江西宜春市丰城市第九中学2025-2026学年高二下学期开学检测数学试题（日新班）(含解析)
文档属性
| 名称 | 江西宜春市丰城市第九中学2025-2026学年高二下学期开学检测数学试题（日新班）(含解析) |
|
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 228.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-12 00:00:00 | ||
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文档简介
丰城九中 2025-2026 学年下学期高二日新开学检测数学作业
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知集合 ，集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 已知随机变量 ,且 ,则 ( )
A. 0.8 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.3
3. 3 个男同学和 3 个女同学排成一列, 进行远足拉练. 要求排头和排尾必须是男同学, 则不同的排法有( )种.
A. 36 B. 108 C. 120 D. 144
4. 设 ,则 “ ” 是 “ ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知随机变量 ,且 ,则当 时, 的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 设 是数列 的前 项和,且 ,则 ( )
A. B. C. D.
7. 如图,一个底面半径为 的圆柱被与其底面所成角为 的平面所截,截面是一个椭圆,当 为 时,这个椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
8. 已知定义在 上的函数 在区间 上单调递增,且满足 , 函数 的对称中心为 ,则下述结论正确的是 ( ) (注: )
A.
B.
C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 对任意实数 ,有 . 则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
10. 若正数 满足 ,则()
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 9 D. 的最小值为
11. (多选)“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和,其定义如下: 在直角坐标平面上任意两点 的曼哈顿距离 ,则下列结论正确的是( )
A. 若点 ,则
B. 若点 ,则在 轴上存在点 ,使得
C. 若点 ,点 在直线 上,则 的最小值是 3
D. 若点 在 上,点 在直线 上,则 的值可能是 4
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城 2》、《狂野时代》、《得闲谨制》及 《开心岭》四部电影中任选一部, 则不同的选法有_____种.
13. 的展开式中， 的系数为_____
14. 已知函数 ,若对任意实数 ,都有 ,则 的取值范围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 已知集合 .
(1)用区间表示集合 ；
(2)已知 ，求实数 的取值范围.
16. 如图，在棱长为 2 的正方体 中， 为线段 的中点， 为线段 的中点.
(1)证明: 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求点 到平面 的距离.
17. 生活中运动对人体健康非常重要，为了了解不同年龄人群篮球运动的情况，随机调查了 400 人，得到如下数据:
年龄 篮球运动情况 合计
经常运动 不经常运动
40 及以上 130 70 200
40 以下 100 100 200
合计 230 170 400
(1)依据小概率值 的独立性检验，能否认为篮球运动的情况与年龄有关？
(2)某同学进行投篮训练，假设他第一次投中的概率是 ，后续如果前一次投中，则本次投中的概率为 ; 如果前一次没有投中,则本次投中的概率为 . 记该同学第 次投中的概率为 ,问:
① 求 .
② 求证: 为等比数列,并求出 的通项公式.
附: .
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18. 已知函数 .
(1)若直线 与函数 ， 的图象均相切，求直线 的方程；
(2) 记 .
(i) 求 的单调区间;
(ii) 若 ,其中 ,求证: .
19. 已知一动圆 与直线 相切且过定点 .
(1)求圆心 的轨迹方程；
(2) 、 是 的轨迹上异于原点 的两点；
(i) 若 ，求 面积最小值；
(ii) 直线 的倾斜角分别为 与 ,当 时,试问: 直线 是否过定点 若是, 求出定点坐标; 若不是, 说明理由.
1. B
由题意知, ,
因为解分式不等式 可得 ,
所以 ,即 .
故选: B
2. B
因为随机变量 ,且 ,
则 .
故选: B.
3. D
总共有 3 个男同学,排头必须是男同学,所以排头的选择有 种,
所以排尾只能从剩余 2 个男同学选取,有 种,
最后剩余 4 人安排在中间 4 个位置,有 种,所以一共有 种. 故选: D.
4. D
由 ,得 ,解得 .
因为 推不出 ,且 推不出 ,
所以 “ ” 是 “ ” 的既不充分也不必要条件.
故选: D.
5. C
由随机变量 ,且 ,得 ,
由 ,得
,
当且仅当 ,即 时取等号,所以所求最小值为 3 .
故选: C.
6. C
,即 ,而
是以 2 为首项,公差为 2 的等差数列,
,则 .
故选: C
7. B
设椭圆的长半轴为 ,短半轴为 ,半焦距为 ,
根据题意可知,
,
所以椭圆的离心率 .
故选: B
8. D
,故
所以 ,
函数 的对称中心为 ,注在平移 3 单位得到函数 ,
故函数 的对称中心为 ,则 ,
因为 ,
取 可得 ,
又 ,所以 ,所以 ,
因为函数 的对称中心为 ,
故 ,所以 ,所以 为偶函数;
对于 在区间 上单调递增,故 ,且 ,
所以 ,故 A 错误:
对于 在区间 上单调递增,对称中心为 ,
所以 在区间 上单调递增,
所以 ,故 B 错误;
对于 ,因为 ,
故 ,
且 ，所以 ，
所以 ,
因为 在区间 上单调递增,故 ,故 错误;
对于 ,结合 在区间 上单调递增,
故 ,故 正确.
故选: D
9. ACD
对任意实数 有
,
所以 ,故 A 正确;
令 ,可得 ,故 不正确;
令 ,可得 ,故 正确;
令 ,可得 ,故 正确.
故选: ACD.
10. AB
由基本不等式 ,当且仅当 ,即 时, 等号成立;
即 的最大值为 ,故选项 A 正确;
由于 ,
当且仅当 时,等号成立,故 选项正确;
由于 ,
当且仅当 ,即 时,等号成立,故选项 错误;
由 ,将其代入 得 ,
当且仅当 时等号成立,故选项 D 错误.
故选: AB.
11. ACD
对于 ,由曼哈顿距离的定义知 , A 正确;
对于 ,设 ,则 , B 错误;
对于 ,作 轴,交直线 于 ,过 作 ,垂足为 ,如图①所示:
图①
由曼哈顿距离的定义可知 ,而点 ,
当 不与 重合时,由直线 的斜率为 ,得 ,
则 ; 当 与 重合时, ,
于是 ,因此 , C 正确.
对于 ,如图②所示,取 ,则 , 正确.
故选: ACD
图②
12. 64
由题意每个人都有 4 种选法,故不同的选法有 种.
故答案为: 64 .
13. -120
5 个因式,2 个因式中取 个因式中取 个因式中取 ,
即可得出含 的项,
则 的系数为 ,
故 的系数为 -120 .
故答案为: -120 .
14.
化简 ,
由 ,故 ,从而 ,
当 时, 的值域为 ,
此时 ,满足 ,符合条件;
当 时, ,故 的值域为 ,
的最小值趋近于 的最大值趋近于 ,
要满足 对任意 成立,需满足 ,即 .
当 时, ,
故 的值域为 ,
的最小值趋近于 的最大值趋近于 1,
要满足 对任意 成立,需满足 ,即 .
综上: .
故答案为: .
15.
(2)
(1) 由 ,得 ,则 ,
所以 ,解得 ,即集合 ,
(2)因为 ，所以 ，
当 时,判别式 ,解得 ;
当 时,可得 ,
由题意 ,
当 时, ,解得 ,即集合 ,
由 ,得 ,解得 ;
当 时, ,解得 ,即集合 ,
由 ,得 ,此时无解;
综上,实数 的取值范围为
16.
(1)以 为原点， ， ， 分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系,
则 .
解法一:
因为 ,则 ,所以 ,
又因为 四点不共线,所以 ,
又因为 平面 平面 ,
所以 平面 .
解法二:
因为 ，
设平面 的一个法向量为 ,
则有 ,即 ,取 ,所以 ,
因为 ,所以 ,得 ,
又因为 平面 ，
所以 平面 .
(2)设直线 与平面 所成角为 ，
所以 ,
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
(3)设点 到平面 的距离为 ，因为 ，
所以 ,
所以点 到平面 的距离为 .
17.
(1)零假设 为: 篮球运动情况与年龄无关,
由列联表数据可得 ,
因为 ,
所以根据小概率值 的独立性检验,认为 不成立,
即认为篮球运动与年龄有关, 此推断犯错误的概率不超过 0.01 .
(2)① ;
②第一次投中的概率 ，
如果前一次投中,则投中的概率为 ; 如果前一次没有投中,则投中的概率为 .
所以第 次投中的概率 .
化简得到 ,所以 ,
计算首项 ,所以 为首项是 ,公比为 的等比数列. 所以 的通项公式是 .
18. (1) 定义域为 ,
设函数 图象上的切点为 ,
切线方程为 ,
设函数 图象上的切点为 ,
切线方程为 ,
比较对应项系数,有 ,消元得 .
令 ,则 ,故 为单调减函数,
当且仅当 时, ,
所以 ,直线 的方程为 .
(2)(i) ，其定义域为 .
记 ,则 .
令 ,得 ; 令 ,得 ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
故 ,即 在 上单调递减.
所以 的单调减区间为 ,无增区间.
(ii) 由 (i) 及 知,当 时, ,当 时, ,
因为 ,且 ,所以 ,
要证 ,只需证 ,即 ,
也就是 ,
令 ,
则 ,
记 ,
则 ,所以 在 上单调递增,
,故 在 上单调递减,
,得 ,
从而 ,即 .
19. (1) ;
(2)(i) ；(ii)是，定点为 .
(1) 设 ,由题意有 ,则 ;
(2)(i)设 ，联立抛物线有 ， 则 ,且 ,则 ,
由 ,可得 ,即 ,
所以直线 恒过点 ,则
,当且仅当 时取等号,
所以 面积最小值为 ；
(ii)法一: 由题设 且 ,联立 ,可得 , 同理 ,
所以 ,则
由 ,
所以 ,
当 时， ,
所以直线 过定点 .
法二: 由题, 斜率必存在,设直线 的方程为: ,
联立 ,消 有: ,
,
,
代入韦达定理式得 ,
直线 的方程为: ,
过定点 .
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知集合 ，集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 已知随机变量 ,且 ,则 ( )
A. 0.8 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.3
3. 3 个男同学和 3 个女同学排成一列, 进行远足拉练. 要求排头和排尾必须是男同学, 则不同的排法有( )种.
A. 36 B. 108 C. 120 D. 144
4. 设 ,则 “ ” 是 “ ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知随机变量 ,且 ,则当 时, 的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 设 是数列 的前 项和,且 ,则 ( )
A. B. C. D.
7. 如图,一个底面半径为 的圆柱被与其底面所成角为 的平面所截,截面是一个椭圆,当 为 时,这个椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
8. 已知定义在 上的函数 在区间 上单调递增,且满足 , 函数 的对称中心为 ,则下述结论正确的是 ( ) (注: )
A.
B.
C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 对任意实数 ,有 . 则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
10. 若正数 满足 ,则()
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 9 D. 的最小值为
11. (多选)“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和,其定义如下: 在直角坐标平面上任意两点 的曼哈顿距离 ,则下列结论正确的是( )
A. 若点 ,则
B. 若点 ,则在 轴上存在点 ,使得
C. 若点 ,点 在直线 上,则 的最小值是 3
D. 若点 在 上,点 在直线 上,则 的值可能是 4
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城 2》、《狂野时代》、《得闲谨制》及 《开心岭》四部电影中任选一部, 则不同的选法有_____种.
13. 的展开式中， 的系数为_____
14. 已知函数 ,若对任意实数 ,都有 ,则 的取值范围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 已知集合 .
(1)用区间表示集合 ；
(2)已知 ，求实数 的取值范围.
16. 如图，在棱长为 2 的正方体 中， 为线段 的中点， 为线段 的中点.
(1)证明: 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求点 到平面 的距离.
17. 生活中运动对人体健康非常重要，为了了解不同年龄人群篮球运动的情况，随机调查了 400 人，得到如下数据:
年龄 篮球运动情况 合计
经常运动 不经常运动
40 及以上 130 70 200
40 以下 100 100 200
合计 230 170 400
(1)依据小概率值 的独立性检验，能否认为篮球运动的情况与年龄有关？
(2)某同学进行投篮训练，假设他第一次投中的概率是 ，后续如果前一次投中，则本次投中的概率为 ; 如果前一次没有投中,则本次投中的概率为 . 记该同学第 次投中的概率为 ,问:
① 求 .
② 求证: 为等比数列,并求出 的通项公式.
附: .
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18. 已知函数 .
(1)若直线 与函数 ， 的图象均相切，求直线 的方程；
(2) 记 .
(i) 求 的单调区间;
(ii) 若 ,其中 ,求证: .
19. 已知一动圆 与直线 相切且过定点 .
(1)求圆心 的轨迹方程；
(2) 、 是 的轨迹上异于原点 的两点；
(i) 若 ，求 面积最小值；
(ii) 直线 的倾斜角分别为 与 ,当 时,试问: 直线 是否过定点 若是, 求出定点坐标; 若不是, 说明理由.
1. B
由题意知, ,
因为解分式不等式 可得 ,
所以 ,即 .
故选: B
2. B
因为随机变量 ,且 ,
则 .
故选: B.
3. D
总共有 3 个男同学,排头必须是男同学,所以排头的选择有 种,
所以排尾只能从剩余 2 个男同学选取,有 种,
最后剩余 4 人安排在中间 4 个位置,有 种,所以一共有 种. 故选: D.
4. D
由 ,得 ,解得 .
因为 推不出 ,且 推不出 ,
所以 “ ” 是 “ ” 的既不充分也不必要条件.
故选: D.
5. C
由随机变量 ,且 ,得 ,
由 ,得
,
当且仅当 ,即 时取等号,所以所求最小值为 3 .
故选: C.
6. C
,即 ,而
是以 2 为首项,公差为 2 的等差数列,
,则 .
故选: C
7. B
设椭圆的长半轴为 ,短半轴为 ,半焦距为 ,
根据题意可知,
,
所以椭圆的离心率 .
故选: B
8. D
,故
所以 ,
函数 的对称中心为 ,注在平移 3 单位得到函数 ,
故函数 的对称中心为 ,则 ,
因为 ,
取 可得 ,
又 ,所以 ,所以 ,
因为函数 的对称中心为 ,
故 ,所以 ,所以 为偶函数;
对于 在区间 上单调递增,故 ,且 ,
所以 ,故 A 错误:
对于 在区间 上单调递增,对称中心为 ,
所以 在区间 上单调递增,
所以 ,故 B 错误;
对于 ,因为 ,
故 ,
且 ，所以 ，
所以 ,
因为 在区间 上单调递增,故 ,故 错误;
对于 ,结合 在区间 上单调递增,
故 ,故 正确.
故选: D
9. ACD
对任意实数 有
,
所以 ,故 A 正确;
令 ,可得 ,故 不正确;
令 ,可得 ,故 正确;
令 ,可得 ,故 正确.
故选: ACD.
10. AB
由基本不等式 ,当且仅当 ,即 时, 等号成立;
即 的最大值为 ,故选项 A 正确;
由于 ,
当且仅当 时,等号成立,故 选项正确;
由于 ,
当且仅当 ,即 时,等号成立,故选项 错误;
由 ,将其代入 得 ,
当且仅当 时等号成立,故选项 D 错误.
故选: AB.
11. ACD
对于 ,由曼哈顿距离的定义知 , A 正确;
对于 ,设 ,则 , B 错误;
对于 ,作 轴,交直线 于 ,过 作 ,垂足为 ,如图①所示:
图①
由曼哈顿距离的定义可知 ,而点 ,
当 不与 重合时,由直线 的斜率为 ,得 ,
则 ; 当 与 重合时, ,
于是 ,因此 , C 正确.
对于 ,如图②所示,取 ,则 , 正确.
故选: ACD
图②
12. 64
由题意每个人都有 4 种选法,故不同的选法有 种.
故答案为: 64 .
13. -120
5 个因式,2 个因式中取 个因式中取 个因式中取 ,
即可得出含 的项,
则 的系数为 ,
故 的系数为 -120 .
故答案为: -120 .
14.
化简 ,
由 ,故 ,从而 ,
当 时, 的值域为 ,
此时 ,满足 ,符合条件;
当 时, ,故 的值域为 ,
的最小值趋近于 的最大值趋近于 ,
要满足 对任意 成立,需满足 ,即 .
当 时, ,
故 的值域为 ,
的最小值趋近于 的最大值趋近于 1,
要满足 对任意 成立,需满足 ,即 .
综上: .
故答案为: .
15.
(2)
(1) 由 ,得 ,则 ,
所以 ,解得 ,即集合 ,
(2)因为 ，所以 ，
当 时,判别式 ,解得 ;
当 时,可得 ,
由题意 ,
当 时, ,解得 ,即集合 ,
由 ,得 ,解得 ;
当 时, ,解得 ,即集合 ,
由 ,得 ,此时无解;
综上,实数 的取值范围为
16.
(1)以 为原点， ， ， 分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系,
则 .
解法一:
因为 ,则 ,所以 ,
又因为 四点不共线,所以 ,
又因为 平面 平面 ,
所以 平面 .
解法二:
因为 ，
设平面 的一个法向量为 ,
则有 ,即 ,取 ,所以 ,
因为 ,所以 ,得 ,
又因为 平面 ，
所以 平面 .
(2)设直线 与平面 所成角为 ，
所以 ,
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
(3)设点 到平面 的距离为 ，因为 ，
所以 ,
所以点 到平面 的距离为 .
17.
(1)零假设 为: 篮球运动情况与年龄无关,
由列联表数据可得 ,
因为 ,
所以根据小概率值 的独立性检验,认为 不成立,
即认为篮球运动与年龄有关, 此推断犯错误的概率不超过 0.01 .
(2)① ;
②第一次投中的概率 ，
如果前一次投中,则投中的概率为 ; 如果前一次没有投中,则投中的概率为 .
所以第 次投中的概率 .
化简得到 ,所以 ,
计算首项 ,所以 为首项是 ,公比为 的等比数列. 所以 的通项公式是 .
18. (1) 定义域为 ,
设函数 图象上的切点为 ,
切线方程为 ,
设函数 图象上的切点为 ,
切线方程为 ,
比较对应项系数,有 ,消元得 .
令 ,则 ,故 为单调减函数,
当且仅当 时, ,
所以 ,直线 的方程为 .
(2)(i) ，其定义域为 .
记 ,则 .
令 ,得 ; 令 ,得 ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
故 ,即 在 上单调递减.
所以 的单调减区间为 ,无增区间.
(ii) 由 (i) 及 知,当 时, ,当 时, ,
因为 ,且 ,所以 ,
要证 ,只需证 ,即 ,
也就是 ,
令 ,
则 ,
记 ,
则 ,所以 在 上单调递增,
,故 在 上单调递减,
,得 ,
从而 ,即 .
19. (1) ;
(2)(i) ；(ii)是，定点为 .
(1) 设 ,由题意有 ,则 ;
(2)(i)设 ，联立抛物线有 ， 则 ,且 ,则 ,
由 ,可得 ,即 ,
所以直线 恒过点 ,则
,当且仅当 时取等号,
所以 面积最小值为 ；
(ii)法一: 由题设 且 ,联立 ,可得 , 同理 ,
所以 ,则
由 ,
所以 ,
当 时， ,
所以直线 过定点 .
法二: 由题, 斜率必存在,设直线 的方程为: ,
联立 ,消 有: ,
,
,
代入韦达定理式得 ,
直线 的方程为: ,
过定点 .
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