江西省武宁县尚美中学 2025-2026 学年度下学期开学考 高三数学试卷
(考试时间 120 分钟，试卷满分 150 分)
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项 中, 只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知全集 ,则 ( )
A. B. C. D.
2. 是虚数单位,
A. B. C. D.
3. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 为坐标原点,点 在椭圆 上且位于第一象限,直线 与椭圆 的另一个交点为 ,直线 与椭圆 的另一个交点为 . 若直线 平行于 轴,且 ,则椭圆 的离心率为 ( )
A. B. C. D.
4. 锐角 中,角 所对边分别为 ,若 ,则 范围为( )
A.
B.
C.
D.
5. 已知 ,若 ,则 ( )
A. 在区间 内递减 B. 在区间 内递减
C. 在区间 内递增 D. 在区间 内递增
6. 已知角 的顶点为坐标原点,始边与 轴的非负半轴重合,终边上一点 ,则
A. B.
C. D.
7. 已知函数 ， 的定义域均为 ， 是奇函数，且 ， ，则下列结论正确的是( )
A. 为奇函数
B. 为奇函数
C.
D.
8. 在正四面体 中,点 在棱 上,满足 ，点 为线段 上的动点， 则( )
A. 存在某个位置,使得
B. 存在某个位置,使得
C. 存在某个位置,使得直线 与平面 所成角的正弦值为
D. 存在某个位置,使得平面 与平面 夹角的余弦值为
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分, 在每小题给出的四个选项 中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错 的得零分.
9. 甲、乙两班参加某次数学调研测试, 相关统计数据如下表所示(满分 150 分, 120 分以上为优秀), 则下列结论正确的是 ( )
班级 考试人数 中位数 平均数 方差
甲 55 119 112 18
乙 56 121 112 10
A. 甲、乙两班学生成绩的平均数相同
B. 甲班成绩波动比乙班成绩波动大
C. 甲班优秀的人数少于乙班优秀的人数
D. 甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数
10. 对于函数 ,下列说法错误的是 ( )
A. 函数 的值域是
B. 当且仅当 时,
C. 当且仅当 时，函数 取得最大值 1
D. 函数 是以 为最小正周期的周期函数
11. 已知函数 ,过点 作曲线 的切线交 轴于点 ,过点 作曲线 的切线交 轴于点 ,依此类推,得到 ,则 ( )
A. 数列 是等差数列
B. 当 且 时,
C.
D. 记 的面积为 ,则
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分,
12. 已知 中， ， ， ， ， ，则 _____.
13. 已知 , 为圆 的两条互相垂直的弦,垂足为 ,则四边形 的面积的最大值为_____.
14. 数字 10 在中华传统文化中有着“十全十美”的美好寓意, 现有甲乙两人拟使用扑克牌来拼凑数字 10，事先准备好红桃纸牌 10 张，分别含有数字 2 至数字 10，以及一张字母角. 为了计数的方便,两人约定字母 代表数字 1,现两人轮流从纸牌中不放回地随机抽取一张纸牌, 当有一人所抽数字总和为 10 时, 则结束游戏, 此人获胜. 若甲先抽, 则甲取三次纸牌即获胜的概率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算 步骤.
15. 如图①所示，四边形 是直角梯形， ， ，且 为线段 的中点. 现沿着 将 折起,使 点到达 点, 如图②所示；连接 ，其中 为线段 的中点.
①
②
(1)求证: ；
(2)若二面角 的大小为 ，则在线段 上是否存在一点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 若存在，求三棱锥 的体积；若不存在，请说明理由；
(3)在(2)的条件下，求点 到平面 的距离.
16. 已知等差数列 满足 ; 等比数列 的前 3 项和为 7,前 6 项和为 63 . (1)求 和 的通项公式；
(2)若 ，求 的前 项和.
17. 某工厂在两个车间 内选取了 12 个产品,它们的某项指标分布数据的茎叶图如图所示, 该项指标不超过 19 的为合格产品.
7 8 1 9 1 8 0 1 123 7 8 0 1
(1)从选取的产品中在两个车间分别随机抽取 2 个产品，求两车间都至少抽到一个合格产品的概率;
(2)若从车间 选取的产品中随机抽取 2 个产品，用 表示车间 内产品的个数，求 的分布列与数学期望.
18. 已知双曲线 的离心率为 .
(1)求双曲线 的方程.
(2)直线 与该双曲线 交于不同的两点 ，且 两点都在以
点 为圆心的同一圆上,求 的取值范围.
19. 已知函数 .
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)已知 ， 为曲线 上任意两点，且 ， 关于点 对称.
(i) 求 的取值范围;
(ii) 若 ,求 的取值范围.
1. C
因为 , 所以 .
故选: C.
2. D
由题意得, ,故选 D.
3.
由椭圆的对称性,知点 与点 关于原点对称.
因为直线 平行于 轴,所以点 与点 关于 轴对称,
所以点 与点 关于 轴对称,即 垂直于 轴,所以可设
将 代入椭圆方程得 ,即 .
又 ,所以 .
又 ,所以 ,即 ,
所以椭圆 的离心率 .
故选: B.
4. A
因为 ,所以 ,
由余弦定理得: ,
所以 ,所以 ,
由正弦定理得 ,因为 ,
所以 ,
即 ,
因为 是锐角三角形,所以 ,
所以 ,即 ,
所以 ,解得 ,
则 ,
因为 ,所以 ,
故选: A.
5. A
令 ,则 ,因为 ,故 ,
易知, 在 上单调递减,在 上单调递增,
又易知, 在 上单调递增,在 上单调递减,
由 ,得到 或 ,由 ,得到 ,
因为 在区间 上单调递增,此时 ,且 在区间 上单调递减,
故由复合函数的单调性知, 在区间 上单调递减,
因为 在区间 上单调递减,此时 ,且 在区间 上单调递减，
故由复合函数的单调性知， 在区间 上单调递增，
又因为 在区间 上单调递增,此时 ,且 在区间 上单调递增,
故由复合函数的单调性知, 在区间 上单调递增,
因为 在区间 上单调递减,此时 ,且 在区间 上单调递增,
故由复合函数的单调性知, 在区间 上单调递减,
故选: A.
6. A
由三角函数定义得 ,即 ,得 , 解得 或 (舍去)
故选 A
7. D
由 是奇函数,知 的图象关于点 对称,
所以 ,所以 .
因为 ,所以 ,所以 .
因为 ,所以 ,所以 .
则 ,所以 ,所以 为偶函数,则 也为偶函数,故 项错误.
由 ,得 ,所以 ,故 项错误.
因为 ,所以 ,所以函数 的周期为 4 .
由 ,得 ,所以 . 因为 ,所以 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,故 正确.
故选: D.
8. C
如下图所示,设正四面体 的底面中心为点 ,连接 ,则 平面 ,
以点 为坐标原点, 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系,
设正四面体 的棱长为 2,
则 ,
设 ,其中 ,
对于 ,若存在某个位置使得 ,
所以 ,解得 ,不满足题意,故 错误;
对于 ,若存在某个位置使得 ,
则 ,该方程无解,故 B 错误;
对于 ,设平面 的一个法向量为 ,
由 ,令 ,则 , 若存在某个位置,使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ,又 ,
则 ,
整理得 ,解得 或 (舍去),
所以存在 ,即 为 的中点,满足题意,故 正确;
对于 ,设平面 的一个法向量为 ,
又 ,
由 ,取 ,得 ,
设平面 的一个法向量为 ,
由 ,取 ,则 ,
若存在某个位置,使得平面 与平面 夹角的余弦值为 ,
则 ,
整理得 ,易得 ,所以该方程无解,故 错误.
故选: C.
9.
对于 A 选项, 甲、乙两班学生成绩的平均数均为 112 分, A 对;
对于 B 选项，甲班成绩的方差大于乙班成绩的方差，故甲班成绩波动比乙班成绩波动大，B 对;
对于 选项，甲班人数为 55 人，且甲班成绩的中位数为 119 分，故甲班优秀的人数小于或等于 27 ,
乙班人数为 56 人，且乙班成绩的中位数为 121 分，这说明乙班优秀的人数至少为 28，
所以,甲班优秀的人数少于乙班优秀的人数, C 对;
对于 选项，由题表看不出两班学生成绩的众数， 错.
故选: ABC.
10. ACD
解: 由函数 ,
则 ,
作出函数 的图象 (实线部分),
观察图象的性质有: 函数 的值域为 ,即选项 错误,
当且仅当 时, ,即选项 正确,
当且仅当 时,函数 取得最大值 ,即选项 错误,
函数 是以 为最小正周期的周期函数,即选项 错误,
故选: ACD.
11. ABD
由函数 ,得 .
对于 : 过点 作曲线 的切线为: .
又因为切线交 轴于 ,代入上述切线,得 ,
即 ,
故数列 是等差数列,所以 正确;
对于 : 由上可知 ,即 . 又 ,
所以 .
要证 ,只需证明: ,
令 .
当 时， 单调递减；当 时， 单调递增；
所以函数 ,所以 恒成立, 故 成立,所以 正确;
对于 ,
同理 .
由数列 是等差数列,设公差为 .
所以 .
所以
即 ,故 错误;
对于 D: 因为 中, ,
所以三角形底边长为 ,高为 ,
所以三角形的面积 ,
同理 ,且数列 是等差数列, .
所以
,故 D 正确.
故选: ABD.
12.
由题意可知: ,
所以
.
故答案为:
13. 13
如图,连接 ,作 垂足分别为 ,因为 ,所以四边形 为矩形,由已知可得 ,设圆心 到 的距离分别为 ,则 ,因此四边形 的面积为 ,当且仅当 时,等号成立.
14.
由题设, 抽牌顺序依次为甲乙甲乙甲, 把它看成一排对应 abcde 共 5 个数字,
由甲取三次纸牌即获胜,则 不可能为 10, 不可能为 10,且 ,
,
由题意, 的情况有 ,
对于其中任意情况甲抽取数字的方式均有 种,乙在余下的 7 个数字中选 2 个数字,
当 由 组成,若 时 有 6 种,若 时,即从 中选有 种, 此时满足题设的 情况有 种,
当 由 组成,若 时 有 6 种,若 时,即从 中选有 种, 此时满足题设的 情况有 种,
当 由 组成,若 时 有 6 种,若 时,即从 中选有 种,此时满足题设的 情况有 种,
当 由 组成,若 时 有 6 种,若 时,即从 中选有 种,此时满足题设的 情况有 种,
综上,满足要求的 的情况有 种,
又 的所有情况有 种,
所以甲取三次纸牌即获胜的概率为 .
故答案为:
15. (1)在图①中，由题知:四边形 为正方形，且 ；
则在②中， ， ，且 平面 ，
则 平面 ;
又 平面 ,又 平面 ;
又 ,且 为 的中点,则 ;
又 平面 ,
则 平面 ,又 平面 .
(2)由(1)知: 平面 ， 平面 ，
则平面 平面 ；
由题知: 二面角 的平面角为 ,则 ,
则 是等边三角形,则 ;
取 的中点为 ,连接 ,则 ,
又平面 平面 平面 ,
所以 平面 ,且 ,
则可以建立如图所示的空间直角坐标系;
则 ,
则 ,
设 ,
则 ,
设平面 的一个法向量为 ,
则 ,则 ,
令 ,则 ,
记直线 与平面 所成角为 ,
则 ,
即 ,解得 ,
因此 ,则 .
(3)由(2)知: ，
则平面 的一个法向量可以为 ,且 ,
则点 到平面 的距离为 .
16. (1)
(2)
(1)设等差数列 的公差为 ,则 ，解得 .
所以 ;
设等比数列 的公比为 ,
若 ,则 ,显然无解,所以 .
所以 ,所以 ,解得 ,所以 .
所以 .
综上 的通项公式为 的通项公式为 .
(2)设数列 的前 项和为 ，则
因为 ,
所以 .
即 的前 项和为 .
17. (1)由茎叶图知,车间 内合格的产品数为 4,车间 内合格的产品数为 2, 则所求概率 .
(2)由题意知， 的所有可能取值为 0,1,2 .
则 ,
所以 的分布列为所以 .
0 1 2
14 33 16 3
18. (1) ；(2) 或
(1) 依题意 解得: .
所以双曲线 的方程为: .
(2)由 ，消去 得: ，
由已知: ,且 ①
设 的中点 ,
则 ,因为 ,
所以 ,
整理得: ②
联立①②得: ，所以 或 ，又 ，
所以 ,因此 或 .
19. (1) 在区间 单调递减,在 单调递增.
(2) (i) ; (ii) .
(1) 由 可得 ,其定义域为 ;
易知 ,
记 ,
则 ,所以 在 单调递增.
又 ,因此 时, 时, ;
所以 在区间 单调递减,在 单调递增.
(2)(i)由题意可得 .
由对称性,不妨设 ,则 .
又 ,即 .
记 ,则 ,
又 ,所以 ,
所以 在区间 上单调递增,所以 ,即 .
下面证明 ,即证 有解,
记 ,则 ,
取 ,则 ,
所以 ,使得 ,所以 .
(ii) 由题意可得 ,即 .
记 ,
则 .
记 ,
所以 在区间 上单调递增,所以 ,
即 ,即 ,即 .
若 ,则 ,
所以 在区间 上单调递减,所以 ,符合题意.
若 时, ,
所以 在 单调递增,所以 ,不符合题意.
综上所述， .
