江西南昌市第十中学2025-2026学年下学期高三一模模拟数学试卷(含解析)
文档属性
| 名称 | 江西南昌市第十中学2025-2026学年下学期高三一模模拟数学试卷(含解析) |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 330.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-12 00:00:00 | ||
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文档简介
南昌十中 2025-2026 学年度下学期高三一模模拟试卷
一、单选题
1. 集合 中的 不能取的值是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
3. 已知函数 的导函数为 ,且 ,则 ( )
A. B. C. e
D.
4. 已知随机变量 ,且 ,则 ( )
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6
5. 已知数列 满足 ，则 ( )
A. -1 B. C. 2 D. 3
6. 已知函数 ,若函数 恰有 3 个零点,则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
7. 已知函数 ，若 的图象关于 轴对称，且 在区间 上单调递减，则 的值为( )
A. B. C. D.
8. 已知 是椭圆 的左右焦点,若椭圆上存在一点 使得 ，则椭圆 的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题
9. 一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有数字1,2,3,4. 连续抛掷这个正四面体玩具两次，并记录每次正四面体玩具朝下的面上的数字，记事件 为 “第一次朝下的面上的数字为 1 或 2 ”，事件 为 “两次朝下的面上的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是 ( )
A. B. 事件 与事件 互斥
C. 事件 与事件 相互独立
D.
10. 已知圆锥 的侧面展开图是圆心角为 ,半径为 2 的扇形, 是两条母线, 是 的中点，则( )
A. 圆锥 的体积为
B. 面积的最大值为
C. 当 为轴截面时,圆锥表面上点 到点 的最短距离为
D. 圆锥 的内切球的表面积为
11. 已知曲线 下有一系列正三角形，第 个正三角形 ( 为坐标原点)的边长为 ，数列 的前 项和为 ，则()
A. 第 1 个正三角形 的周长为 2
B. 为
C. D. 数列 的通项公式为
三、填空题
12. 已知复数 ，则它的共轭复数 等于_____.
13. 的二项展开式中, 项的系数为_____.
14. 已知正实数 满足 ，则 的最小值为_____.
四、解答题
15. 在 中,内角 所对的边分别为 ,已知 .
(1)证明: ；
(2)若 的面积为 . 求 .
16. 某公司进行一年一度的入职考核，拟招聘应届毕业生作为公司的新员工，现先对应届毕业生对工作的考虑因素进行调查, 所得统计结果如下表所示:
男性 女性
以月薪作为主要考虑因素 300 150
以发展前景作为主要考虑因素 200 150
(1)是否有 99.9% 的把握认为应届毕业生对工作的考虑因素与性别有关；
(2)已知公司的入职考核分为 2 个阶段，一是笔试阶段，共 3 个环节，二是面试阶段，共 2 个环节, 应聘者进入了该阶段就必须完成该阶段的所有环节; 公司规定:笔试阶段 3 个环节中至少通过 2 个才可以进入面试阶段; 面试阶段的 2 个环节全部通过则可以顺利入职; 若甲在笔试阶段每个环节通过的概率为 ，在面试阶段每个环节通过的概率为 ，记甲在本次入职考核中通过的环节数为 ,求 的分布列以及数学期望 .
参考公式: ,其中 .
参考数据:
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
17. 如图,四棱锥 的底面为正方形,平面 平面 , 为线段 的中点，点 为线段 上一动点 (不包含两端点).
(1)若 ,
(i) 证明: 平面 ;
(ii) 求直线 与平面 所成角的正弦值.
(2)若平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，求 的长度.
18. 定义: 已知椭圆 ,把圆 称为该椭圆的协同圆. 设椭圆 的协同圆为圆 ,试解决下列问题:
(1)写出协同圆圆 的方程；
(2)设直线 是圆 的任意一条切线，且交椭圆 于 两点，求 的值；
(3)设 是椭圆 上的两个动点，且 ，过点 作 ，交直线 于 点,求证: 点 总在某个定圆上,并写出该定圆的方程.
19. 设 ,已知函数 .
(1)若 ，判断 在区间 上的单调性；
(2)若 ，判断 的零点个数，并给出证明；
(3)若 ，求正整数 的值.
1. C
由集合的互异性可知, ,或 ,或 ,
得 ,或 ,或 ,
故选:
2. C
由 得 ,
又因为 ,代入解得 ,
由 ,
因为 ,所以 .
故选: C.
3. C
,
令 ,解得 .
故选: C.
4. C
因为 ,
所以 ,
所以 .
故选:
5. C
解法 1: 由数列 满足 ,
可取 ,则 ;
取 ,则 ;
取 ,则 ,
猜想数列 是周期为 3 的周期数列, .
解法 2: 由 得, ,逐项代换可得 ,
数列 是周期为 3 的周期数列, .
故选: C
6. A
若函数 恰有 3 个零点,
即函数 与 的图象有 3 个交点,
当 时， ，当 时， ，
函数 的图象如下，
结合图象可得 .
故选: A.
7. A
,
,
的图象关于 轴对称,
或 ,
当 时, ,
,
在区间 上单调递增,不符合题意;
当 时, ,
,
设 为单调递减函数, 在 上为单调递增函数,
在区间 上单调递减,符合题意;
故 ,
故选: A.
8.
依题意设椭圆上一点 ,所以 ,可得 ;
所以 ,
因此 ,即 ,
也即 ,所以 ,
因为 ,所以可得 ,因此 ,
即 ,即 ,
因此离心率为 .
故选: B
9. AC
用两位数字表示连续抛掷这个正四面体得到的点数,
,
事件 ,
事件 ,
对于 ,故 正确,
对于 事件 与事件 不互斥,故 错误,
对于 事件 与事件 相互独立,故 正确,
对于 ,
，故 D 错误.
故选: AC.
10. ACD
A: 因为圆锥 的侧面展开图是圆心角为 ,半径为 2 的扇形, 所以扇形的弧长为 ,即圆锥的底面周长为 .
设圆锥的底面半径为 ,母线长为 ,
则 ,解得 ,又 ,所以圆锥的高 ,
所以圆锥的体积 ,故 正确;
B: 当 为轴截面时,在 中, ,因为 ,
所以此时 为钝角,又 ,
当 时， 的面积最大，且最大值为 2，故B错误；
C: 当 为轴截面时,将圆锥侧面展开可知,点 到点 的最小距离为 ,如图, 在 中, ,由余弦定理得 ，故 C 正确；
D: 当 为轴截面时, 的内切圆半径即圆锥 的内切球半径.
设 的内切圆半径为 ,则 ,
所以 ,所以内切球的表面积为 ,故 D 正确.
故选: ACD
11. ABD
对于 ,设第 1 个正三角形 的边长为 ,则 ,
因为 在曲线 上,所以 ,两边平方得: ,因为 ,
所以 ,则第 1 个正三角形 的周长为 正确;
对于 ,前 个正三角形的边长和为 ,则 的坐标为 , 第 个正三角形 的边长为 ,因此 的横坐标为 ,纵坐标为 , 则 正确;
对于 ,因为 在曲线 上,所以 ,
两边平方得: ，即 ，C 错误；
对于 ,当 时,由 ,可得 ,
两式相减可得 ,
化为 ,由 ,可得 ,
而 ,所以数列 是首项和公差均为 的等差数列,所以 ,故 正确.
故选: ABD.
由题意 ,则 .
故答案为:
13. 21
由题可知, 二项展开式的通项公式为 ,
令 ,可得 ,
故 ,
故 项的系数为 21 .
故答案为:21.
14. 2
变形为 ,
则 ,即 ,
令 ,则 恒成立,
则 ,单调递增,
又 ,所以 ,
则 ,
当且仅当 ,即 时,等号成立,
故 的最小值为 2 .
故选: A
15.(1) 由余弦定理得 ,
又 ,所以 ,于是 ,
由正弦定理得 ,
再结合 ,
可得 , 由 ,知 .
(2)方法一:当 时， .
如图，不妨作 ,垂足为 .
设 ,则 ,
由 ,得 ,
故 .
方法二: 当 时, .
由 ,得 .
由正弦定理得 .
又 ,所以 ,
所以 ,解得 .
16. (1)没有 99.9%的把握认为应届毕业生对工作的考虑因素与性别有关
(2)
0 1 2 3 4 5
2 2 9 16 75 32
期望为
(1)完善列联表数据如下:
男性 女性 总计
以月薪作为主要考虑因素 300 150 450
以发展前景作为主要考虑因素 200 150 350
总计 500 300 800
故 ,
故没有 99.9% 的把握认为应届毕业生对工作的考虑因素与性别有关.
(2)依题意， 的可能取值为0,1,2,3,4,5，
所以随机变量 的分布列如下:
0 1 2 3 4 5
1 2 9 16 75 32 675
故 .
17.(1) 取 的中点 ,连接 ,
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为平面 平面 ,平面 平面 , 平面 ,
所以 平面 ,
以 为原点,以平行于 的直线为 轴,以 所在直线分别为 轴,建立如图所示空间直角坐标系 ,
则 ,
因为 ,所以 为 的中点,所以 ,所以 ,
(i) 易知平面 的一个法向量为 ,
则 ,即 ,
因为 平面 ,所以 平面 ;
(ii) 由上面分析得 ,设平面 的法向量为 , 由 ,得 ,取 ,则 .
则 ,
故直线 与平面 所成角的正弦值为 .
(2)由上可知， ，
设 ,则 ,
所以 ,
设平面 的一个法向量为 ,则 ,
取 ,则 ,
又知平面 的一个法向量为 ,
所以 ,
整理得 ,解得 或 (舍去),
所以 ,则 ,所以 ,
故 的长度为 .
18.(1) 由椭圆 ,知 . 根据协同圆的定义,可得该椭圆的协同圆为圆 .
(2)设 ，则 .
直线 为圆 的切线,分直线 的斜率存在和不存在两种情况讨论:
① 当直线 的斜率不存在时,直线 .
若 ,由 ,解得 ,此时 .
若 ,同理得: .
② 当直线 的斜率存在时,设 .
由 ,得 ,有
,又直线 是圆 的切线,故 ,可得 .
,则 ,而 . ,即 . 综上,恒有 .
(3) 是椭圆 上的两个动点且 ，设 ，则 .
直线 : 有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在两种情况讨论.
若直线 的斜率不存在,即点 在 轴上,则点 在 轴上,有 .
,且 ,
由 ,解得 .
若直线 的斜率都存在,设 ,则 .
由 得 ,有 ; 同理,得 .
于是, .
由 ,可得 .
因此,总有 ,即点 在圆心为坐标原点,半径为 的圆上.
该定圆的方程为圆 .
19. (1) ,则 ,所以 .
当 时, ,
所以 在区间 上单调递增.
(2) ，则 ，
当 时， ，故 在 上单调递增.
又 ,
故 在 上存在唯一零点.
当 时, 恒成立.
综上,若 有且仅有 1 个零点.
(3) 设 ,
① 若 ，令 ， ，令 ，解得 .
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减,在 上单调递增,又 ,
所以, ,即 .
同理,令 ,令 ,解得 .
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,又 ,
所以, ,即 .
所以 满足题意.
②若 ，令 ，则 ，记 ，
由 得故 在 上单调递增,又 ,
所以, 时, 在 上单调递增.
又 ，所以 ，
所以 不合题意.
③若 ，
当 ,
又 ,所以 ,
所以 不合题意.
综上,正整数 的值为 1 .
一、单选题
1. 集合 中的 不能取的值是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
3. 已知函数 的导函数为 ,且 ,则 ( )
A. B. C. e
D.
4. 已知随机变量 ,且 ,则 ( )
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6
5. 已知数列 满足 ，则 ( )
A. -1 B. C. 2 D. 3
6. 已知函数 ,若函数 恰有 3 个零点,则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
7. 已知函数 ，若 的图象关于 轴对称，且 在区间 上单调递减，则 的值为( )
A. B. C. D.
8. 已知 是椭圆 的左右焦点,若椭圆上存在一点 使得 ，则椭圆 的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题
9. 一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有数字1,2,3,4. 连续抛掷这个正四面体玩具两次，并记录每次正四面体玩具朝下的面上的数字，记事件 为 “第一次朝下的面上的数字为 1 或 2 ”，事件 为 “两次朝下的面上的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是 ( )
A. B. 事件 与事件 互斥
C. 事件 与事件 相互独立
D.
10. 已知圆锥 的侧面展开图是圆心角为 ,半径为 2 的扇形, 是两条母线, 是 的中点，则( )
A. 圆锥 的体积为
B. 面积的最大值为
C. 当 为轴截面时,圆锥表面上点 到点 的最短距离为
D. 圆锥 的内切球的表面积为
11. 已知曲线 下有一系列正三角形，第 个正三角形 ( 为坐标原点)的边长为 ，数列 的前 项和为 ，则()
A. 第 1 个正三角形 的周长为 2
B. 为
C. D. 数列 的通项公式为
三、填空题
12. 已知复数 ，则它的共轭复数 等于_____.
13. 的二项展开式中, 项的系数为_____.
14. 已知正实数 满足 ，则 的最小值为_____.
四、解答题
15. 在 中,内角 所对的边分别为 ,已知 .
(1)证明: ；
(2)若 的面积为 . 求 .
16. 某公司进行一年一度的入职考核，拟招聘应届毕业生作为公司的新员工，现先对应届毕业生对工作的考虑因素进行调查, 所得统计结果如下表所示:
男性 女性
以月薪作为主要考虑因素 300 150
以发展前景作为主要考虑因素 200 150
(1)是否有 99.9% 的把握认为应届毕业生对工作的考虑因素与性别有关；
(2)已知公司的入职考核分为 2 个阶段，一是笔试阶段，共 3 个环节，二是面试阶段，共 2 个环节, 应聘者进入了该阶段就必须完成该阶段的所有环节; 公司规定:笔试阶段 3 个环节中至少通过 2 个才可以进入面试阶段; 面试阶段的 2 个环节全部通过则可以顺利入职; 若甲在笔试阶段每个环节通过的概率为 ，在面试阶段每个环节通过的概率为 ，记甲在本次入职考核中通过的环节数为 ,求 的分布列以及数学期望 .
参考公式: ,其中 .
参考数据:
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
17. 如图,四棱锥 的底面为正方形,平面 平面 , 为线段 的中点，点 为线段 上一动点 (不包含两端点).
(1)若 ,
(i) 证明: 平面 ;
(ii) 求直线 与平面 所成角的正弦值.
(2)若平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，求 的长度.
18. 定义: 已知椭圆 ,把圆 称为该椭圆的协同圆. 设椭圆 的协同圆为圆 ,试解决下列问题:
(1)写出协同圆圆 的方程；
(2)设直线 是圆 的任意一条切线，且交椭圆 于 两点，求 的值；
(3)设 是椭圆 上的两个动点，且 ，过点 作 ，交直线 于 点,求证: 点 总在某个定圆上,并写出该定圆的方程.
19. 设 ,已知函数 .
(1)若 ，判断 在区间 上的单调性；
(2)若 ，判断 的零点个数，并给出证明；
(3)若 ，求正整数 的值.
1. C
由集合的互异性可知, ,或 ,或 ,
得 ,或 ,或 ,
故选:
2. C
由 得 ,
又因为 ,代入解得 ,
由 ,
因为 ,所以 .
故选: C.
3. C
,
令 ,解得 .
故选: C.
4. C
因为 ,
所以 ,
所以 .
故选:
5. C
解法 1: 由数列 满足 ,
可取 ,则 ;
取 ,则 ;
取 ,则 ,
猜想数列 是周期为 3 的周期数列, .
解法 2: 由 得, ,逐项代换可得 ,
数列 是周期为 3 的周期数列, .
故选: C
6. A
若函数 恰有 3 个零点,
即函数 与 的图象有 3 个交点,
当 时， ，当 时， ，
函数 的图象如下，
结合图象可得 .
故选: A.
7. A
,
,
的图象关于 轴对称,
或 ,
当 时, ,
,
在区间 上单调递增,不符合题意;
当 时, ,
,
设 为单调递减函数, 在 上为单调递增函数,
在区间 上单调递减,符合题意;
故 ,
故选: A.
8.
依题意设椭圆上一点 ,所以 ,可得 ;
所以 ,
因此 ,即 ,
也即 ,所以 ,
因为 ,所以可得 ,因此 ,
即 ,即 ,
因此离心率为 .
故选: B
9. AC
用两位数字表示连续抛掷这个正四面体得到的点数,
,
事件 ,
事件 ,
对于 ,故 正确,
对于 事件 与事件 不互斥,故 错误,
对于 事件 与事件 相互独立,故 正确,
对于 ,
，故 D 错误.
故选: AC.
10. ACD
A: 因为圆锥 的侧面展开图是圆心角为 ,半径为 2 的扇形, 所以扇形的弧长为 ,即圆锥的底面周长为 .
设圆锥的底面半径为 ,母线长为 ,
则 ,解得 ,又 ,所以圆锥的高 ,
所以圆锥的体积 ,故 正确;
B: 当 为轴截面时,在 中, ,因为 ,
所以此时 为钝角,又 ,
当 时， 的面积最大，且最大值为 2，故B错误；
C: 当 为轴截面时,将圆锥侧面展开可知,点 到点 的最小距离为 ,如图, 在 中, ,由余弦定理得 ，故 C 正确；
D: 当 为轴截面时, 的内切圆半径即圆锥 的内切球半径.
设 的内切圆半径为 ,则 ,
所以 ,所以内切球的表面积为 ,故 D 正确.
故选: ACD
11. ABD
对于 ,设第 1 个正三角形 的边长为 ,则 ,
因为 在曲线 上,所以 ,两边平方得: ,因为 ,
所以 ,则第 1 个正三角形 的周长为 正确;
对于 ,前 个正三角形的边长和为 ,则 的坐标为 , 第 个正三角形 的边长为 ,因此 的横坐标为 ,纵坐标为 , 则 正确;
对于 ,因为 在曲线 上,所以 ,
两边平方得: ，即 ，C 错误；
对于 ,当 时,由 ,可得 ,
两式相减可得 ,
化为 ,由 ,可得 ,
而 ,所以数列 是首项和公差均为 的等差数列,所以 ,故 正确.
故选: ABD.
由题意 ,则 .
故答案为:
13. 21
由题可知, 二项展开式的通项公式为 ,
令 ,可得 ,
故 ,
故 项的系数为 21 .
故答案为:21.
14. 2
变形为 ,
则 ,即 ,
令 ,则 恒成立,
则 ,单调递增,
又 ,所以 ,
则 ,
当且仅当 ,即 时,等号成立,
故 的最小值为 2 .
故选: A
15.(1) 由余弦定理得 ,
又 ,所以 ,于是 ,
由正弦定理得 ,
再结合 ,
可得 , 由 ,知 .
(2)方法一:当 时， .
如图，不妨作 ,垂足为 .
设 ,则 ,
由 ,得 ,
故 .
方法二: 当 时, .
由 ,得 .
由正弦定理得 .
又 ,所以 ,
所以 ,解得 .
16. (1)没有 99.9%的把握认为应届毕业生对工作的考虑因素与性别有关
(2)
0 1 2 3 4 5
2 2 9 16 75 32
期望为
(1)完善列联表数据如下:
男性 女性 总计
以月薪作为主要考虑因素 300 150 450
以发展前景作为主要考虑因素 200 150 350
总计 500 300 800
故 ,
故没有 99.9% 的把握认为应届毕业生对工作的考虑因素与性别有关.
(2)依题意， 的可能取值为0,1,2,3,4,5，
所以随机变量 的分布列如下:
0 1 2 3 4 5
1 2 9 16 75 32 675
故 .
17.(1) 取 的中点 ,连接 ,
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为平面 平面 ,平面 平面 , 平面 ,
所以 平面 ,
以 为原点,以平行于 的直线为 轴,以 所在直线分别为 轴,建立如图所示空间直角坐标系 ,
则 ,
因为 ,所以 为 的中点,所以 ,所以 ,
(i) 易知平面 的一个法向量为 ,
则 ,即 ,
因为 平面 ,所以 平面 ;
(ii) 由上面分析得 ,设平面 的法向量为 , 由 ,得 ,取 ,则 .
则 ,
故直线 与平面 所成角的正弦值为 .
(2)由上可知， ，
设 ,则 ,
所以 ,
设平面 的一个法向量为 ,则 ,
取 ,则 ,
又知平面 的一个法向量为 ,
所以 ,
整理得 ,解得 或 (舍去),
所以 ,则 ,所以 ,
故 的长度为 .
18.(1) 由椭圆 ,知 . 根据协同圆的定义,可得该椭圆的协同圆为圆 .
(2)设 ，则 .
直线 为圆 的切线,分直线 的斜率存在和不存在两种情况讨论:
① 当直线 的斜率不存在时,直线 .
若 ,由 ,解得 ,此时 .
若 ,同理得: .
② 当直线 的斜率存在时,设 .
由 ,得 ,有
,又直线 是圆 的切线,故 ,可得 .
,则 ,而 . ,即 . 综上,恒有 .
(3) 是椭圆 上的两个动点且 ，设 ，则 .
直线 : 有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在两种情况讨论.
若直线 的斜率不存在,即点 在 轴上,则点 在 轴上,有 .
,且 ,
由 ,解得 .
若直线 的斜率都存在,设 ,则 .
由 得 ,有 ; 同理,得 .
于是, .
由 ,可得 .
因此,总有 ,即点 在圆心为坐标原点,半径为 的圆上.
该定圆的方程为圆 .
19. (1) ,则 ,所以 .
当 时, ,
所以 在区间 上单调递增.
(2) ，则 ，
当 时， ，故 在 上单调递增.
又 ,
故 在 上存在唯一零点.
当 时, 恒成立.
综上,若 有且仅有 1 个零点.
(3) 设 ,
① 若 ，令 ， ，令 ，解得 .
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减,在 上单调递增,又 ,
所以, ,即 .
同理,令 ,令 ,解得 .
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,又 ,
所以, ,即 .
所以 满足题意.
②若 ，令 ，则 ，记 ，
由 得故 在 上单调递增,又 ,
所以, 时, 在 上单调递增.
又 ，所以 ，
所以 不合题意.
③若 ，
当 ,
又 ,所以 ,
所以 不合题意.
综上,正整数 的值为 1 .
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