2.会用描点法画反比例函数的图象，了解其图象特征;3.掌握反比例函数的主要性质（如增减性、象限分布）;4.能用反比例函数解决简单的实际问题。1.能准确识别反比例函数，并能说出其一般形式;2.能正确画出反比例函数的图象，并描述其形状特征;3.能根据k的符号，说出反比例函数的图象所在的象限及增减性;4.能利用反比例函数的关系式解决简单的几何或实际问题。任务1：辨析给定的函数关系式是否为反比例函数;任务2：通过描点法画出反比例函数的图象，并观察总结其特点;任务3：分析与讨论反比例函数中比例系数k对图象和性质的影响;任务4：运用反比例函数知识解决简单的应用问题。16.5实践与探索1.理解一次函数与一元一次方程（组）之间的联系，体会数形结合思想;2.能综合运用函数、方程知识分析并解决实际问题;3.提高从函数图象中获取信息，并进行数学分析和决策的能力。1.能从“数”与“形”两个角度，解释一次函数与一元一次方程（组）的关系;2.能利用函数图象法或解析法，解决涉及方程的简单综合问题;3.能建立合适的函数模型，对实际问题进行定量分析和解释。任务1：探究并讨论一次函数图象与x轴交点的横坐标和对应一元一次方程的解之间的关系;任务2：通过函数图象法求两条直线交点的坐标，并理解其与方程组解的关系;任务3：结合图象分析，解决实际问题。
《函数及其图象》单元教学设计
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