江西宜春市丰城市第九中学2025-2026学年高二下学期开学检测数学试题(含解析)
文档属性
| 名称 | 江西宜春市丰城市第九中学2025-2026学年高二下学期开学检测数学试题(含解析) |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 249.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-12 00:00:00 | ||
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文档简介
丰城九中 2025-2026 学年高二年级下学期开学数学作业
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 直线 的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2. 抛物线 的准线方程为( )
A. B. C. D.
3. 双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为
A. B. C. D.
4. 已知随机变量 ，且 ，则 ( )
A. 0.8 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.3
5. 在平面直角坐标系 中,已知点 ,点 为直线 上一动点, 则 的最小值是( )
A. B. 4 C. 5 D. 6
6. 某班准备从甲、乙、丙、丁 4 位同学中挑选 3 人，分别担任 2025 年元旦晚会的主持人、 记分员和秩序员, 每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任, 已知甲同学不能担任主持人，则不同的安排方法有( )种.
A. 18 B. 24 C. 27 D. 64
7. 在正三棱柱 中， ，点 为侧面 内的一点，则 的最小值为( )
A. B. 2
C. D.
8. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,若在 上存在点 (不是顶点),使得 ,则 的离心率的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本大题共 3 个小题, 每小题 6 分, 满分 18 分.在每小题给出的选项 中, 有多个选项符合题目要求.全部选对得 6 分, 部分选对的得部分分, 选错或 不选得 0 分.
9. 下列选项正确的是( )
A. 若随机变量 服从两点分布 (或 0-1 分布),且 ,则
B. 若随机变量 满足 ,则
C. 若随机变量 ,则
D. 某人在 10 次射击中，击中目标的次数为 ，若 ，则此人最有可能 7 次击中目标
10.《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”. 现有“阳马” 如下图所示，其中 平面 ， ，点 在棱 上运动. 下列说法错误的是( )
A. 存在点 ,使得
B. 存在点 ,使得
C. 点 到平面 距离的最大值为
D. 当 时,三棱锥 的体积是四棱锥 体积的
11. 如图, 是椭圆 与双曲线 在第一象限的交点,且 共焦点 的离心率分别为 ,则下列结论不正确的是 ( )
A. B. 若 ,则
C. 若 ,则 的最小值为 2 D.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知 ,点 在坐标平面 上,且 三点共线,则 点的坐标为_____.
13. 的展开式中, 的系数为_____
14. 已知甲盒中有三个红球和两个白球, 乙盒中有两个红球和两个白球, 所有小球除颜色外, 其他都相同. 某人先从乙盒中任取两个球, 放入甲盒中, 再从甲盒中任取两个球, 则此人从甲盒中取到的两个球颜色相同的概率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知点 和圆 .
(1)求经过点 的圆 的切线方程；
(2)若 是圆 上一动点，求 的取值范围.
16. 习近平总书记在十九大报告中指出, 必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念,某城市选用某种植物进行绿化,设其中一株幼苗从观察之日起,第 天的高度为 ,测得一些数据图如下表所示:
第 天 1 2 3 4 5
高度 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5
(1)由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合 与 的关系，请用相关系数加以证明；
(2)求 关于 的回归直线方程，并预测第 7 天这株幼苗的高度.
参考数据: .
参考公式:相关系数 ,
回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
17. 如图,在三棱柱 中, 平面 , 点 分别在棱 和棱 上,且 为棱 的中点.
(1)求证: ；
(2)求二面角 的余弦值.
18. 有媒体称 DeepSeek 开启了我国 AI 新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与 知识有关的网络答题活动,为了解男女学生参与答题意愿的差异,男生、女生各取 100 人. 设事件 “学生愿意报名参加答题活动”, “学生为男生”,据统计
(1)根据已知条件，完成下列 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关
性别 男生 女生 合计
不愿报名参加答题活动
愿意报名参加答题活动
合计 200
(2)网络答题规则:假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为 .
(i) 若答题活动设置 道题,甲仅答对其中 10 道题的概率最大,求 的值.
(ii)若答题活动设置 4 道题，且答题规则如下:每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题,直到 4 道题答完. 已知甲同学报名参加答题活动,用 表示在本次答题的题目数量,求 的分布列和期望.
参考公式与数据: ,其中 .
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19. 已知焦点在 轴上的椭圆过点 ,离心率 .
(1)求椭圆的标准方程.
(2)若直线 与椭圆相交于不同的两点 、 ，点 是椭圆上的动点(异于点 .
① 当 时,若直线 斜率均存在,判断 是否为定值，并证明你的结论; ② 当点 的坐标为 时, ,求实数 的取值范围.
1. D
由题可知,可将直线方程 化为 ,可得直线斜率为 , 设倾斜角为 ,则 ,
由 得倾斜角为 .
故选: D.
2. C
由 得 ,所以 ,所以 ,
故抛物线 的准线方程为 .
故选: C.
3. A
,
因为渐近线方程为 ,所以渐近线方程为 ,选 A.
4. B
因为随机变量 ,且 ,
则 .
故选: B.
5. B
设点 关于直线 的对称点为 ,
则 ,解得 ,
所以 ,
所以 ,
当且仅当点 为线段 与直线 的交点时等号成立,
所以 的最小值是 4 ,
故选: B.
6. A
若甲被选出,从其它 3 位同学选 2 位有 种,
将甲安排为记分员或秩序员有 种,另 2 人作全排有 种,
所以共有 种;
若甲不被选出,只需将选出的 3 人作全排列有 种,
综上,共有 种.
故选: A
7. B
如图所示,取 的中点 ,连接 ,
则 ,两式平方后相减可得
,即 ,
其中 ,故 ,
故当 取得最小值时, 取得最小值,
当 位于矩形 的中心时, 取得最小值,最小值为等边 的中线长,即
故 .
故选: B
8. D
设 与 轴交点为 ,连接 ,
由对称性可知 ,
又因为 ,
所以 ,
所以 ,
又因为 ,
所以 ,
在 Rt 中, ,
所以 ,
所以 ,
由 ,且三角形内角和为 ,
所以 ,
所以 ,即 ,
则 ,
综上: .
故选: D.
9. BCD
对于 ,由随机变量 服从两点分布, ,得试验成功的概率 ,
因此 , A 错误;
对于 ,由随机变量 满足 ,
得 服从超几何分布,因此 , B 正确;
对于 ,由随机变量 ,得 正确;
对于 ,由 ,
得 ,解得 ,
则 ,即 最大,此人最有可能 7 次击中目标, 正确.
故选: BCD
10. ABD
依题意,直线 两两垂直,以点 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ,
,令 ,
对于 ,
若 ，则 ，必有 ，
此时 与 不共线,矛盾, A 错误;
对于 ,
则 不成立,即 不垂直, B 错误;
对于 ,设平面 的法向量 ,而 ,
则 ,令 ,得 ,
点 到平面 距离, ,
当且仅当 ,即 与 重合时取等号, 正确;
对于 ,当 时, ,点 到平面 与平面 的距离都为
而 ,
则 , D 错误.
故选: ABD.
11. ACD
依题意, ,解得 , 不正确;
令 ,由余弦定理得:
当 时, ,即 ,因此 正确;
当 时, ,即 ,有 ,
而 ,则有 ,解得 不正确;
,于是得 ,
解得 ,而 ,因此 不正确.
故选: ACD
12.
由于点 在坐标平面 上,故可设 ,
由于 三点共线,
所以 ,
所以 ,
所以 ,解得 .
所以 .
故答案为:
13. -120
5 个因式,2 个因式中取 ,1 个因式中取 个因式中取 , 即可得出含 的项,
则 的系数为 ,
故 的系数为 -120 .
故答案为: -120 .
14.
乙盒取 2 球有三种情形:
取 2 红: 概率为 ,此时甲盒有 5 红 2 白,从甲盒取 2 同色球的概率为
取 2 白: 概率为 ,此时甲盒有 3 红 4 白,从甲盒取 2 同色球的概率为
取 1 红 1 白: 概率为 ,此时甲盒有 4 红 3 白,从甲盒取 2 同色球的概率为
所求概率为: .
故答案为:
15. (1) 或
(2)
(1) 圆的方程可化为 ,圆心 ,半径 .
过 点且斜率不存在的直线 与圆相切,
当切线斜率存在时,设切线方程为 ,即 ,
,解得 切线方程为 ,
所求切线方程为 或 .
(2)设 ，则 ，
即 ,
因为 是圆 上一动点,
所以 与 有公共点,
所以 ,解得 ,
的取值范围 .
16.(1)由 ,
所以 ,
因为 与 1 非常接近,故可用线性回归模型拟合 与 的关系.
(2)由题意可得: ，
所以 关于 的回归直线方程为 .
当 时, ,
由此预测当年份序号为第 7 天这株幼苗的高度为 .
17.(1)由于 ,故建立如图所示的空间直角坐标系,则
故 ,
故 ,因此
(2)由于 平面 ，故平面 的一个法向量为 ，
设平面 的一个法向量为 ,
故 ,令 ,则 ,
设二面角 的平面角为 ,由图可知 为钝角,
故
18.(1) 因为 ,所以愿意报名参加答题活动人数为 ,
又因为 ,所以愿意报名参加答题活动的男生人数为 ,愿意报名参加答题活动的女生人数为 ,则可得到 列联表为:
性别 男生 女生 合计
不愿报名参加答题活动 20 60 80
愿意报名参加答题活动 80 40 120
合计 100 100 200
零假设为 : 学生报名参加答题活动与性别无关,
则 ,
依据小概率值 的独立性检验,我们推断 不成立,
即认为学生报名参加答题活动与性别有关联, 此推断犯错误的概率不大于 0.001 ;
(2)(i)设随机变量 为甲答对题目的个数，则 .
则 ,
假设最有可能答对题目的数量是 10 次,则
即: ,
解得 ,又 ,则 ;
(ii) 的所有可能取值为:1,2,3,4,
,
所以 的分布列为:
1 2 3 4
2 9
故 .
19.(1) 由题知 ,
平方化简得
所以，椭圆的标准方程为 ；
(2)① (定值).
证明如下: 当 时,易得 两点关于原点对称,
设 ,则 ,
所以 ,
而 均在椭圆上,所以 ,
从而 ,证毕;
②由题意知，当 时，显然 ；
设 的中点为 ,
由 ,
由 ,得 (i),
,则 ,
所以 ,因为 ,则 ,从而 ,即 .
而 ,所以 ,化简得 ,
由 得 (ii),将 代入 (i)
则 ,得: (iii),由 (ii) (iii) 得 ,
综上,实数 的取值范围为 .
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 直线 的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2. 抛物线 的准线方程为( )
A. B. C. D.
3. 双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为
A. B. C. D.
4. 已知随机变量 ，且 ，则 ( )
A. 0.8 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.3
5. 在平面直角坐标系 中,已知点 ,点 为直线 上一动点, 则 的最小值是( )
A. B. 4 C. 5 D. 6
6. 某班准备从甲、乙、丙、丁 4 位同学中挑选 3 人，分别担任 2025 年元旦晚会的主持人、 记分员和秩序员, 每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任, 已知甲同学不能担任主持人，则不同的安排方法有( )种.
A. 18 B. 24 C. 27 D. 64
7. 在正三棱柱 中， ，点 为侧面 内的一点，则 的最小值为( )
A. B. 2
C. D.
8. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,若在 上存在点 (不是顶点),使得 ,则 的离心率的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本大题共 3 个小题, 每小题 6 分, 满分 18 分.在每小题给出的选项 中, 有多个选项符合题目要求.全部选对得 6 分, 部分选对的得部分分, 选错或 不选得 0 分.
9. 下列选项正确的是( )
A. 若随机变量 服从两点分布 (或 0-1 分布),且 ,则
B. 若随机变量 满足 ,则
C. 若随机变量 ,则
D. 某人在 10 次射击中，击中目标的次数为 ，若 ，则此人最有可能 7 次击中目标
10.《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”. 现有“阳马” 如下图所示，其中 平面 ， ，点 在棱 上运动. 下列说法错误的是( )
A. 存在点 ,使得
B. 存在点 ,使得
C. 点 到平面 距离的最大值为
D. 当 时,三棱锥 的体积是四棱锥 体积的
11. 如图, 是椭圆 与双曲线 在第一象限的交点,且 共焦点 的离心率分别为 ,则下列结论不正确的是 ( )
A. B. 若 ,则
C. 若 ,则 的最小值为 2 D.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知 ,点 在坐标平面 上,且 三点共线,则 点的坐标为_____.
13. 的展开式中, 的系数为_____
14. 已知甲盒中有三个红球和两个白球, 乙盒中有两个红球和两个白球, 所有小球除颜色外, 其他都相同. 某人先从乙盒中任取两个球, 放入甲盒中, 再从甲盒中任取两个球, 则此人从甲盒中取到的两个球颜色相同的概率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知点 和圆 .
(1)求经过点 的圆 的切线方程；
(2)若 是圆 上一动点，求 的取值范围.
16. 习近平总书记在十九大报告中指出, 必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念,某城市选用某种植物进行绿化,设其中一株幼苗从观察之日起,第 天的高度为 ,测得一些数据图如下表所示:
第 天 1 2 3 4 5
高度 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5
(1)由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合 与 的关系，请用相关系数加以证明；
(2)求 关于 的回归直线方程，并预测第 7 天这株幼苗的高度.
参考数据: .
参考公式:相关系数 ,
回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
17. 如图,在三棱柱 中, 平面 , 点 分别在棱 和棱 上,且 为棱 的中点.
(1)求证: ；
(2)求二面角 的余弦值.
18. 有媒体称 DeepSeek 开启了我国 AI 新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与 知识有关的网络答题活动,为了解男女学生参与答题意愿的差异,男生、女生各取 100 人. 设事件 “学生愿意报名参加答题活动”, “学生为男生”,据统计
(1)根据已知条件，完成下列 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关
性别 男生 女生 合计
不愿报名参加答题活动
愿意报名参加答题活动
合计 200
(2)网络答题规则:假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为 .
(i) 若答题活动设置 道题,甲仅答对其中 10 道题的概率最大,求 的值.
(ii)若答题活动设置 4 道题，且答题规则如下:每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题,直到 4 道题答完. 已知甲同学报名参加答题活动,用 表示在本次答题的题目数量,求 的分布列和期望.
参考公式与数据: ,其中 .
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19. 已知焦点在 轴上的椭圆过点 ,离心率 .
(1)求椭圆的标准方程.
(2)若直线 与椭圆相交于不同的两点 、 ，点 是椭圆上的动点(异于点 .
① 当 时,若直线 斜率均存在,判断 是否为定值，并证明你的结论; ② 当点 的坐标为 时, ,求实数 的取值范围.
1. D
由题可知,可将直线方程 化为 ,可得直线斜率为 , 设倾斜角为 ,则 ,
由 得倾斜角为 .
故选: D.
2. C
由 得 ,所以 ,所以 ,
故抛物线 的准线方程为 .
故选: C.
3. A
,
因为渐近线方程为 ,所以渐近线方程为 ,选 A.
4. B
因为随机变量 ,且 ,
则 .
故选: B.
5. B
设点 关于直线 的对称点为 ,
则 ,解得 ,
所以 ,
所以 ,
当且仅当点 为线段 与直线 的交点时等号成立,
所以 的最小值是 4 ,
故选: B.
6. A
若甲被选出,从其它 3 位同学选 2 位有 种,
将甲安排为记分员或秩序员有 种,另 2 人作全排有 种,
所以共有 种;
若甲不被选出,只需将选出的 3 人作全排列有 种,
综上,共有 种.
故选: A
7. B
如图所示,取 的中点 ,连接 ,
则 ,两式平方后相减可得
,即 ,
其中 ,故 ,
故当 取得最小值时, 取得最小值,
当 位于矩形 的中心时, 取得最小值,最小值为等边 的中线长,即
故 .
故选: B
8. D
设 与 轴交点为 ,连接 ,
由对称性可知 ,
又因为 ,
所以 ,
所以 ,
又因为 ,
所以 ,
在 Rt 中, ,
所以 ,
所以 ,
由 ,且三角形内角和为 ,
所以 ,
所以 ,即 ,
则 ,
综上: .
故选: D.
9. BCD
对于 ,由随机变量 服从两点分布, ,得试验成功的概率 ,
因此 , A 错误;
对于 ,由随机变量 满足 ,
得 服从超几何分布,因此 , B 正确;
对于 ,由随机变量 ,得 正确;
对于 ,由 ,
得 ,解得 ,
则 ,即 最大,此人最有可能 7 次击中目标, 正确.
故选: BCD
10. ABD
依题意,直线 两两垂直,以点 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ,
,令 ,
对于 ,
若 ，则 ，必有 ，
此时 与 不共线,矛盾, A 错误;
对于 ,
则 不成立,即 不垂直, B 错误;
对于 ,设平面 的法向量 ,而 ,
则 ,令 ,得 ,
点 到平面 距离, ,
当且仅当 ,即 与 重合时取等号, 正确;
对于 ,当 时, ,点 到平面 与平面 的距离都为
而 ,
则 , D 错误.
故选: ABD.
11. ACD
依题意, ,解得 , 不正确;
令 ,由余弦定理得:
当 时, ,即 ,因此 正确;
当 时, ,即 ,有 ,
而 ,则有 ,解得 不正确;
,于是得 ,
解得 ,而 ,因此 不正确.
故选: ACD
12.
由于点 在坐标平面 上,故可设 ,
由于 三点共线,
所以 ,
所以 ,
所以 ,解得 .
所以 .
故答案为:
13. -120
5 个因式,2 个因式中取 ,1 个因式中取 个因式中取 , 即可得出含 的项,
则 的系数为 ,
故 的系数为 -120 .
故答案为: -120 .
14.
乙盒取 2 球有三种情形:
取 2 红: 概率为 ,此时甲盒有 5 红 2 白,从甲盒取 2 同色球的概率为
取 2 白: 概率为 ,此时甲盒有 3 红 4 白,从甲盒取 2 同色球的概率为
取 1 红 1 白: 概率为 ,此时甲盒有 4 红 3 白,从甲盒取 2 同色球的概率为
所求概率为: .
故答案为:
15. (1) 或
(2)
(1) 圆的方程可化为 ,圆心 ,半径 .
过 点且斜率不存在的直线 与圆相切,
当切线斜率存在时,设切线方程为 ,即 ,
,解得 切线方程为 ,
所求切线方程为 或 .
(2)设 ，则 ，
即 ,
因为 是圆 上一动点,
所以 与 有公共点,
所以 ,解得 ,
的取值范围 .
16.(1)由 ,
所以 ,
因为 与 1 非常接近,故可用线性回归模型拟合 与 的关系.
(2)由题意可得: ，
所以 关于 的回归直线方程为 .
当 时, ,
由此预测当年份序号为第 7 天这株幼苗的高度为 .
17.(1)由于 ,故建立如图所示的空间直角坐标系,则
故 ,
故 ,因此
(2)由于 平面 ，故平面 的一个法向量为 ，
设平面 的一个法向量为 ,
故 ,令 ,则 ,
设二面角 的平面角为 ,由图可知 为钝角,
故
18.(1) 因为 ,所以愿意报名参加答题活动人数为 ,
又因为 ,所以愿意报名参加答题活动的男生人数为 ,愿意报名参加答题活动的女生人数为 ,则可得到 列联表为:
性别 男生 女生 合计
不愿报名参加答题活动 20 60 80
愿意报名参加答题活动 80 40 120
合计 100 100 200
零假设为 : 学生报名参加答题活动与性别无关,
则 ,
依据小概率值 的独立性检验,我们推断 不成立,
即认为学生报名参加答题活动与性别有关联, 此推断犯错误的概率不大于 0.001 ;
(2)(i)设随机变量 为甲答对题目的个数，则 .
则 ,
假设最有可能答对题目的数量是 10 次,则
即: ,
解得 ,又 ,则 ;
(ii) 的所有可能取值为:1,2,3,4,
,
所以 的分布列为:
1 2 3 4
2 9
故 .
19.(1) 由题知 ,
平方化简得
所以，椭圆的标准方程为 ；
(2)① (定值).
证明如下: 当 时,易得 两点关于原点对称,
设 ,则 ,
所以 ,
而 均在椭圆上,所以 ,
从而 ,证毕;
②由题意知，当 时，显然 ；
设 的中点为 ,
由 ,
由 ,得 (i),
,则 ,
所以 ,因为 ,则 ,从而 ,即 .
而 ,所以 ,化简得 ,
由 得 (ii),将 代入 (i)
则 ,得: (iii),由 (ii) (iii) 得 ,
综上,实数 的取值范围为 .
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