江西省九江市永修县第一中学2025-2026学年高一下学期开学数学试题(含解析)

永修一中 2026 春季学期高一数学开学考试
一、单选题(本题共 8 小题，共 40 分)
1. 下列函数相等的是 ( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
2. 若正实数 满足 ,则 的( )
A. 最大值为 9 B. 最小值为 9
C. 最大值为 8 D. 最小值为 8
3. 已知函数 的定义域为 ,则函数 的定义域是( )
A. B. C. D.
4. 函数 的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
5. 已知函数 图象关于 轴对称,且 在 上单调递减,则 , 大小关系是( )
A. B.
C. D.
6. 甲乙两人独立地破译一份密码,已知两人能破译的概率分别为 ,则密码被成功破译的概率为( )
A. B. C. D.
7. 若 ,则 ( )
A. B. C. D.
8. 函数 的部分图像大致为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题(本题共 3 小题, 共 18 分)
9. 若 ,则下列说法正确的是 ( )
A. 若事件 相互独立,则事件 也互斥B. 若事件 相互独立,则事件 不互斥
C. 若事件 互斥,则事件 也相互独立D. 若事件 互斥,则事件 不相互独立
10. 下列命题为真命题的是( )
A. 函数 和 的图象关于直线 对称
B. 若函数 ,则函数 的最小值为 0
C. 若函数 在 上单调递减,则
D. 若函数 ,都有
11. 已知函数 ,若方程 有六个相异实根,则实数 可能的取值为( )
A. -2 B. -1
C. D.
三、填空题(本题共 3 小题, 共 15 分)
12. 函数 的定义域为_____.
13. 已知幂函数 的图象在 上单调递减,则 的取值为_____.
14. 已知在一次随机试验 中,定义两个随机事件 ,且 , ，则 _____.
四、解答题(本题共 3 小题，共 48 分)
15. 设集合 .
(1)若 ，求 ；
(2)当 时，若“ ”是“ ”的必要不充分条件，求实数 的取值范围.
16. 化简与计算
(1) ;
(2) .
17. 已知 是定义在 上的奇函数,且 .
(1)求实数 的值；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
18. 开展主题为“贯彻新发展理念，建设节水型城市”的用水宣传周活动，为了解活动开展成效, 某街道办事处工作人员赴一小区调查住户的节约用水情况, 随机抽取了 200 名业主进行节约用水调查评分,将得到的分数分成 6 组: , ，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求 的值，并估计这 200 名业主评分的众数和中位数；
(2)若先用分层抽样的方法从评分在 这 5 位业主中任意选取 2 人作进一步访谈: 求这 2 人中至少有 1 人的评分在 的概率.
19. 已知函数 .
(1)当 时，判断函数 的奇偶性并证明;
(2)给定实数 且 ，问是否存在直线 ，使得函数 的图像关于直线 对称 若存在,求出 的值 (用 表示); 若不存在,请说明理由.
1. D
A: 的定义域为 的定义域为 ,即函数不相等;
B: 的定义域为 的定义域为 ,即函数不相等;
C: 的定义域为 的定义域为 ,即函数不相等;
D: 的定义域和对应法则都相等,即函数相等.
故选: D
2. B
因为正实数 满足 ,
所以 ,
当且仅当 ,即 取等号,
所以 的最小值为 9,无最大值.
故选: B
3. B
令 ,
函数 的定义域为 ,
,即 ,
解得 ,
所以函数 的定义域是 .
故选: B.
4. C
解: 令 ,则 ,
因为 在 上单调递增,在 上单调递减,
在定义域内为减函数,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增,
故选:
5.
由 ,得 ,
由对数函数的单调性可知: ,
由换底公式可得: ,则 ,
再由指数函数的单调性可知: ,
因此 ,
而函数 在 上单调递减,
所以有 ,
即 .
故选: D.
6.
结合独立事件概率的乘法公式可得密码未被成功破译的概率 , 则根据对立事件的概率和为 1,可知密码被成功破译的概率为 ,
故选: B.
7. A
由 得 ,
令 ,
为 上的增函数, 为 上的减函数, 为 上的增函数,
,则 ,故 ,
,则 正确, 错误;
与 1 的大小不确定,故 无法确定.
8. D
因为 ,又函数的定义域为 ,故 为奇函数, 排除 ;
根据指数函数的性质, 在 上单调递增,当 时, ,故 ,则 ,排除 .
故选: D
9. BD
对于 ,若事件 相互独立,则 ,
所以事件 不互斥,故 错误, 正确;
对于 ,若事件 互斥,则 ,又 ,
所以 ,则事件 不相互独立,故 错误, 正确.
故选: BD.
10. BC
对于 ,设 为函数 的图象上关于直线 对称的函数图象上一点,
则 的图象经过 关于直线 对称的点 ,
代入得 的图象关于直线 对称的函数为 ,故 A 错误;
对于 ,可得 ,
则函数 的最小值为 0,故 正确;
对于 ,因为函数 在 上单调递减,则 , 所以 ,可得 ,故 正确; 对于 ,因为 ,当且仅当 等号成立,故 错误. 故选: BC.
11. BD
的图像如图所示:
则要使方程 有六个相异实根即使 在 上有两个相异实根;
则 解得: .
故选: BD.
12. 且
要使函数函数 有意义,
需满足 ,解得 且 ,
故函数 的定义域为 且 ,
故答案为: 且
13. 1
由幂函数定义得 ,解得 或 ,
当 时, ,利用幂函数性质知: 在 上单调递减;
当 时, ,利用幂函数性质知: 在 上单调递增,不符题意舍去.
综上, 的取值为 1 .
故答案为: 1 .
14.
由 . 故答案为: 0.8
15. (1)
(2)
(1) ,
当 时, ,
所以 ,
;
(2) ，且当 时， ，
,
又“ ” 是 “ ” 的必要不充分条件,
,
故实数 的取值范围为 .
16.
(2)2
(1) 原式 ;
(2)原式 .
17.
(2)
(1) 由题意 ,解得 ,则 , 经检验: ,故 .
(2)设 上任意实数 ，且 ，
则 ,
所以 在 上是增函数,
则 ,故 .
解得 .
18. ; 众数为 87.5 ; 中位数为 85 ;
(2) .
(1) 第三组的频率为 ,
,
众数为 ,
又第一组的频率为 ,第二组的频率为 ,第三组的频率为 0.200, 前三组的频率之和为 ,
这 200 名业主评分的中位数为 85 ;
(2)由频率分布直方图，知评分在 的人数与评分在 的人数的比值为 ， 采用分层抽样法抽取 5 人，评分在 的有 3 人，评分在 有 2 人， 设评分在 的 3 人分别为 ; 评分在 的 2 人分别为 , 从 5 人中任选 2 人的所有可能情况共 10 种: ,
其中选取的 2 人中至少有 1 人的评分在 的情况有: , 共 7 种.
故这 2 人中至少有 1 人的评分在 的概率为 .
19.解: (1) 当 时, ,函数 为偶函数,证明如下:
又函数的定义域为 ,
函数 为偶函数;
(2)假设存在直线 ，使得函数 的图像关于直线 对称，
则 ,
,
即 ,即 ,
,即 ,
,
,即 ,
且 ,
,
故存在 ,使得函数 的图像关于直线 对称.