高三年级数学月考试卷
2026.3.7
一、单选题(共 40 分)
1. 已知集合 ，则 的真子集个数为( )
A. 4 B. 14 C. 15 D. 16
2. 设复数 满足 ，则 ()
A. B. C. D.
3. 向量 ，若 ，则实数 等于( )
A. 1
B. C. D. 2
4. 已知 ，则 ( )
A. B. C. D.
5. 若正四棱柱 与以正方形 的外接圆为底面的圆柱的体积相同，则正四棱柱与该圆柱的侧面积之比为()
A. B. C. D.
6. 已知函数 令 得数列 ,若数列 为递增数列,则实数 的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
7. 函数 在 上的零点个数为( )
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
8. 若函数 满足对任意 ,都有 ,且 ，则 ( )
A. 4032 B. 4036 C. 4039 D. 4042
二、多选题(共 18 分)
9. 下列说法中, 正确的是 ( )
A. 将 4 名老师分派到两个学校支教，每个学校至少派 1 人，则共有 14 种不同的分派方法
B. 分别抛掷两枚质地均匀的硬市，设 "第一枚正面朝上"， "第二枚反面朝上"，则有
C. 若随机变量 ,则
D. 若随机变量 ,且 ,则
10. 已知 是定义在 上的偶函数,且当 时, ,则 ( )
A.
B. 在 和 上单调递增
C. 当 时, D. 有 2 个极小值点
11. 已知正方体 的棱长为 2， 为 的中点， 为正方形 所在平面内一动点, 则下列命题正确的有( )
A. 若 ,则 的中点的轨迹所围成图形的面积为
B. 若 与平面 所成的角为 ，则 的轨迹为圆
C. 若 到直线 与直线 的距离相等，则 的轨迹为抛物线
D. 若 与 所成的角为 ,则 的轨迹为双曲线
三、填空题(共 15 分)
12. 的展开式中,只有第六项的二项式系数最大,则展开式中 的系数是_____.
13. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,双曲线 的焦距为 8,点 关于双曲线 的一条渐近线的对称点为点 ,若 ,则双曲线 的离心率为_____.
14. 为深入开展宪法宣传工作，提升公民法治素养，某市教育局举办了宪法普法知识答题活动. 现有甲、乙两所学校晋级决赛, 本次决赛计分规则: 参赛学校抢到答题权且作答正确的, 每题计 1 分; 未抢到答题权, 或抢到答题权但作答错误, 均不计分. 终止规则: 任一参赛学校得分比另一校多 2 分或五道比赛题目全部答完. 已知两校每道题抢到答题权的概率均为 , 且每所学校答对每道题的概率均为 . 设活动结束时,两校一共答了 道题,则 的数学期望 为_____.
四、解答题(共 77 分)
15. 在 中，内角 、 、 的对边分别为 、 、 ， ( 是 的外接圆半径).
(1)求 ；
(2)若 ， 的面积为 ，求 的周长.
16. 已知 和 为椭圆 上两点.
(1)求椭圆方程；
(2)若过点 的直线 交 于另一点 ,且 的面积为 12,求直线 的方程.
17. 如图,在四棱锥 中,已知底面 为矩形,侧面 是正三角形,侧面 底面 是棱 的中点， .
(1)证明: 平面 ；
(2)若 ，求二面角 ；
(3)若二面角 为 ，求异面直线 与 所成角的正切值.
18. 已知函数 .
(1)讨论 的单调性;
(2)设 ，且 . 证明:
(i) 在区间 存在唯一的极值点 ;
(ii) 对于 (i) 中的 .
19. 对于确定的正整数 ,若存在正整数 ,使得 成立,则称数列 为 “ 阶可分拆数列”.
(1)设 是公差为 的等差数列，若 为“ 阶可分拆数列”，证明: ；
(2)设函数 ,记曲线 在点 处的切线与 轴的交点为 ,探究数列 是否为 “ 阶可分拆数列”，并说明理由；
(3)设 ，若数列 为“ 阶可分拆数列”，求由所有 的值组成的集合 .
1. C
因为 ,
所以 的真子集个数为 (个).
故选:
2.
由 ,则 .
故选: B
3. B
由已知可得 ,
,所以, ,解得 .
故选: B.
4. A
,
.
故选: A.
5. B
依题意,设正四棱柱 的底面边长为 ,高为 ,
圆柱的高为 ,则圆柱的底面半径为 ,
则有 ,整理得 , 正四棱柱与圆柱的侧面积之比 .
故选: B.
6.
令 得数列
且数列 为递增数列,
得
解得 .
即:
故选: B.
7. C
令函数 ,根据 “勾函数” 的性质可知: 函数 在 上单调递减, 在 上单调递增,
且 .
所以当 时, ,
由 .
只有当 时, 的值分别对应 .
又因为 在 上各有 2 个解,
所以 在 上有 6 个零点.
故选: C
8. C
令 ,则 ,
令 ,则 ,
根据 的任意性可得 ,
不妨令 ,得 ,
所以
,
故选: C.
9.
A 选项: 将 4 名老师分派到两个学校支教, 每个学校至少派 1 人, 则共有 种分配方法, 正确;
B 选项: 正确;
选项,若随机变量 ,则 正确;
选项,若随机变量 ,且 ,则 ,
所以 错误;
故选: ABC
10. BD
是定义在 上的偶函数,所以 ,
又当 时, ,
所以当 时, ,
当 时, ,
所以 , 错误,
因为当 ,
所以当 ， ，故 ，A 错误，
因为当 时, ,
令 可得, 或 (舍去)
当 时, ,函数 在 上单调递减,
当 时, 在 上单调递增,
又 是定义在 上的偶函数,
所以函数 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以 在 和 上单调递增, B 正确, 因为函数 在 上单调递减,在 上单调递增, ,
所以当 时, 是 的极小值点,因为 是偶函数,所以 也是 的极小值点,故 有 2 个极小值点, 正确.
故选: BD.
11. BCD
对于 ,设 中点为 中点为 ,连接 ,则 ,且 , 如图,若 ,则所以 ,则 ,所以点 的轨迹是以 为圆心,半径为 的圆,面积 ,故 错误;
对于 ,则 ,所以 的轨迹是以 为圆心,半径为 的圆,故 正确;
对于 ,点 到直线 的距离为 ,所以点 到定点 和直线 的距离相等,且 点不在直线 上,由抛物线定义可知, 的轨迹是抛物线,故 正确;
对于 ,如图,以 所在直线分别为 轴、 轴、 轴,建立空间直角坐标系, 设 ,
所以 , 化简得 ,即 ,所以 的轨迹为双曲线,故 D 正确;
故选: BCD.
12.
二项式 的展开式中,只有第六项的二项式系数最大, 二项式系数最大值出现在中间项,
当 为偶数时,最大项为第 项,
因此有 ,解得 ,
展开式的通项公式为:
令 ,解得 ,
代入通项，得系数为:
因此,展开式中 的系数为 .
故答案为:
13. 2
由题知, ,又点 关于双曲线 的一条渐近线 1 的对称点为点 ,连接 ,设 于 ,故 ,即 ,则 , 故
故答案为 2
14.
甲校在每题中得 1 分的概率为 ,
记事件 “答完两题后,甲校得 2 分”,
所以 ;
依题意, 每道题的答题结果有以下 3 种:
甲校抢到且答对得 1 分,此时乙校得 0 分,概率为 ;
乙校抢到且答对得 1 分,此时甲校得 0 分,概率为 ;
不论哪校抢到都答错，即甲乙两校都得 0 分，概率为 ；
两校一共答的题目数 的可能取值为2,3,4,5,
表示某校前 2 道得 2 分,对方得 0 分;
表示某校前 2 道得 1 分,且对方得 0 分,第 3 道得 1 分;
表示前 3 道得 1 分,且对方得 0 分,第 4 道得 1 分,
或者前 2 道得 1 分，且对方得 1 分，第 3 道和第 4 道共得 2 分；
故 的分布列列表如下:
2 3 4 5
2 9 4 27 41 81
所以 .
15. ,或
(2)
(1)由正弦定理可知 ,而 ,
所以 ,
又因为 ,于是 或 ;
( 2 )当 时，因为 的面积为 ，
所以 ,
又因为 ,
所以
,
所以 的周长为 ，
当 时,因为 的面积为 ，
所以 ,
又因为 ，
所以
,
又因为 ,
所以此时不构成三角形,
综上所述: 的周长为 .
16.
(2) 或
(1)由题意得 ，解得 ，
所以椭圆的方程为: .
(2)如图，
当 的斜率不存在时， ,
到 距离 ,
此时 不满足条件.
当直线 斜率存在时,设 ,
设 ,
则 ,消 可得 ,
当 时,
,又 ,
所以 ,
,
又 点到直线 的距离 ,
所以 ,
整理可得 或 (无解),
即 ,
解得 或 ,
此时代入检验,均满足 ,
或 ,
即 或 .
17.(1)在四棱锥 中,由底面 为矩形,得 ,
由侧面 底面 ,侧面 底面 平面 ,
得 平面 ,又 平面 ,则 ,
又侧面 是正三角形， 是 的中点，则 ，
又 平面 ,所以 平面 .
(2)如图，取 ， 中点 、 ，连接 、 、 ，
因为底面 为矩形,侧面 是正三角形,
所以 ，且 且都在面 ，
所以 平面 ,又 ,所以 平面 , 面 ,
所以 ,所以 就是二面角 的平面角,
由( 1 )知 平面 ，因为 ，所以 平面 ，
面 ,则 ,在直角三角形 中, ,
又正三角形 ,则 ,所以 ,
所以 ，即二面角 为 .
(3)如图，在平面 内，过点 作 ，垂足为 ，则 ， 由侧面 底面 ,交线为 面 ,得 底面 ,
底面 ,则 ,
过 作 ,垂足为 ,连接 ,
平面 ,则 平面 ,
而 平面 ,因此 ,
则 即为二面角 的平面角,其大小为 ,
在 Rt 中, ,则 ,
由 ,得四边形 为平行四边形,则 ,
由 ,得 (或其补角) 为异面直线 与 所成角,
由( 1 )知 平面 ，则 为直角三角形， ， 所以异面直线 与 所成角的正切值为 .
18.(1)已知函数 ，其定义域为 ，
求导得 ,
当 时， 在 上恒成立，所以 在 上单调递增.
当 时令 ,解得 ,
当 时, 单调递增;
当 时, 单调递减;
当 时, 在 上恒成立,即 在 上恒成立,
所以 在 上单调递增.
综上,当 时, 在 上单调递增;
当 时, 在 上单调递增, 在 上单调递减.
(2)(i)已知 ，定义域 ， 当 时, 单调递减,又因为 ,所以 单调递增, 而 也单调递增,故 在 上单调递增,无极值点;
求导得 ,设 ,
因为 ,所以 在 上为增函数,
而 ,
故 在 上存在一个零点 ,且 时, ,
时, ,故 在 上为减函数,在 为增函数,
而 ,故 在 上存在唯一一个零点 ,
且 时, 即 时, 即 ,
所以 在区间 上存在唯一的极值点 .
所以 在区间 存在唯一的极值点 ;
(ii) 由 (i) 得 ,即 ,
则 ,
令 ,
求导得 ,
令 ,
求导得 ,
整理得
因为 ,所以 ,即 在 上单调递增,
所以 ,
所以 在 上单调递增,
所以 ,
即 .
19.(1)因为 是公差为 的等差数列,所以 ,
所以 .
因为 为 “ 阶可分拆数列”,所以 ,即 . 化简,得 .
( 2 )由 ，得 .
又切点为 ,则过该切点的切线方程为
易知当 时, . 令 ,整理,得 ,所以 ,
所以 .
又 ,
所以 ; 所以数列 不是 “ 阶可分拆数列”.
(3)由题意，知对于确定的正整数 ，存在正整数 ，使得 成立， 即 ,所以 .
①若 ，则 ，当 时， 成立:
②若 ，则 ，
当 时， ，
当 时, ,
当 时, ,所以不存在正整数 ,使得 成立;
③若 ，则 ，当 时， 成立；
④若 ，则 ，
所以不存在正整数 ,使得 成立.
综上, 或 3,所以 .
