江西省上犹中学2025-2026学年高二下学期开学检测数学试题(含解析)

2025-2026 学年高二下学期开学检测 高二数学试卷
满分 150 分.考试用时 120 分钟.
一、单选题本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的选项中, 只有 一项符合题目要求.
1. 已知直线 经过点 ，则下列选项中正确的是( )
A. 直线 的斜率为 1 B. 直线 的倾斜角为
C. 直线 的方向向量为 D. 直线 在 轴上的截距为 2
2. 抛物线 的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
3. 设离散型随机变量 的分布列如表,若离散型随机变量 满足 ,则下列结果错误的是( )
0 1
0.6 m
A. B. C. D.
4. 如图,已知三棱锥 为 中点， 为 中点，则 ()
A. B.
C. D.
5. 由0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中任意两个偶数都不相邻,则满足条件的六位数的个数为( )
A. 60 B. 108 C. 132 D. 144
6. 2023 年 12 月 30 日，在江西省第四届县域社会足球赛(江西“县超”)总决赛上，上犹县队战胜南昌县队，成功捧起冠军奖杯体育赛事的持续火爆，带动了县域特色产业发展，“跟着赛事游上犹”成为响亮名片. 根据以往的数据统计, 甲球员能够胜任前锋、中锋和后卫三个位置,且出场率分别为0.2,0.5,0.3,当甲球员担当前锋、中锋以及后卫时,球队输球的概率依次为0.4,0.2,0.8. 请问当甲球员参加比赛时,该球队这场比赛不输球的概率为 ( )
A. 0.42 B. 0.68 C. 0.58 D. 0.64
7. 已知棱长为 2 的正方体 ，动点 是 内部一点(含边界)，则动点 到点 的距离的最小值为( )
A. B. C.
D.
8. 点 是圆 上两点, ,若在圆 上存在点 恰为线段 的中点,则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多 项符合题目要求.
9. 已知空间向量 ，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D. 是共面向量
10. 若 ,则下列选项正确的有( )
A. B. 展开式中所有项的二项式系数的和为
C. 奇数项的系数和为 D.
11. 平面内定点 ,记动点 的轨迹为曲线 ,过 的直线与 交于 两点，则以下结论正确的有( )
A. 若 ，则 面积的最大值为
B. 若 则
C. 若 ,则
D. 若 ,则曲线 围成的图形面积不超过
三、填空题.本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知随机变量 服从正态分布 . 若 ,则 _____.
13. 已知 分别是椭圆 的右顶点,上顶点和右焦点,若过 三点的圆恰与 轴相切,则 的离心率为_____.
14. 诗句“风景这边独好”洋溢着诗人对江西山水的喜爱. 现有甲、乙、丙等 6 人前往江西上犹“阳明湖”、崇义“阳岭”和大余“丫山”三个景点旅游，已知每人随机只去其中一个景点，每个景点至少有一人选择，则甲乙不去同一个景点且丙一定去上犹“阳明湖”旅游的概率为_____.
四、解答题.本题共 5 小题, 共 77 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 在直角坐标系 中,以原点 为圆心的圆与直线 相切
(1)求圆 的方程；
(2)若已知点 ，过点 作圆 的切线，求切线的方程.
16. 已知双曲线 的焦点与椭圆 的焦点重合,其渐近线方程为 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)过点 的直线 与双曲线 交于不同的两点 ，且 为 的中点，求直线 的方程.
17. 2022 年端午期间, 某百货公司举办了一次有奖促销活动, 顾客消费满 600 元 (含 600 元)可抽奖一次，抽奖方案有两种(只能选择其中的一种).
方案一:从装有 10 个形状、大小完全相同的小球(其中红球 2 个，黑球 8 个)的抽奖盒中， 有放回摸出 3 个球, 每摸到 1 次红球, 立减 200 元.
方案二:从装有 10 个形状，大小完全相同的小球(其中红球 2 个，白球 1 个，黑球 7 个) 的抽奖盒中, 不放回摸出 3 个球, 中奖规则为: 若摸到 2 个红球, 1 个白球, 享受免单优惠; 若摸出 2 个红球和 1 个黑球则打 5 折；若摸出 1 个红球，1 个白球和 1 个黑球，则打 7.5 折； 其余情况不打折.
(1)某顾客恰好消费 600 元，选择抽奖方案一，求他实付金额的分布列和期望；
(2)若顾客消费 1000 元，试从实付金额的期望值分析顾客选择何种抽奖方案更合理？
18. 如图所示,在四棱锥 中,底面四边形 是菱形, 是边长为 2 的等边三角形, .
(I) 求证: 底面 ;
(II) 求直线 与平面 所成角的大小;
(III) 在线段 上是否存在一点 ,使得 平面 如果存在,求 的值,如果不存在, 请说明理由.
19. 已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，其离心率为 ，过点 且与 轴垂直的直线与椭圆 交于 两点,且 为坐标原点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知过点 的直线 与椭圆 交于 两点,抛物线
(i) 若直线 与抛物线 交于 两点,且 ,求直线 的方程.
(ii) 若直线 与 轴正半轴交于点 ,求 的取值范围.
1. C
设直线的倾斜角为
由斜率公式得 ,故 错误;
,故 B 错误;
由斜率可得方向向量为 是直线 方向向量,所以 正确.
直线 方程为: ,令 得 ,即直线 在 轴上截距为 错误.
2. A
抛物线 整理为标准形式 ,故焦点在 轴上,
又 的焦点坐标为 ,
由 得, ,所以此抛物线的焦点坐标为 .
故选: A.
3. D
由分布列的性质可得, ,则 ,故 A 正确;
,故 B 正确,
,故 C 正确,
,故 D 错误.
4. D
因为 为 中点,所以 ,
因为 为 中点,所以 ,
则 .
故选: D
5. B
先排 3 个奇数,有 种排法,
排完奇数后形成 4 个空,插入余下 3 个偶数,有 种排法,
但此时 0 放在首位的情况有 种,故满足条件的排法有 .
故选: B
6. C
设事件 表示“甲球员担当前锋”,事件 表示“甲球员担当中锋”,
事件 表示“甲球员担当后卫”，事件 表示“当甲球员参加比赛时，球队输球”.
则
,
所以当甲球员参加比赛时,该球队这场比赛不输球的概率为 .
7. D
由题意, 平面 平面 ,则 , 又 平面 ,于是 平面 ,
而 平面 ,则 ,
同理 ,又 平面 ,
因此 平面 平面 ,
设点 到平面 的距离为 ,
由 ,得 ,解得 ,
同理点 到平面 的距离为 ，而 ，故点 到点 的距离的最小值为
8. A
圆 ,圆心 ,半径 ,
圆 ,圆心 ,半径 ,
由 是弦 的中点,且 ,则 ,
所以 ,
故点 在以 为圆心,以 为半径的圆上.
又在圆 上存在点 恰为线段 的中点，
则两圆有公共点,可得 ,即 ,
解得 或 .
则实数 的取值范围为 .
9.
对于 ,若 ,则存在 ,使得 ,即 , 所以 ,此时方程组无解,所以 错误;
对于 ,由 ,可得 ,所以 正确;
对于 ,由 ,可得 ,所以 正确;
对于 ,由 可知 与 可构成一组基底,
若 是共面向量,则存在 ,
使得 ,
可得 ,此时方程组无解,所以 不是共面向量,故 错误.
10. ABD
对于 A: 因为 ,因此 ,故 A 正确;
对于 : 展开式中所有项的二项式系数的和为 ,故 正确;
对于 : 令 ,可得 ;
再令 ,可得 ,
将两式相加,即得展开式中所有奇数项系数的和为 ,故 错误;
对于 : 令 ,则 ,
再令 ,可得 ,
所以 ,故 D 正确.
11. ACD
对于 ,由 ,
根据椭圆的定义知,曲线 为椭圆,且 ,可得 , 则 ，所以椭圆 的方程为 ，
则当点 为短轴端点时,取得 面积的最大值为 ，所以 正确；
对于 ,由 ,根据定义可知,曲线 为双曲线,
其中 ,可得 ,则 ,即方程为 ,
当直线 斜率为 0 时,取得 ，此时直线与双曲线交于不同的两支；
当直线 斜率不存在时,通径长为 ,此时直线与双曲线交于右支两点
因为 ,所以 ,所以 错误;
对于 ,设 ,由 ,即 ,
化简得曲线 为圆,圆的方程为 ,设圆心 ,半径 ,
因为 在圆内,则当直线 与 垂直时,取到最短弦,
此时 ,所以 正确;
对于 ,设 ,由 ,即 ,
化简得 ,即曲线 的方程为 ,
整理得 ,解得 ,
因为 ,所以 ,所以 ,
又因为 ,所以 ,
所以曲线 围成的图形面积不超过 ,所以 正确.
12. 0.28
由题可得: ;
故答案为: 0.28
13.
由已知可得: ,
线段 的垂直平分线方程为 ,过 三点的圆恰与 轴相切,
所以圆心坐标为 ,圆的半径为 ,
所以经过过 三点的圆的圆的方程为 ,
在圆上,所以 ,
整理得: ,所以 ,所以 ,
化为: ,由 ,解得 .
故答案为: .
14.
一方面, 6 人前往 3 个景点, 每个景点至少有 1 人, 可分为三类:
① 各景点人数分别为 1,2,3 : 先将 6 人分为三组 (1 人,2 人,3 人), 再分配到 3 个景点, 方法数为 种;
② 各景点人数均为 2: 先将 6 人平均分为三组(2 人，2 人，2 人)，再分配到 3 个景点，方法数为 种;
③ 各景点人数分别为1,1,4:先将 6 人分为三组(1 人，1 人，4 人)，再分配到 3 个景点， 方法数为 种; 所以共有 种方法.
另一方面: 要满足每个景点至少有 1 人，甲乙不去同一个景点且丙一定去上犹可分为三类: ①甲乙去了上犹和崇义各一人，这里 种情况；
再对除甲乙丙外的 3 人使用间接法:除甲乙丙外的 3 人先不作要求任其随意选择，有 种,再减去不合题意的,即大余没有人前往的情况,有 种,
由分步乘法原理,得第①情形共有 种;
②甲乙去了上犹和大余各一人，这种情形与①相同，也是 38 种:
③甲乙去了崇义和大余各一人，这里 种情况；
由于此时每个景点都至少有一人了,所以除甲乙丙外的 3 人可以随意安排景点,有 种,由分步乘法原理,可得第③情形有 种;
最后由分类加法原理,可得三种情形共有 种:
综上, 已知每人随机只去其中一个景点, 每个景点至少有一人选择, 则甲乙不去同一个景点且丙一定去上犹“阳明湖”旅游的概率为 ,
故答案为:
15. (1)
(2) 或 .
(1) 由题意知以原点 为圆心的圆与直线 相切,
故圆的半径为 ,
故圆的方程为 .
(2)当过点 的直线斜率不存在时,为 与圆 不相切；
故过点 作圆 的切线,斜率一定存在,设方程为 ,
即 ,则 ,解得 或 ,
故切线方程为 或 .
16.
(2)
(1)由椭圆方程可得焦点坐标 ,
双曲线的渐近线方程为 ,所以 ,即 ,
又因为 ,
所以 ,则 ,
故双曲线 的方程为 ;
(2)
设 ,因为 为 的中点,所以 ,
因为两点在双曲线 上, ,
两式相减得 ,
,
则 ,
因此直线 的斜率 .
直线 的方程为 ,即 .
联立 得 ,符合题意;
经检验,直线 的方程为 .
17.(1)设实付金额为 元,则 可能的取值为 0,200,400,600,
故 的分布列为
0 200 400 600
125 12 25 64 125
所以 (元) .
(2)若选择方案一，设摸到红球的个数为 ，实付金额为 ，则 ， 由已知可得 ，故 ，
所以 (元)
若选择方案二,设实付金额为 元,则 可能的取值为 0,500,750,1000,
故 的分布列为
0 500 750 1000
7 120 7 60 49 60
所以 (元) .
所以 ,
故从实付金额的期望值分析顾客选择方案一更合理.
18.
(I) 证明: 四边形 是菱形,
为 中点.
又 ,
,
又 ,
底面 .
(II) 解: 由底面 是菱形可得 ,又由 (I) 可知 . 建立如图所示的空间直角坐标系 .
由 是边长为 2 的等边三角形, ,可得 .
所以 .
.
由已知可得 ,
设平面 的法向量为 ,
由 ,可得 ,
令 ,则 .
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ,
又 ,
.
直线 与平面 所成角的大小为 .
(III) 解: 假设存在点 满足条件,且 ,
则 .
若使 平面 ,需且仅需 且 平面 ,
由 ,解得 . 符合题意.
在线段 上存在一点 ,使得 平面 ,且 .
19. (1)
(2) (i) (ii)
(1)由题意得,离心率 ,得 ,
由题意,不妨设 ,则 ,则 ,
解得 ,故 ,
则椭圆 的方程为 .
(2)(i) 为 的中点， 到 的距离为 到 距离的一半， .
当直线 斜率不存在时, ,不合题意,
则直线 斜率存在时, ,如图所示:
设 的方程为 .
联立 ,得 ,
易知 ,故 ,
则 .
联立 ,得 ,
易知 ,故 ,
,
,解得 ,
直线 的方程为 .
(ii) 设直线 的方程为 , 由 (i) 知: ,由三角形相似关系,可得
分类讨论: ① 当点 在椭圆上或外部时,即 时, , 于是 ;
② 当点 在椭圆内部时，即 时， ，
,
令 ,则 ,
综上: 的取值范围为 .