江西省九江市武宁县武宁尚美中学2025-2026学年高一下学期开学数学试题(含解析)
文档属性
| 名称 | 江西省九江市武宁县武宁尚美中学2025-2026学年高一下学期开学数学试题(含解析) |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 198.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-12 00:00:00 | ||
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文档简介
江西省武宁县尚美中学 2025-2026 学年度下学期开学考 高一数学试卷
(考试时间 120 分钟，试卷满分 150 分)
一、单选题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的.
1. 若 ,则 ( )
A. B. C. D.
2. 设集合 ，则 “ ” 是 “ ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 关于 的不等式 有解是 “ ” 的( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充分不必要条件
4. 函数 的单调增区间是( ).
A. B.
C. D.
5. 终边落在直线 上的角 的集合为( )
A. B.
C. D.
6. 在一次随机试验中,三个事件 发生的概率分别是0.4,0.5,0.6,则下列选项正确的是 ( )
A. 是必然事件 B. 与 是互斥事件
C. D. 可能为 1.1
7. 已知函数 的定义域为 ,值域为 ,则在平面直角坐标系内,点 的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为( )
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
8. 设函数 在 上为增函数，则下列结论一定正确的是
A. 在 上为减函数 B. 在 上为增函数
C. 在 上为减函数 D. 在 上为增函数
二、多选题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 零分.
9. 已知 ,且 ,则下列式子一定成立的是( ).
A. B. C. D.
10. 设 ,函数 在区间 上有零点,则 的值可以是 ( )
A. B. C. D.
11. 已知函数 是定义域为 的可导函数， . 若 是奇函数，且 的图象关于直线 对称，则( )
A.
B. 曲线 在点 处的切线的倾斜角为
C. 是周期函数 是 的导函数
D. 的图象关于点 中心对称
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分,
12. 已知 则 _____(请用 表示结果)
13. 平行四边形 中, 是 边中点, ,点 在线段 (不包括端点)
上,若 ,则 的最小值为_____.
14. 某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家. 如果天不下雨,那么他不带雨伞. 假设每天上班和下班时下雨的概率均为 ,不下雨的概率均为 ,且与过去情况相互独立. 现在两把雨伞均在家里,那么连续上班两天,他至少有一天淋雨的概率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步 骤.
15. 已知函数 .
(1)求证: 是奇函数；
(2)求证: ；
(3)若 ,求 的值.
16. 某科研单位研制出某型号科考飞艇，一艘该型号飞艇最多只能执行 次 科考任务,一艘该型号飞艇第 1 次执行科考任务,能成功返航的概率为 ,若第 次 执行科考任务能成功返航，则执行第 次科考任务且能成功返航的概率也为 ,否则此飞艇结束科考任务.一艘该型号飞艇每次执行科考任务，若能成功返航, 则可获得价值为 万元的科考数据,且 “ ” 的概率为 0.8,“ ” 的概率为 0.2 ; 若不能成功返航，则此次科考任务不能获得任何科考数据. 记一艘该型号飞艇共可获得的科考数据的总价值为 万元.
(1)若 ， ，求 的分布列；
(2)求 (用 和 表示).
17. 已知函数 的对称轴为 且 .
(1)求b、c的值；
(2)当 时，求 的取值范围；
(3)若不等式 成立，求实数 的取值范围.
18. 已知函数 在数集 上都有定义,对于任意的 ,当 时,
或 成立,则称 是 在数集 上的限定函数.
(1)试判断函数 是否是函数 在 上的限定函数；
(2)设 是 在区间 上的限定函数且 在区间 上的值恒负，求证:函数 在区间 上是严格减函数;
(3)设 ，试写出函数 在 上的限定函数，并利用(2)的结论， 求 在 上的单调区间,并说明理由.
19. 如图,函数 的部分图象与直线 交于 两点, 点 在函数 的图象上,且 的面积为 .
(1)求函数 的解析式；
(2)设 在 上的两个零点为 ，求 的值；
(3)将函数 的图象向右平移 个单位，再向上平移 1 个单位，得到函数 的图象， 若 在 上至少有 10 个零点,求最小正整数 .
1. D
故选: D
2. A
由 ,
则 ，所以 “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件.
故选: A
3. B
若关于 的不等式 有解,
则 ,得 .
由 “ ” 可以推出 “ ”,
由 “ ” 不能推出 “ ”,
所以 “关于 的不等式 有解” 是 “ ” 的必要不充分条件.
故选: B.
4. D
函数 的定义域为 ,
又 的图象是由 向右平移 2 个单位而来,
的单调递增区间为 ,
所以 的单调递增区间为 .
故选: D
5. B
解:当角的终边落在直线 上且在第一象限时,角的集合为 ; 当角的终边落在直线 上且在第三象限时,角的集合为 .
取并集可得,终边落在直线 上的角的集合为 .
故选: .
6. C
对于 ,若 ,则 ,故 不正确;
对于 ,若 ,则 ,
此时 与 不是互斥事件，故 不正确；
对于 ,由 得 ,故 正确;
对于 ,根据概率性质 ,故 不正确.
故选: C.
7. C
作出函数 的图象如下图所示:
令 ,可得 .
由题意可得,当 时, ; 当 时, .
所以,点 的轨迹与坐标轴围成的区域为 ,
该区域是边长为 2 的正方形,其面积为 .
故选: C.
8. C
A 错,比如 在 上为增函数,但 在 上不具有单调性;
B 错,比如 在 上为增函数,但 在 上增函数,在 上为减函数;
D 错,比如 在 上为增函数,但 在 上为减函数;
故选 C
9. CD
对 ,令 ,此时满足 ,但 ,故 错;
对 ,令 ,此时满足 ,但 ,故 错;
对 ,因为 ,由不等式性质可得 ,故 正确;
对 D, 是 上的单调递增函数, 时, 成立,即 ,故 D 正确. 故选: CD
10. BD
因为 ,
所以 ,
令 ,解得 ,
因为 ,所以函数 的最小的正零点为 ,
由已知可得 ,即 .
故选: BD.
11. BCD
解: 由题意有 ,
令 ,有 ,所以 ,故 A 错;
,令 得 ,故 B 对;
为奇函数,即 ,
又因为 ,
所以 ,即 ,所以周期 ,故 对;
因为 ,所以 ,
得 ,即 关于 对称,
所以 ;
即 关于 对称,故 对.
故选: BCD.
12.
因为
所以 .
故答案为 .
13.
解: 如图所示,设 ,
所以 ,
所以 ,
因为 ，
所以
所以 .
当且仅当 时等号成立.
故答案为:
14.
“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”.
连续上班两天，上班、下班的次数共 4 次.
(1)4 次均不下雨，概率为: .
(2)有1次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为: .
(3)有2次下雨但不被淋雨，共3种情况:
①同一天上下班均下雨，②两天上班时下雨，下班时不下雨，
③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨，
概率为: .
(4)有3次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨，
概率为: .
(5)4次均下雨: .
两天都不淋雨的概率为: ,
至少有一天淋雨的概率为: .
故答案为: .
15. (1) 对于函数 ,令 ,解得 ,
所以函数 的定义域为 ,关于原点对称,
此时 ,
又 ,所以 是奇函数;
(2)证明:因为 ，
所以 ,
而 ,
成立;
(3)若 ，
则由(2)可得 ， 又 为奇函数,所以 ,即 ,
解得 .
16. (1)若 ，则 的所有取值为 0,200,400,
记一艘该型号飞艇第 次执行科考任务能成功返航为事件 ，获得价值为 200 万元的科考数据为事件 . 则
,
,
所以 的分布列为
0 200 400
0.86 0.13 0.01
(2)解法一: 取值表示的意义如下:若一艘该型号飞艇能执行第 次科考任务且在此次任务中获得价值 200 万元的科考数据,则 ,否则 .
因为 的分布列为
0 200
所以
因为 ,
所以
解法二:
(2)因为 的分布列为
0 200
0.8 0.2
所以 ,
记一艘该型号飞艇共可成功返航 次.
则 的全部取值为 ,且 的分布列为
0 1 2 ... n-1
...
所以
所以 ,
所以
所以
所以 .
17.
(2)
(3) 或
(1) 解: 二次函数 的对称轴方程为 ,可得 ,且 . 因此, .
(2)解:由(1)可知 ，当 时， .
(3)解:由 ，可得 ， 可得 或 ,解得 或 .
18. (1) 解: 对任意 ,
因为 ,
所以 在 上的限制函数为 .
(2)证明:对任意的 上恒为负值，所以 ,
由于 或 成立,
所以 ,不妨设 ,则 ,
所以 在 上是严格减函数;
(3)解:设 ，
则 ,
所以 ,即 ,
由 ,解得 ,
因而当 , 严格减,
即 的严格增区间是 .
当 时, 严格增,
即 的严格减区间是 .
故函数 在 上的限定函数为 的严格增区间是 , 的严格减区间是 .
19. (1) ;
(2) ;
(3)10.
(1)因为 ,得到 ,
所以 的一条对称轴为 ,
此时 ,则 ,从而解得 ,
又 ,且 ,得 .
从而 ;
(2)由题意得 ，
令 ,得到 ,
因为 ,
所以 ,解得 ,
从而 ;
(3)根据图象平移得 ，
令 ,则 或 ,
由 在 上至少有 10 个零点,易知 ,则 ,
所以 ,又 为正整数,故最小正整数 为 10 .
(考试时间 120 分钟，试卷满分 150 分)
一、单选题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的.
1. 若 ,则 ( )
A. B. C. D.
2. 设集合 ，则 “ ” 是 “ ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 关于 的不等式 有解是 “ ” 的( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充分不必要条件
4. 函数 的单调增区间是( ).
A. B.
C. D.
5. 终边落在直线 上的角 的集合为( )
A. B.
C. D.
6. 在一次随机试验中,三个事件 发生的概率分别是0.4,0.5,0.6,则下列选项正确的是 ( )
A. 是必然事件 B. 与 是互斥事件
C. D. 可能为 1.1
7. 已知函数 的定义域为 ,值域为 ,则在平面直角坐标系内,点 的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为( )
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
8. 设函数 在 上为增函数，则下列结论一定正确的是
A. 在 上为减函数 B. 在 上为增函数
C. 在 上为减函数 D. 在 上为增函数
二、多选题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 零分.
9. 已知 ,且 ,则下列式子一定成立的是( ).
A. B. C. D.
10. 设 ,函数 在区间 上有零点,则 的值可以是 ( )
A. B. C. D.
11. 已知函数 是定义域为 的可导函数， . 若 是奇函数，且 的图象关于直线 对称，则( )
A.
B. 曲线 在点 处的切线的倾斜角为
C. 是周期函数 是 的导函数
D. 的图象关于点 中心对称
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分,
12. 已知 则 _____(请用 表示结果)
13. 平行四边形 中, 是 边中点, ,点 在线段 (不包括端点)
上,若 ,则 的最小值为_____.
14. 某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家. 如果天不下雨,那么他不带雨伞. 假设每天上班和下班时下雨的概率均为 ,不下雨的概率均为 ,且与过去情况相互独立. 现在两把雨伞均在家里,那么连续上班两天,他至少有一天淋雨的概率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步 骤.
15. 已知函数 .
(1)求证: 是奇函数；
(2)求证: ；
(3)若 ,求 的值.
16. 某科研单位研制出某型号科考飞艇，一艘该型号飞艇最多只能执行 次 科考任务,一艘该型号飞艇第 1 次执行科考任务,能成功返航的概率为 ,若第 次 执行科考任务能成功返航，则执行第 次科考任务且能成功返航的概率也为 ,否则此飞艇结束科考任务.一艘该型号飞艇每次执行科考任务，若能成功返航, 则可获得价值为 万元的科考数据,且 “ ” 的概率为 0.8,“ ” 的概率为 0.2 ; 若不能成功返航，则此次科考任务不能获得任何科考数据. 记一艘该型号飞艇共可获得的科考数据的总价值为 万元.
(1)若 ， ，求 的分布列；
(2)求 (用 和 表示).
17. 已知函数 的对称轴为 且 .
(1)求b、c的值；
(2)当 时，求 的取值范围；
(3)若不等式 成立，求实数 的取值范围.
18. 已知函数 在数集 上都有定义,对于任意的 ,当 时,
或 成立,则称 是 在数集 上的限定函数.
(1)试判断函数 是否是函数 在 上的限定函数；
(2)设 是 在区间 上的限定函数且 在区间 上的值恒负，求证:函数 在区间 上是严格减函数;
(3)设 ，试写出函数 在 上的限定函数，并利用(2)的结论， 求 在 上的单调区间,并说明理由.
19. 如图,函数 的部分图象与直线 交于 两点, 点 在函数 的图象上,且 的面积为 .
(1)求函数 的解析式；
(2)设 在 上的两个零点为 ，求 的值；
(3)将函数 的图象向右平移 个单位，再向上平移 1 个单位，得到函数 的图象， 若 在 上至少有 10 个零点,求最小正整数 .
1. D
故选: D
2. A
由 ,
则 ，所以 “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件.
故选: A
3. B
若关于 的不等式 有解,
则 ,得 .
由 “ ” 可以推出 “ ”,
由 “ ” 不能推出 “ ”,
所以 “关于 的不等式 有解” 是 “ ” 的必要不充分条件.
故选: B.
4. D
函数 的定义域为 ,
又 的图象是由 向右平移 2 个单位而来,
的单调递增区间为 ,
所以 的单调递增区间为 .
故选: D
5. B
解:当角的终边落在直线 上且在第一象限时,角的集合为 ; 当角的终边落在直线 上且在第三象限时,角的集合为 .
取并集可得,终边落在直线 上的角的集合为 .
故选: .
6. C
对于 ,若 ,则 ,故 不正确;
对于 ,若 ,则 ,
此时 与 不是互斥事件，故 不正确；
对于 ,由 得 ,故 正确;
对于 ,根据概率性质 ,故 不正确.
故选: C.
7. C
作出函数 的图象如下图所示:
令 ,可得 .
由题意可得,当 时, ; 当 时, .
所以,点 的轨迹与坐标轴围成的区域为 ,
该区域是边长为 2 的正方形,其面积为 .
故选: C.
8. C
A 错,比如 在 上为增函数,但 在 上不具有单调性;
B 错,比如 在 上为增函数,但 在 上增函数,在 上为减函数;
D 错,比如 在 上为增函数,但 在 上为减函数;
故选 C
9. CD
对 ,令 ,此时满足 ,但 ,故 错;
对 ,令 ,此时满足 ,但 ,故 错;
对 ,因为 ,由不等式性质可得 ,故 正确;
对 D, 是 上的单调递增函数, 时, 成立,即 ,故 D 正确. 故选: CD
10. BD
因为 ,
所以 ,
令 ,解得 ,
因为 ,所以函数 的最小的正零点为 ,
由已知可得 ,即 .
故选: BD.
11. BCD
解: 由题意有 ,
令 ,有 ,所以 ,故 A 错;
,令 得 ,故 B 对;
为奇函数,即 ,
又因为 ,
所以 ,即 ,所以周期 ,故 对;
因为 ,所以 ,
得 ,即 关于 对称,
所以 ;
即 关于 对称,故 对.
故选: BCD.
12.
因为
所以 .
故答案为 .
13.
解: 如图所示,设 ,
所以 ,
所以 ,
因为 ，
所以
所以 .
当且仅当 时等号成立.
故答案为:
14.
“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”.
连续上班两天，上班、下班的次数共 4 次.
(1)4 次均不下雨，概率为: .
(2)有1次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为: .
(3)有2次下雨但不被淋雨，共3种情况:
①同一天上下班均下雨，②两天上班时下雨，下班时不下雨，
③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨，
概率为: .
(4)有3次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨，
概率为: .
(5)4次均下雨: .
两天都不淋雨的概率为: ,
至少有一天淋雨的概率为: .
故答案为: .
15. (1) 对于函数 ,令 ,解得 ,
所以函数 的定义域为 ,关于原点对称,
此时 ,
又 ,所以 是奇函数;
(2)证明:因为 ，
所以 ,
而 ,
成立;
(3)若 ，
则由(2)可得 ， 又 为奇函数,所以 ,即 ,
解得 .
16. (1)若 ，则 的所有取值为 0,200,400,
记一艘该型号飞艇第 次执行科考任务能成功返航为事件 ，获得价值为 200 万元的科考数据为事件 . 则
,
,
所以 的分布列为
0 200 400
0.86 0.13 0.01
(2)解法一: 取值表示的意义如下:若一艘该型号飞艇能执行第 次科考任务且在此次任务中获得价值 200 万元的科考数据,则 ,否则 .
因为 的分布列为
0 200
所以
因为 ,
所以
解法二:
(2)因为 的分布列为
0 200
0.8 0.2
所以 ,
记一艘该型号飞艇共可成功返航 次.
则 的全部取值为 ,且 的分布列为
0 1 2 ... n-1
...
所以
所以 ,
所以
所以
所以 .
17.
(2)
(3) 或
(1) 解: 二次函数 的对称轴方程为 ,可得 ,且 . 因此, .
(2)解:由(1)可知 ，当 时， .
(3)解:由 ，可得 ， 可得 或 ,解得 或 .
18. (1) 解: 对任意 ,
因为 ,
所以 在 上的限制函数为 .
(2)证明:对任意的 上恒为负值，所以 ,
由于 或 成立,
所以 ,不妨设 ,则 ,
所以 在 上是严格减函数;
(3)解:设 ，
则 ,
所以 ,即 ,
由 ,解得 ,
因而当 , 严格减,
即 的严格增区间是 .
当 时, 严格增,
即 的严格减区间是 .
故函数 在 上的限定函数为 的严格增区间是 , 的严格减区间是 .
19. (1) ;
(2) ;
(3)10.
(1)因为 ,得到 ,
所以 的一条对称轴为 ,
此时 ,则 ,从而解得 ,
又 ,且 ,得 .
从而 ;
(2)由题意得 ，
令 ,得到 ,
因为 ,
所以 ,解得 ,
从而 ;
(3)根据图象平移得 ，
令 ,则 或 ,
由 在 上至少有 10 个零点,易知 ,则 ,
所以 ,又 为正整数,故最小正整数 为 10 .
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