江西南昌市第一中学2025-2026学年度下学期高三第一次月考数学试卷(含解析)
文档属性
| 名称 | 江西南昌市第一中学2025-2026学年度下学期高三第一次月考数学试卷(含解析) |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 262.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-12 00:00:00 | ||
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文档简介
南昌一中 2025-2026 学年度下学期高三第一次月考数学试卷
总分:150 分 时长:120 分钟
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集 ，集合 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 函数 的定义域为( )
A. B.
C. D.
3. 已知函数 恒成立，则 的值为( )
A. B. C. D.
4. 已知等比数列 的各项均为正数， 是函数 的极值点，则
A. 5 B. 6 C. 10 D. 15
5. 任意一个复数 都可以表示成三角形式,即 . 法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是: 设两个复数: ,则 ,已知复数 ,则 ( )
A. B. C. D. -1
6. 某晚会由 4 个歌舞节目和 2 个机器人表演节目组成, 若要求机器人表演节目不能相邻出演且前 3 个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有( )种.
A. 216 B. 360 C. 432 D. 672
7. 如图， 是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成的一个大正三角形， 若 ，点 为线段 上的动点，则 的最大值为( )
A. B. 21 C. 24 D. 40
8. 设动直线 交圆 于 两点(点 为圆心),当 最小时其余弦值为 ( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 有一组数据1,1,3,4,5,5,6,7,则 ( )
A. 该组数据的极差为 6
B. 该组数据的中位数为 5
C. 该组数据的平均数为 4
D. 将数据 1 均改为 3 后,方差会变大
10. 已知抛物线 的焦点为 ,过 的直线交抛物线于 为抛物线上一个动点, ,则( )
A. 的坐标为
B. 的最小值为 2
C. 若 ,则过 与抛物线相切的直线的方程为
D. 的最小值为 3
11. 如图,在棱长为 2 的正方体 中, 为棱 的中点, 为底面 内一动点 (含边界), 则下列说法正确的命题有 ( )
A. 若 平面 ,则动点 的轨迹长度为
B. 不存在动点 ,使 平面
C. 若 平面 ,则三棱锥 体积的最大值为 2
D. 若正方体 的外接球为球 ，则球 被平面 所截截面圆的面积为
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 在 的展开式中，常数项是_____(用数字作答).
13. 已知 是定义在 上的奇函数,且 ,当 时, ，则 _____.
14. 若 是多项式 的因式,且 除 的余式为 5,则 除以 的余式是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 已知角 是 的内角， 分别是其对边长，向量 ，
(1)求角 的大小；
(2) 若 ，求 的长和 的面积.
16. 如图,圆锥的轴截面 是边长为 2 的正三角形, 为底面圆周上的点,且 是正三角形, 为母线 上的一动点.
(1)若 平面 ，求 的长；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 . 求平面 与平面 夹角的余弦值.
17. 已知双曲线
( 1 ) ，求双曲线 的渐近线方程.
( 2 )设 ， 为双曲线 的左右顶点，双曲线 上一点 的纵坐标为1，且 ，求 的值;
(3)已知点 在双曲线上，直线 交 于 两点，直线 的斜率之和为 0，求直线 的斜率.
18. 已知
(1)当 时，证明: ；
(2)设 ，若对任意的 ， 恒成立，求 的取值范围；
(3)证明:对任意的正整数 ，总有 .
19. 某商场为回馈广大顾客，开展消费抽奖促销活动，抽奖箱里装有 5 个除颜色外其他都相同的小球, 其中 3 个黑球和 2 个红球,
取球结果 2 个红球 2 个黑球 红、黑球各 1 个
奖金 300 元 200 元 100 元
(1)消费每满 2000 元可参与一次抽奖，抽奖顾客一次性从抽奖箱中随机抽取 2 个小球，按照表格领取奖金, 求顾客抽奖一次所得奖金的期望;
(2)若该商场对消费不足 2000 元的部分顾客设置二个幸运抽奖环节，第一个抽幸运奖顾客抽奖前，抽奖箱里仍然是 3 个黑球和 2 个红球，每位抽幸运奖顾客从中随机抽取 1 个小球，若取出黑球，则放回小盒中，无奖励；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中，奖
励幸运礼品一份；下一位抽幸运奖顾客在前一位抽奖后的箱中继续抽奖，直至红球取完为止. 设“第 个抽幸运奖顾客获得第 1 份幸运礼品”记为事件 ，设“第 个抽幸运奖顾客获得第 2 份幸运礼品”记为事件 .
(i) 求 和 ;
(ii) 求第 位抽幸运奖顾客恰好获得第 2 份幸运礼品的概率.
1. A
解: 因为全集 ,集合 ,
所以 ,所以 .
故选: A.
2. C
由题设 ,则 , 所以函数的定义域为 .
故选:
3. A
由题意得, 是函数 的最大值,
,得 ,
,又 .
故选: A
4. A
因为 ,所以 ,
因为 是函数 的极值点,所以 是 的两根,
所以 ,又 ,
则 ,
故选: A.
5. A
由棣莫弗定理可知,若 ,则 , 因为 ,所以 ,
所以
故选: A.
6. C
7. D
根据题意可得 ，所以 ， 又因为 ,所以 , 设 ,则 ,所以
,
,
所以
令 ,在 上单调递增,在 上单调递减,
故 最大值为 40,
故选: D.
8. C
因为动直线 ,所以 ,
因为 ,所以 ,所以直线 过定点 ,
当 最小时,此时 最小,
又 ,其中 为圆 的半径, 为圆心 到直线 的距离,
当 最小时,也即直线 与过点 和 的直线垂直时, 最小,如图所示,
此时 ,
所以 .
故选: C.
9. AC
数据的极差为 ,所以 正确; 数据的中位数为 ,故 错误;
数据的平均数为 ,故 正确;
原数据的方差
数据 1 均改为 3 后的数据为3,3,3,4,5,5,6,7,平均数为 .
因为 ,所以数据 1 均改为 3 后,方差会变小,故 错误.
故选: AC
10. ACD
对于 ,由抛物线性质得 的坐标为 ,故 正确,
对于 ,当 的斜率不存在时,可得 的方程为 ,
联立方程组 ,解得 ,
得到 ,则 ,
得到 的最小值不可能为 2,故 B 错误,
对于 ,若 ,设切线方程为 ,
联立方程组 ,可得 ,
此时 ,解得 ,
则 ,即 ,故 正确,
对于 ,如图,作出符合题意的图形,作 垂直于准线,
由抛物线定义可得 ,
当且仅当 三点共线时取等,此时 ,可得 ,
则 的最小值为 3,故 D 正确.
故选: ACD
11.
对于选项 : 如图,取 的中点 的中点 ,
连接 ,可得 ,
且 平面 平面 平面 平面 ,
所以 平面 平面 ,
且 平面 ,可得平面 平面 ,
所以动点 的轨迹为线段 ,其长度为 ,故 正确;
对于选项 B:以 为坐标原点， 分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系,
则 ,
设 ,
可得 ,
设平面 的法向量为 ,则 ,
令 ,则 ,可得 ,
若 平面 ,则 ,
可得 ,解得 ,不合题意,
所以不存在动点 ,使 平面 ,故 正确;
对于选项 C:因为点 到直线 的距离为 ,
则 的面积为 ,
显然当 与 重合时三棱锥 的体积最大,则 ,
点 到平面 的距离为 ,
所以三棱锥 体积的最大值为 ,故 正确,
对于选项 D:因为正方体 外接球的球心为 ，半径 ，
则 ,则 到平面 的距离为 ,
故球 被平面 所截截面圆半径 ,
所以截面圆面积为 ,故 错误;
故选: ABC.
12. 15
在 的展开式中,通项 ,
令 . 故展开式中常数项是 ,
故答案为 15 .
13.
满足 ,即 ,
则有 ,即函数 是周期为 4 的周期函数;
,且 ;
又由函数为奇函数,则
当 时, ,则 ;
则 .
14.
是二次多项式,
除以 的余式次数必小于 2,设余式为 ,
则可以设 ,
是多项式 的因式,
,即 ,
化简得 ,
除 的余式为 5,
,则 ,化简得 ,
,解得 ,
,
.
故答案为: .
15.
(2) ，面积为
(1)由 可得:
即 ,所以 ,
由 可得 ;
因此可得 ,
所以 .
(2)在 中， ，
由正弦定理知 ，可得
16. ;
(2) .
(1) 取直径 的中点 ,连接 ,在底面圆所在平面内作 ,直线 两两垂直,
以 为原点,直线 分别为 轴建空间直角坐标系,
由 都是正三角形， ，得 ，
,令 ,则 ,
由 平面 ,平面 平面 平面 ,得 ,
因此 ,所以 的长为 .
(2)由(1)知 ，设 ，则 ， ,而平面 的法向量 ,
由直线 与平面 所成角的正弦值为 ,得
,整理得 ,又 ,解得 ,
于是 ,而 ,设平面 的法向量 ,
则 ,令 ,得 ,
因此 ,
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
17. (1)
(2)
(3)-1
(1)当 时,双曲线 的方程为 , 则双曲线 的渐近线方程为 ;
(2)由题意 ,设 ，
则 ,
则 ,
又点 在双曲线 上,则 ,化简得 ,
又 所以 ；
(3)将点 代入双曲线方程得 ，解得: ，
故双曲线方程为 ;
设直线 斜率为 ,则直线 斜率为
直线 方程为 ,联立双曲线 与直线 :
其中 即 且 ,
由韦达定理 ,则 ,
同理以 代 ,则 ,
则 ,
故 .
18.(1) ,则 ,定义域为 令 ,则 .
令 ,得 ; 令 ,得 .
所以 在 上单调递增,在 上单调递减.
所以 ,所以当 时 .
所以 得证.
(2)设 .
若对任意的 恒成立,则 恒成立.
又 ,
设 ,则 ,且有
(i) 当 时,显然 中 则 恒成立;
(ii) 当 时, ,则 单调递增,
所以 在 单调递增,所以 ,所以 恒成立;
(iii) 当 时, ,则 单调递增,
又 ,则必然存在一个 ,使得 ,
且有 时 单调递减; 时, 单调递增.
此时, 不满足 恒成立.
综上所述, 的取值范围是 .
(3)由(2)中结论，
有当 时， ，对任意的 恒成立，
取 可得， ，对任意的 恒成立.
即对任意的 ,变形可得 ,
分别令 ,可得 .
累加可得 ,证毕.
19. (1)150 元
(2) (i) ; (ii)
(1)设一次抽奖的中奖金额为 ，则 所有的可能取值为100,200,300.
.
则 的分布列为
100 200 300
3 5
故 (元).
(2)(i) ，
因为 ,
所以
因为 ,
所以第 个顾客获得第 2 份幸运礼品的概率为:
所以第 个抽幸运奖顾客获得第二份幸运礼品的概率为 .
总分:150 分 时长:120 分钟
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集 ，集合 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 函数 的定义域为( )
A. B.
C. D.
3. 已知函数 恒成立，则 的值为( )
A. B. C. D.
4. 已知等比数列 的各项均为正数， 是函数 的极值点，则
A. 5 B. 6 C. 10 D. 15
5. 任意一个复数 都可以表示成三角形式,即 . 法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是: 设两个复数: ,则 ,已知复数 ,则 ( )
A. B. C. D. -1
6. 某晚会由 4 个歌舞节目和 2 个机器人表演节目组成, 若要求机器人表演节目不能相邻出演且前 3 个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有( )种.
A. 216 B. 360 C. 432 D. 672
7. 如图， 是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成的一个大正三角形， 若 ，点 为线段 上的动点，则 的最大值为( )
A. B. 21 C. 24 D. 40
8. 设动直线 交圆 于 两点(点 为圆心),当 最小时其余弦值为 ( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 有一组数据1,1,3,4,5,5,6,7,则 ( )
A. 该组数据的极差为 6
B. 该组数据的中位数为 5
C. 该组数据的平均数为 4
D. 将数据 1 均改为 3 后,方差会变大
10. 已知抛物线 的焦点为 ,过 的直线交抛物线于 为抛物线上一个动点, ,则( )
A. 的坐标为
B. 的最小值为 2
C. 若 ,则过 与抛物线相切的直线的方程为
D. 的最小值为 3
11. 如图,在棱长为 2 的正方体 中, 为棱 的中点, 为底面 内一动点 (含边界), 则下列说法正确的命题有 ( )
A. 若 平面 ,则动点 的轨迹长度为
B. 不存在动点 ,使 平面
C. 若 平面 ,则三棱锥 体积的最大值为 2
D. 若正方体 的外接球为球 ，则球 被平面 所截截面圆的面积为
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 在 的展开式中，常数项是_____(用数字作答).
13. 已知 是定义在 上的奇函数,且 ,当 时, ，则 _____.
14. 若 是多项式 的因式,且 除 的余式为 5,则 除以 的余式是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 已知角 是 的内角， 分别是其对边长，向量 ，
(1)求角 的大小；
(2) 若 ，求 的长和 的面积.
16. 如图,圆锥的轴截面 是边长为 2 的正三角形, 为底面圆周上的点,且 是正三角形, 为母线 上的一动点.
(1)若 平面 ，求 的长；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 . 求平面 与平面 夹角的余弦值.
17. 已知双曲线
( 1 ) ，求双曲线 的渐近线方程.
( 2 )设 ， 为双曲线 的左右顶点，双曲线 上一点 的纵坐标为1，且 ，求 的值;
(3)已知点 在双曲线上，直线 交 于 两点，直线 的斜率之和为 0，求直线 的斜率.
18. 已知
(1)当 时，证明: ；
(2)设 ，若对任意的 ， 恒成立，求 的取值范围；
(3)证明:对任意的正整数 ，总有 .
19. 某商场为回馈广大顾客，开展消费抽奖促销活动，抽奖箱里装有 5 个除颜色外其他都相同的小球, 其中 3 个黑球和 2 个红球,
取球结果 2 个红球 2 个黑球 红、黑球各 1 个
奖金 300 元 200 元 100 元
(1)消费每满 2000 元可参与一次抽奖，抽奖顾客一次性从抽奖箱中随机抽取 2 个小球，按照表格领取奖金, 求顾客抽奖一次所得奖金的期望;
(2)若该商场对消费不足 2000 元的部分顾客设置二个幸运抽奖环节，第一个抽幸运奖顾客抽奖前，抽奖箱里仍然是 3 个黑球和 2 个红球，每位抽幸运奖顾客从中随机抽取 1 个小球，若取出黑球，则放回小盒中，无奖励；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中，奖
励幸运礼品一份；下一位抽幸运奖顾客在前一位抽奖后的箱中继续抽奖，直至红球取完为止. 设“第 个抽幸运奖顾客获得第 1 份幸运礼品”记为事件 ，设“第 个抽幸运奖顾客获得第 2 份幸运礼品”记为事件 .
(i) 求 和 ;
(ii) 求第 位抽幸运奖顾客恰好获得第 2 份幸运礼品的概率.
1. A
解: 因为全集 ,集合 ,
所以 ,所以 .
故选: A.
2. C
由题设 ,则 , 所以函数的定义域为 .
故选:
3. A
由题意得, 是函数 的最大值,
,得 ,
,又 .
故选: A
4. A
因为 ,所以 ,
因为 是函数 的极值点,所以 是 的两根,
所以 ,又 ,
则 ,
故选: A.
5. A
由棣莫弗定理可知,若 ,则 , 因为 ,所以 ,
所以
故选: A.
6. C
7. D
根据题意可得 ，所以 ， 又因为 ,所以 , 设 ,则 ,所以
,
,
所以
令 ,在 上单调递增,在 上单调递减,
故 最大值为 40,
故选: D.
8. C
因为动直线 ,所以 ,
因为 ,所以 ,所以直线 过定点 ,
当 最小时,此时 最小,
又 ,其中 为圆 的半径, 为圆心 到直线 的距离,
当 最小时,也即直线 与过点 和 的直线垂直时, 最小,如图所示,
此时 ,
所以 .
故选: C.
9. AC
数据的极差为 ,所以 正确; 数据的中位数为 ,故 错误;
数据的平均数为 ,故 正确;
原数据的方差
数据 1 均改为 3 后的数据为3,3,3,4,5,5,6,7,平均数为 .
因为 ,所以数据 1 均改为 3 后,方差会变小,故 错误.
故选: AC
10. ACD
对于 ,由抛物线性质得 的坐标为 ,故 正确,
对于 ,当 的斜率不存在时,可得 的方程为 ,
联立方程组 ,解得 ,
得到 ,则 ,
得到 的最小值不可能为 2,故 B 错误,
对于 ,若 ,设切线方程为 ,
联立方程组 ,可得 ,
此时 ,解得 ,
则 ,即 ,故 正确,
对于 ,如图,作出符合题意的图形,作 垂直于准线,
由抛物线定义可得 ,
当且仅当 三点共线时取等,此时 ,可得 ,
则 的最小值为 3,故 D 正确.
故选: ACD
11.
对于选项 : 如图,取 的中点 的中点 ,
连接 ,可得 ,
且 平面 平面 平面 平面 ,
所以 平面 平面 ,
且 平面 ,可得平面 平面 ,
所以动点 的轨迹为线段 ,其长度为 ,故 正确;
对于选项 B:以 为坐标原点， 分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系,
则 ,
设 ,
可得 ,
设平面 的法向量为 ,则 ,
令 ,则 ,可得 ,
若 平面 ,则 ,
可得 ,解得 ,不合题意,
所以不存在动点 ,使 平面 ,故 正确;
对于选项 C:因为点 到直线 的距离为 ,
则 的面积为 ,
显然当 与 重合时三棱锥 的体积最大,则 ,
点 到平面 的距离为 ,
所以三棱锥 体积的最大值为 ,故 正确,
对于选项 D:因为正方体 外接球的球心为 ，半径 ，
则 ,则 到平面 的距离为 ,
故球 被平面 所截截面圆半径 ,
所以截面圆面积为 ,故 错误;
故选: ABC.
12. 15
在 的展开式中,通项 ,
令 . 故展开式中常数项是 ,
故答案为 15 .
13.
满足 ,即 ,
则有 ,即函数 是周期为 4 的周期函数;
,且 ;
又由函数为奇函数,则
当 时, ,则 ;
则 .
14.
是二次多项式,
除以 的余式次数必小于 2,设余式为 ,
则可以设 ,
是多项式 的因式,
,即 ,
化简得 ,
除 的余式为 5,
,则 ,化简得 ,
,解得 ,
,
.
故答案为: .
15.
(2) ，面积为
(1)由 可得:
即 ,所以 ,
由 可得 ;
因此可得 ,
所以 .
(2)在 中， ，
由正弦定理知 ，可得
16. ;
(2) .
(1) 取直径 的中点 ,连接 ,在底面圆所在平面内作 ,直线 两两垂直,
以 为原点,直线 分别为 轴建空间直角坐标系,
由 都是正三角形， ，得 ，
,令 ,则 ,
由 平面 ,平面 平面 平面 ,得 ,
因此 ,所以 的长为 .
(2)由(1)知 ，设 ，则 ， ,而平面 的法向量 ,
由直线 与平面 所成角的正弦值为 ,得
,整理得 ,又 ,解得 ,
于是 ,而 ,设平面 的法向量 ,
则 ,令 ,得 ,
因此 ,
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
17. (1)
(2)
(3)-1
(1)当 时,双曲线 的方程为 , 则双曲线 的渐近线方程为 ;
(2)由题意 ,设 ，
则 ,
则 ,
又点 在双曲线 上,则 ,化简得 ,
又 所以 ；
(3)将点 代入双曲线方程得 ，解得: ，
故双曲线方程为 ;
设直线 斜率为 ,则直线 斜率为
直线 方程为 ,联立双曲线 与直线 :
其中 即 且 ,
由韦达定理 ,则 ,
同理以 代 ,则 ,
则 ,
故 .
18.(1) ,则 ,定义域为 令 ,则 .
令 ,得 ; 令 ,得 .
所以 在 上单调递增,在 上单调递减.
所以 ,所以当 时 .
所以 得证.
(2)设 .
若对任意的 恒成立,则 恒成立.
又 ,
设 ,则 ,且有
(i) 当 时,显然 中 则 恒成立;
(ii) 当 时, ,则 单调递增,
所以 在 单调递增,所以 ,所以 恒成立;
(iii) 当 时, ,则 单调递增,
又 ,则必然存在一个 ,使得 ,
且有 时 单调递减; 时, 单调递增.
此时, 不满足 恒成立.
综上所述, 的取值范围是 .
(3)由(2)中结论，
有当 时， ，对任意的 恒成立，
取 可得， ，对任意的 恒成立.
即对任意的 ,变形可得 ,
分别令 ,可得 .
累加可得 ,证毕.
19. (1)150 元
(2) (i) ; (ii)
(1)设一次抽奖的中奖金额为 ，则 所有的可能取值为100,200,300.
.
则 的分布列为
100 200 300
3 5
故 (元).
(2)(i) ，
因为 ,
所以
因为 ,
所以第 个顾客获得第 2 份幸运礼品的概率为:
所以第 个抽幸运奖顾客获得第二份幸运礼品的概率为 .
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