江西九江市武宁尚美中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题(含解析)
文档属性
| 名称 | 江西九江市武宁尚美中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题(含解析) |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 314.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-12 00:00:00 | ||
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文档简介
江西省武宁县尚美中学 2025-2026 学年度下学期开学考 高二数学试卷
(考试时间 120 分钟, 试卷满分 150 分)
一、单选题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项是符合题目要求的.
1. 集合 直线的斜截式方程 一次函数的解析式 ，则集合 间的关系为( )
A. B. C. D.
2. 抛物线 的焦点坐标是( )
A.
B. C. D.
3. 若随机变量 的分布列如表所示, ,则
0 1 2 3
0.1 0.1
A. 0.2 B. -0.2 C. 0.8 D. -0.8
4. 如图，在平行六面体 中， ， ,则 的长为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 2023 年杭州亚运会是疫情之后我国举办的一项重大赛事，它不仅向世界展示了我国强大的综合实力，更体现了我国青年的奉献精神和志愿力量. 运动会期间甲、乙、丙、丁、戊 5 名志愿者站成一排拍照留念，其中甲和乙相邻，甲和丙不相邻，则不同的排列方式共有 ( ) 种.
A. 24 B. 32 C. 36 D. 40
6. 某城市对市民上班的出行方式进行了调查, 结果显示有 60% 的市民乘坐公共交通工具, 有 30% 的市民开私家车，有 10% 的市民选择步行. 在乘坐公共交通工具出行的市民中有 20% 的人迟到，在开私家车出行的市民中有 30% 的人迟到，在步行出行的市民中有 10% 的人迟到. 以频率估计概率, 从该市随机选择一名市民, 若他迟到了, 则这名市民是乘坐公共交通工具出行的概率为 ( )
A. B. C. D.
7. 如图，在长方体 中， ， ， ， 是棱 上的一条线段,且 是 的中点, 是棱 的动点,则下列选项中不正确的是 ( )
A. 四面体 的体积为定值
B. 直线 到平面 的距离为定值
C. 点 到直线 的距离为定值
D. 直线 与平面 所成的角为定值
8. 过点 作直线 的垂线,垂足为 ,已知点 ，则当 变化时， 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 零分.
9. 下列命题中, 正确的有( )
A. 若向量 与空间任意向量都不能构成基底，则 ；
B. 若非零向量 满足 ,则有 ;
C. 在四面体 中,若 ,则 ;
D. 若向量 是空间一组基底,则 也是空间的一组基底.
10. 已知 的展开式的二项式系数和为 128,则下列说法正确的是( )
A.
B. 展开式中各项系数的和为 1
C. 展开式中第 4 项和第 5 项的二项式系数最大
D. 展开式中含 项的系数为 84
11. 若动直线 与圆 相交于 两点，则()
A. 直线 过定点
B. 的最小值为
C. 的最小值为 -7
D. 存在点 ,使 为定值
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分，
12. 老张每天 17:00 下班回家,通常步行 5 分钟后乘坐公交车再步行到家,公交车有 两条线路可以选择. 乘坐线路 所需时间 (单位: 分钟) 服从正态分布 ,下车后步行到家要 5 分钟; 乘坐线路 所需时间 (单位: 分钟) 服从正态分布 ,下车后步行到家要 12 分钟. 下列说法从统计角度认为不合理的是_____.
参考数据: 若 ,则 ,
① 若乘坐线路 ， 前一定能到家；
②乘坐线路 比乘坐线路 在 前到家的可能性更大；
③乘坐线路 比乘坐线路 在 前到家的可能性更大;
④若乘坐线路 ,则在 前到家的可能性不超过 .
13. 如图,过椭圆 上顶点和右顶点分别作圆 的两条切线,两切线的斜率之积为 ,则椭圆的离心率的取值范围是_____.
14. 数列 共 12 项,且 ,关于 的函数 , ,若 是函数的极值点,且曲线的 在点 处的切线的斜率为 3,则满足条件的数列 的个数为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步 骤.
15. 已知圆 的一条直径的两个端点为 和 .
(1)求圆 的标准方程；
(2)过点 的直线 与圆 交于 两点，求 的最小值，并求出当 最小时直线 的方程.
16. 设直线 与椭圆 相交于 两点.
(1)求弦长 ；
(2)已知椭圆具有性质:设 、 为椭圆 上任意两点， 是线段 的中点，若直线 的斜率都存在,并记为 ,则 为定值. 试对双曲线 写出具有类似特征的性质, 并加以证明.
17. 某中学参加成都市数学竞赛初赛结束后, 为了解竞赛成绩情况, 从所有学生中随机抽取 100 名学生, 得到他们的成绩, 将数据整理后分成五组: , ,并绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)补全频率分布直方图，若只有 20% 的人能进决赛，入围分数应设为多少分(保留两位小数);
(2)采用分层随机抽样的方法从成绩为 80~100 的学生中抽取容量为 6 的样本，再从该样本中随机抽取 3 名学生进行问卷调查, 求至少有 1 名学生成绩不低于 90 的概率;
(3)进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动. 考试分为两轮, 第一轮为笔试, 需要考 2 门学科,每科笔试成绩从高到低依次有 五个等级. 若两科笔试成绩均为 ,则直接参加; 若一科笔试成绩为 ,另一科笔试成绩不低于 ,则要参加第二轮面试, 面试通过也将参加, 否则均不能参加. 现有甲、乙、丙三人报名参加, 三人互不影响. 甲在每科笔试中取得 的概率分别为 ,
; 乙在每科笔试中取得 的概率分别为 ; 丙在每科笔试中取得 的概率分别为 ; 甲、乙、丙在面试中通过的概率分别为 . 求甲、乙、丙能同时参加冬令营的概率.
18. 如图,在四棱锥 中,底面 是矩形, 平面 , 为 中点,且 .
(1)求证: 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离；
(3)求直线 与平面 所成角的余弦值.
19. 已知椭圆 经过点 ,且离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 是椭圆上的点，直线 与 为坐标原点 的斜率之积为 . 若动点 满足 ,求点 的轨迹方程.
1. B
解: 直线的斜截式方程表示斜率存在的直线方程,
一次函数的解析式不包含斜率为零的斜截式方程,
所以集合 间的关系为 ,
故选: B.
2. D
因为抛物线 ,所以抛物线的焦点在 正半轴,且开口向上.
所以 ,故焦点坐标为 .
故选: D
3.
4. B
由题意得 ,
因为 ,
所以 ， ，
因为 ,
所以
,
所以 ,即 的长为 2,
故选: B
5. C
甲和乙相邻,则甲乙有 种排法,则甲、乙、丁、戊共有 种排法,
此时甲、乙、丁、戊间共有五个位置可排,
但甲和丙不相邻,故只能在三个位置中选一个,故共有 种排法.
故选: C.
6. C
由题知市民乘坐公共交通工具出行迟到的概率为 ,
市民开私家车出行迟到的概率为 ,
市民骑行或步行出行迟到的概率为 ,
则这名市民迟到的概率为 ,
故所求的概率为 .
故选: C.
7. D
因为 ，所以平面 即为平面 ，
因此 到平面 的距离 (设为 ) 等于 到平面 的距离,即 为定值;
因为 ，所以 到直线 的距离等于直线 到直线 的距离为定值，故 C 正确.
而 ，所以 面积为定值，
因此四面体 的体积等于 ,为定值，即 正确；
因为 ，所以直线 与平面 (即平面 )平行，
从而直线 到平面 的距离等于定直线 与定平面 之间距离,为定值，故 B 正确;
当 与 重合时,过 作 交 延长线于 ,
则由长方体性质得 平面 ,即得 ,
因为 平面 ,从而 平面 ,
因此 为直线 与平面 所成的角, ,
当 与 重合时,因为 平面 ,所以 到平面 的距离相等,
过 作 ,则 为点 到到平面 的距离.
连 ,则 为直线 与平面 所成的角,
,故 D 错误.
故选: D.
8. B
解: 直线 ,即 ,
由 ,求得 ,直线经过定点 .
由 为直角三角形，斜边为 ， 在以 为直径的圆上运动，
可得圆心为 的中点 ,半径为 ,
则 与 的最大值为 ,
则 与 的最小值为 ,
故 的范围为: ,
故选 .
9. ACD
解: 对于 : 若向量 与空间任意向量都不能构成基底,只能两个向量为共线向量,即 ,故 正确;
对于 B: 若非零向量 满足 ,则 与 不一定共线,故 B 错误;
对于 : 因为 ,
所以 ,
,将上述两式相加得
,
所以 ,所以 ,故 正确;
对于 : 若向量 ,是空间一组基底,
则空间任意一个向量 ,存在唯一实数组 ,
使 ,
则 也是空间的一组基底. 故 D 正确.
故选: ACD.
10. ACD
对于 ,因为 的展开式的二项式系数和为 ,所以 ,则 ,故 A 正确;
对于 ,令 ,则 ,所以展开式中各项系数的和为 -1,故 错误;
对于 ,因为第 4 项的二项式系数为 ,第 5 项的二项式系数 ,
所以 ,又 ,
所以展开式中第 4 项和第 5 项的二项式系数最大, 故 C 正确;
对于 ,因为 的展开通项为 ,
令 ,得 ,则 ,
所以含 项的系数为 84 ，故 D 正确.
故选: ACD.
11. ABD
对于 ,由 ,可得 ,故直线 恒过定点 , 故 A 正确;
对于 ,圆 ,圆心为 ,半径为 3,
由圆的性质可得当 时， 最小，
此时 ,故 正确;
对于 ,取 的中点 ,则
,
又 ,则圆心 到直线 的距离 ,所以 ,
则 的最大值为 -7,故 错误;
对于 ,取点 ,过点 作圆 的直径 ,如图,因为
且 ,所以 ,
由相交弦定理知 ,又 ,则 , 所以 为定值,故 正确. 故选: ABD.
12. ①②
对于①,因为 ,
即乘坐线路 能到家的概率为 0.00135 ,
所以乘坐线路 前不一定能到家,所以①错误;
对于②，乘坐线路 在 前到家的概率为
乘坐线路 在 前到家的概率为
所以乘坐线路 和乘坐线路 在 前到家的可能性一样,所以②错误;
对于③，乘坐线路 在 前到家的概率为 ，
乘坐线路 在 前到家的概率为
所以乘坐线路 比乘坐线路 在 前到家的可能性更大,故③正确；
对于④,乘坐线路 ,则在 前到家的概率为
,所以④正确.
故答案为:①②
13.
设过椭圆 上顶点和右顶点作 的两条切线的斜率为 ,则两条切线方程分别为 ; 由于圆心 到两条直线的距离为 1,可知 ,又 ,化简可得 ,所以 ,得 ,由椭圆的性质可得 ,所以 ,所以 ,故答案为 .
14. 336
因为 ,则 , 由已知可得 ,则 .
由题意可得 ,可得 ,可得 或 4 .
① 当 时， ，
得 的值有 2 个 1,1 个-1,
,
得 的值有 5 个-1,3个 1,
此时,数列 的个数为 个;
② 当 时， ，
得 的值有 2 个1,1个-1,
得 的值有 5 个-1,3 个1,
此时,数列 的个数为 个.
综上所述，数列 的个数为 .
故答案为:336.
15.
(2) 最小值为 ， 的方程为
(1)解:由题意可知圆 的圆心为 ,半径为 .
所以圆 的方程为 .
(2)易知当 时 最小，此时 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ,即 ,
所以 .
16.
(2)设双曲线 上任意两点 . ， 是线段 的中点，若直线 、 的斜率都存在,并记为 ,则 为定值. 证明见解析
(1) 设 ,
联立 ,得 ,
所以 ,
所以 .
(2)设 、 为双曲线 上任意两点， 是线段 的中点，若直线 、 的斜率都存在,并记为 ,则 为定值.
证明: 设 ,
则 ,则 ,
因为 ,所以得 ,
即 . 为定值,定值为 .
17. (1)由频率分布直方图可知 的频率为
,
所以 组的纵轴为 ,
所以频率分布直方图如下所示:
又 ,
所以第 80% 分位数位于 ,且 ,
所以入围分数应设为 78.75 分;
(2)依题意 抽取 人， 抽取 人， 从 6 人中随机选 3 人一共有 中选法,其中 3 人都是 的有 4 中选法,
设事件 : “至少有 1 名学生成绩不低于 90 ”,则 ;
(3)依题意甲能参加冬令营的概率 ,
乙能参加冬令营的概率 ,
丙能参加冬令营的概率 ,
所以甲、乙、丙能同时参加冬令营的概率 .
18.(1) 连接 ,交 于点 ,连接 ,
为 中点， 为 中点， ，
又: 平面 平面 平面 ;
(2)由底面 是矩形且 平面 ,
故可以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，
建立如图所示空间直角坐标系,
则 ,
则 ,
设平面 的法向量为 ,
则 ,令 ,得 ,
则点 到平面 的距离 ;
(3)由 轴 平面 ，故平面 的法向量可为 ，
设直线 与平面 所成角为 ,则 ,
,
,即直线 与平面 所成角的余弦值为 .
19. .
(1)因为 ,所以 ,
又椭圆 经过点 ，所以 ，
解得 ,
所以椭圆 的方程为 .
(2)设 ， ， ，则由 得 ， ， 因为点 在椭圆 ,即 上,
所以 ,
故
设 ， 分别为直线 与 的斜率，由题意知，
，因此 ，
所以 ,
故点 的轨迹方程为 .
(考试时间 120 分钟, 试卷满分 150 分)
一、单选题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项是符合题目要求的.
1. 集合 直线的斜截式方程 一次函数的解析式 ，则集合 间的关系为( )
A. B. C. D.
2. 抛物线 的焦点坐标是( )
A.
B. C. D.
3. 若随机变量 的分布列如表所示, ,则
0 1 2 3
0.1 0.1
A. 0.2 B. -0.2 C. 0.8 D. -0.8
4. 如图，在平行六面体 中， ， ,则 的长为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 2023 年杭州亚运会是疫情之后我国举办的一项重大赛事，它不仅向世界展示了我国强大的综合实力，更体现了我国青年的奉献精神和志愿力量. 运动会期间甲、乙、丙、丁、戊 5 名志愿者站成一排拍照留念，其中甲和乙相邻，甲和丙不相邻，则不同的排列方式共有 ( ) 种.
A. 24 B. 32 C. 36 D. 40
6. 某城市对市民上班的出行方式进行了调查, 结果显示有 60% 的市民乘坐公共交通工具, 有 30% 的市民开私家车，有 10% 的市民选择步行. 在乘坐公共交通工具出行的市民中有 20% 的人迟到，在开私家车出行的市民中有 30% 的人迟到，在步行出行的市民中有 10% 的人迟到. 以频率估计概率, 从该市随机选择一名市民, 若他迟到了, 则这名市民是乘坐公共交通工具出行的概率为 ( )
A. B. C. D.
7. 如图，在长方体 中， ， ， ， 是棱 上的一条线段,且 是 的中点, 是棱 的动点,则下列选项中不正确的是 ( )
A. 四面体 的体积为定值
B. 直线 到平面 的距离为定值
C. 点 到直线 的距离为定值
D. 直线 与平面 所成的角为定值
8. 过点 作直线 的垂线,垂足为 ,已知点 ，则当 变化时， 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 零分.
9. 下列命题中, 正确的有( )
A. 若向量 与空间任意向量都不能构成基底，则 ；
B. 若非零向量 满足 ,则有 ;
C. 在四面体 中,若 ,则 ;
D. 若向量 是空间一组基底,则 也是空间的一组基底.
10. 已知 的展开式的二项式系数和为 128,则下列说法正确的是( )
A.
B. 展开式中各项系数的和为 1
C. 展开式中第 4 项和第 5 项的二项式系数最大
D. 展开式中含 项的系数为 84
11. 若动直线 与圆 相交于 两点，则()
A. 直线 过定点
B. 的最小值为
C. 的最小值为 -7
D. 存在点 ,使 为定值
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分，
12. 老张每天 17:00 下班回家,通常步行 5 分钟后乘坐公交车再步行到家,公交车有 两条线路可以选择. 乘坐线路 所需时间 (单位: 分钟) 服从正态分布 ,下车后步行到家要 5 分钟; 乘坐线路 所需时间 (单位: 分钟) 服从正态分布 ,下车后步行到家要 12 分钟. 下列说法从统计角度认为不合理的是_____.
参考数据: 若 ,则 ,
① 若乘坐线路 ， 前一定能到家；
②乘坐线路 比乘坐线路 在 前到家的可能性更大；
③乘坐线路 比乘坐线路 在 前到家的可能性更大;
④若乘坐线路 ,则在 前到家的可能性不超过 .
13. 如图,过椭圆 上顶点和右顶点分别作圆 的两条切线,两切线的斜率之积为 ,则椭圆的离心率的取值范围是_____.
14. 数列 共 12 项,且 ,关于 的函数 , ,若 是函数的极值点,且曲线的 在点 处的切线的斜率为 3,则满足条件的数列 的个数为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步 骤.
15. 已知圆 的一条直径的两个端点为 和 .
(1)求圆 的标准方程；
(2)过点 的直线 与圆 交于 两点，求 的最小值，并求出当 最小时直线 的方程.
16. 设直线 与椭圆 相交于 两点.
(1)求弦长 ；
(2)已知椭圆具有性质:设 、 为椭圆 上任意两点， 是线段 的中点，若直线 的斜率都存在,并记为 ,则 为定值. 试对双曲线 写出具有类似特征的性质, 并加以证明.
17. 某中学参加成都市数学竞赛初赛结束后, 为了解竞赛成绩情况, 从所有学生中随机抽取 100 名学生, 得到他们的成绩, 将数据整理后分成五组: , ,并绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)补全频率分布直方图，若只有 20% 的人能进决赛，入围分数应设为多少分(保留两位小数);
(2)采用分层随机抽样的方法从成绩为 80~100 的学生中抽取容量为 6 的样本，再从该样本中随机抽取 3 名学生进行问卷调查, 求至少有 1 名学生成绩不低于 90 的概率;
(3)进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动. 考试分为两轮, 第一轮为笔试, 需要考 2 门学科,每科笔试成绩从高到低依次有 五个等级. 若两科笔试成绩均为 ,则直接参加; 若一科笔试成绩为 ,另一科笔试成绩不低于 ,则要参加第二轮面试, 面试通过也将参加, 否则均不能参加. 现有甲、乙、丙三人报名参加, 三人互不影响. 甲在每科笔试中取得 的概率分别为 ,
; 乙在每科笔试中取得 的概率分别为 ; 丙在每科笔试中取得 的概率分别为 ; 甲、乙、丙在面试中通过的概率分别为 . 求甲、乙、丙能同时参加冬令营的概率.
18. 如图,在四棱锥 中,底面 是矩形, 平面 , 为 中点,且 .
(1)求证: 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离；
(3)求直线 与平面 所成角的余弦值.
19. 已知椭圆 经过点 ,且离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 是椭圆上的点，直线 与 为坐标原点 的斜率之积为 . 若动点 满足 ,求点 的轨迹方程.
1. B
解: 直线的斜截式方程表示斜率存在的直线方程,
一次函数的解析式不包含斜率为零的斜截式方程,
所以集合 间的关系为 ,
故选: B.
2. D
因为抛物线 ,所以抛物线的焦点在 正半轴,且开口向上.
所以 ,故焦点坐标为 .
故选: D
3.
4. B
由题意得 ,
因为 ,
所以 ， ，
因为 ,
所以
,
所以 ,即 的长为 2,
故选: B
5. C
甲和乙相邻,则甲乙有 种排法,则甲、乙、丁、戊共有 种排法,
此时甲、乙、丁、戊间共有五个位置可排,
但甲和丙不相邻,故只能在三个位置中选一个,故共有 种排法.
故选: C.
6. C
由题知市民乘坐公共交通工具出行迟到的概率为 ,
市民开私家车出行迟到的概率为 ,
市民骑行或步行出行迟到的概率为 ,
则这名市民迟到的概率为 ,
故所求的概率为 .
故选: C.
7. D
因为 ，所以平面 即为平面 ，
因此 到平面 的距离 (设为 ) 等于 到平面 的距离,即 为定值;
因为 ，所以 到直线 的距离等于直线 到直线 的距离为定值，故 C 正确.
而 ，所以 面积为定值，
因此四面体 的体积等于 ,为定值，即 正确；
因为 ，所以直线 与平面 (即平面 )平行，
从而直线 到平面 的距离等于定直线 与定平面 之间距离,为定值，故 B 正确;
当 与 重合时,过 作 交 延长线于 ,
则由长方体性质得 平面 ,即得 ,
因为 平面 ,从而 平面 ,
因此 为直线 与平面 所成的角, ,
当 与 重合时,因为 平面 ,所以 到平面 的距离相等,
过 作 ,则 为点 到到平面 的距离.
连 ,则 为直线 与平面 所成的角,
,故 D 错误.
故选: D.
8. B
解: 直线 ,即 ,
由 ,求得 ,直线经过定点 .
由 为直角三角形，斜边为 ， 在以 为直径的圆上运动，
可得圆心为 的中点 ,半径为 ,
则 与 的最大值为 ,
则 与 的最小值为 ,
故 的范围为: ,
故选 .
9. ACD
解: 对于 : 若向量 与空间任意向量都不能构成基底,只能两个向量为共线向量,即 ,故 正确;
对于 B: 若非零向量 满足 ,则 与 不一定共线,故 B 错误;
对于 : 因为 ,
所以 ,
,将上述两式相加得
,
所以 ,所以 ,故 正确;
对于 : 若向量 ,是空间一组基底,
则空间任意一个向量 ,存在唯一实数组 ,
使 ,
则 也是空间的一组基底. 故 D 正确.
故选: ACD.
10. ACD
对于 ,因为 的展开式的二项式系数和为 ,所以 ,则 ,故 A 正确;
对于 ,令 ,则 ,所以展开式中各项系数的和为 -1,故 错误;
对于 ,因为第 4 项的二项式系数为 ,第 5 项的二项式系数 ,
所以 ,又 ,
所以展开式中第 4 项和第 5 项的二项式系数最大, 故 C 正确;
对于 ,因为 的展开通项为 ,
令 ,得 ,则 ,
所以含 项的系数为 84 ，故 D 正确.
故选: ACD.
11. ABD
对于 ,由 ,可得 ,故直线 恒过定点 , 故 A 正确;
对于 ,圆 ,圆心为 ,半径为 3,
由圆的性质可得当 时， 最小，
此时 ,故 正确;
对于 ,取 的中点 ,则
,
又 ,则圆心 到直线 的距离 ,所以 ,
则 的最大值为 -7,故 错误;
对于 ,取点 ,过点 作圆 的直径 ,如图,因为
且 ,所以 ,
由相交弦定理知 ,又 ,则 , 所以 为定值,故 正确. 故选: ABD.
12. ①②
对于①,因为 ,
即乘坐线路 能到家的概率为 0.00135 ,
所以乘坐线路 前不一定能到家,所以①错误;
对于②，乘坐线路 在 前到家的概率为
乘坐线路 在 前到家的概率为
所以乘坐线路 和乘坐线路 在 前到家的可能性一样,所以②错误;
对于③，乘坐线路 在 前到家的概率为 ，
乘坐线路 在 前到家的概率为
所以乘坐线路 比乘坐线路 在 前到家的可能性更大,故③正确；
对于④,乘坐线路 ,则在 前到家的概率为
,所以④正确.
故答案为:①②
13.
设过椭圆 上顶点和右顶点作 的两条切线的斜率为 ,则两条切线方程分别为 ; 由于圆心 到两条直线的距离为 1,可知 ,又 ,化简可得 ,所以 ,得 ,由椭圆的性质可得 ,所以 ,所以 ,故答案为 .
14. 336
因为 ,则 , 由已知可得 ,则 .
由题意可得 ,可得 ,可得 或 4 .
① 当 时， ，
得 的值有 2 个 1,1 个-1,
,
得 的值有 5 个-1,3个 1,
此时,数列 的个数为 个;
② 当 时， ，
得 的值有 2 个1,1个-1,
得 的值有 5 个-1,3 个1,
此时,数列 的个数为 个.
综上所述，数列 的个数为 .
故答案为:336.
15.
(2) 最小值为 ， 的方程为
(1)解:由题意可知圆 的圆心为 ,半径为 .
所以圆 的方程为 .
(2)易知当 时 最小，此时 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ,即 ,
所以 .
16.
(2)设双曲线 上任意两点 . ， 是线段 的中点，若直线 、 的斜率都存在,并记为 ,则 为定值. 证明见解析
(1) 设 ,
联立 ,得 ,
所以 ,
所以 .
(2)设 、 为双曲线 上任意两点， 是线段 的中点，若直线 、 的斜率都存在,并记为 ,则 为定值.
证明: 设 ,
则 ,则 ,
因为 ,所以得 ,
即 . 为定值,定值为 .
17. (1)由频率分布直方图可知 的频率为
,
所以 组的纵轴为 ,
所以频率分布直方图如下所示:
又 ,
所以第 80% 分位数位于 ,且 ,
所以入围分数应设为 78.75 分;
(2)依题意 抽取 人， 抽取 人， 从 6 人中随机选 3 人一共有 中选法,其中 3 人都是 的有 4 中选法,
设事件 : “至少有 1 名学生成绩不低于 90 ”,则 ;
(3)依题意甲能参加冬令营的概率 ,
乙能参加冬令营的概率 ,
丙能参加冬令营的概率 ,
所以甲、乙、丙能同时参加冬令营的概率 .
18.(1) 连接 ,交 于点 ,连接 ,
为 中点， 为 中点， ，
又: 平面 平面 平面 ;
(2)由底面 是矩形且 平面 ,
故可以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，
建立如图所示空间直角坐标系,
则 ,
则 ,
设平面 的法向量为 ,
则 ,令 ,得 ,
则点 到平面 的距离 ;
(3)由 轴 平面 ，故平面 的法向量可为 ，
设直线 与平面 所成角为 ,则 ,
,
,即直线 与平面 所成角的余弦值为 .
19. .
(1)因为 ,所以 ,
又椭圆 经过点 ，所以 ，
解得 ,
所以椭圆 的方程为 .
(2)设 ， ， ，则由 得 ， ， 因为点 在椭圆 ,即 上,
所以 ,
故
设 ， 分别为直线 与 的斜率，由题意知，
，因此 ，
所以 ,
故点 的轨迹方程为 .
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