江西赣州市龙南市阳明中学 2025-2026 学年高一下学期开学 测试数学试题
一、单项选择题 (本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四 个选项中, 只有一项是符合题目要求的)
1. 已知命题 ,则 是( )
A. B.
C. D.
2. 设集合 ，函数 的定义域为 ，则 为( )
A. B. C. D.
3. 函数 零点存在的区间为( )
A. B. C. D.
4. 某校高一组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，高一 1500 名学生每人都参加且只参加其中一个社团，学校从这 1500 名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图不完整的两个统计图:
则估计该校参加舞蹈社团的学生人数为( )
A. 300 B. 225 C. 150 D. 40
5. 设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
6. 已知函数 的值域为 ,则实数 的取值范围是
( )
A. B. C. D.
7. 若函数 在 上是单调函数,且满足对任意 ,都有 ,则 ( )
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
8. 已知 ,则以下关于 的大小关系正确的是 ( )
A. B. C. D.
二、多项选择题 (本大题共 3 个小题, 每小题 6 分, 共 18 分, 在每个给出的四 个选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 从装有大小和形状完全相同的 2 个红球和 3 个黑球的口袋内任取 2 个球, 下列各对事件中, 互斥而不对立的是
A. “至少一个红球”和“都是红球”
B. “恰有一个红球”和“都是红球”
C. “恰有一个红球”和“都是黑球”
D. “至少一个红球”和“都是黑球”
10. 已知定义在 上的函数 在 上单调递增,且 为偶函数,则()
A. 在 上单调递增 B. 图象的对称轴为直线
C. D. 不等式 的解集为
11. ,下列说法正确的有( )
A. 的减区间为
B. 的值域为
C. 若 有 3 个零点,则
D. 若 有 5 个零点,则
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 当 且 时，函数 的图象一定经过定点_____
13. 已知 ,若 ,则 _____.
14. 若函数 在区间 有且仅有一个零点，则实数 的取值范围是_____.
四、解答题(共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. ( 1 )求值: ；
(2)已知 ，求 的值.
16. 设命题 ,不等式 恒成立; 命题 ,使得不等式 成立.
(1)若 为真命题，求实数 的取值范围.
(2)若命题 有且只有一个是真命题，求实数 的取值范围.
17. (1)下表为 12 名毕业生的起始月薪:
毕业生 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
起始月薪 2850 2950 3050 2880 2775 2710 2890 3130 2940 3325 2920 2880
根据表中所给的数据, 求这组数据的 75% 分位数;
(2)从某企业的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图,求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 (同一组数据用该区间的中点值作代表).
18. 已知定义在 上的函数 满足 ,且 ,
(1)求 的值；
(2)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
(3) 设 ,若对任意的 ,存在 ,使得 , 求实数 的取值范围.
19. 若函数 对定义域内的每一个值 ,在其定义域内都存在唯一的 ,使 成立，则称该函数为“依赖函数”.
(1)判断函数 是否为“依赖函数”，并说明理由;
(2)若函数 在定义域 上为“依赖函数”，求 的取值范围；
(3)已知函数 在定义域 上为 “依赖函数”. 若存在实数 ，使得对任意的 ,不等式 都成立,求 的最大值.
1. B
命题 ,则 是 .
故选: B.
2.
要使 有意义,需满足 ,解得 ,
所以 ,
又集合 ,所以 .
故选: D.
3. B
函数 单调递增,
且 ,
函数 在 连续不断,
所以函数 零点存在的区间为 .
4. A
由条形图得合唱人数为 70, 演讲人数为 30, 由饼状图得合唱人数占比 35%, 因此演讲人数占比为 ,舞蹈人数占比为 , 用样本估计总体,估计该校参加舞蹈社团的人数为 .
故选: A.
5. A
函数 在 上单调递减,且 在区间 上单调递减,
函数 在区间 上单调递增,
,即 ,
的取值范围是 .
故选: A
6. C
当 时,可知 的值域为 ,
设 的值域为 ,依题意得 .
当 时, 在 上单调递减,
即当 时, ,不符合题意;
当 时, 在 上单调递增,
即当 时, ,可得 ,解得 ;
综上所述: 实数 的取值范围是 .
故选: C.
7. D
对任意 ,都有 ,且函数 在 上是单调函数, 为常数,
设 ,则 ,
,
与 在 上单调递增,
有唯一解,解得 ,
.
故选: D.
8. D
由 ,令 ,则 在定义域内单调性递增,且
由零点存在性定理可得 ,
,
又 ,因此 ,
,可得 ,
,
.
故选: D
9. BC
解: 从装有大小和形状完全相同的 2 个红球和 3 个黑球的口袋内任取 2 个球,
在 中,“至少一个红球”和“都是红球”能同时发生,不是互斥事件,故 错误;
在 中,“恰有一个红球”和“都是红球”不能同时发生,是互斥而不对立事件,故 正确; 在 中,“恰有一个红球”和“都是黑球”不能同时发生,是互斥而不对立事件,故 正确; 在 中,“至少一个红球”和“都是黑球”是对立事件,故 错误.
故选: .
10. BCD
因为 为偶函数,所以 ,
所以 图象关于直线 对称,又函数 在 上单调递增,
所以 在 上单调递减,故 错误, 正确;
因为 在 上单调递减,所以 ,故 正确;
由不等式 结合 的对称性及单调性,得 ,
即 ,即 ,解得 或 ,
所以不等式 的解集为 ,故 正确,
故选: BCD.
11. BCD
函数 的草图如下:
由图象可知: 函数 的减区间为 和 两个,不能用 “并集”符号连接,故 A 错误;
函数值域为 ,故 正确;
若 有 3 个零点,则 ,故 正确;
对 D: 结合函数草图: 由 或 ;
由 或 ,解得: 或 或 .
设 ,由题意方程 有 5 个不同的根.
由 ,
若 ,则 只有 1 解,且 ,此时方程 有 3 个解;
若 ,则 有 2 解,且 或 ,
此时方程 有 3 个解,方程 也有 3 个解,所以方程 有 6 个解;
若 ,则 有 3 解,且 ,
此时方程 有 1 个解,方程 有 3 个解,方程 也有 3 个解,所以方程 有 7 个解;
若 ,则 有 3 解,且 或 或 ,
此时方程 有 1 个解,方程 有 3 个解,方程 有 和 两个解,所以方程 有 6 个解;
若 ,则 有 3 解,且 ,
此时方程 有 1 个解,方程 有 3 个解,方程 有 1 个解,所以方程
有 5 个解;
若 ,则 有 2 解,且 或 ,
此时方程 有 共 2 个解,方程 有 1 个解,所以方程 有 3 个解;
若 ,则 有 1 解,且 ,此时方程 至多有 1 个解.
综上: 若 有 5 个零点,则 . 故 正确.
故选: BCD
12.
令 ,可得当 时, ,所以图象一定经过定点 . 故答案为: .
13. -1
由 得 ,所以 ,
所以 或 ,解得 .
故答案为: -1
14. 或
因为函数 在区间 有且仅有一个零点,即 在区间 有且仅有一个零点,
所以 在区间 没有解或恰有一解 ,
① 时， 在区间 无解，合题意；
② 且 时，需满足 ，即 ；
③ 时， 在区间 恰有一解 ，满足题意.
综上可知,实数 的取值范围是 或 ,
故答案为: 或
15.
(1)原式
(2)因为 ，所以
所以 ,
则 .
16.
(2)
( 1 )要使 恒成立,需 . 函数 在 上单调递增,当 时, .
因此有 ,即 ,解得 .
即
( 2 )当 为真命题时，对于二次函数 ，其图象对称轴为 ，
在区间 上有 ,
则 ,
故 成立等价于 ,
即 ,
若命题 真 假,结合 (1) 可知 且 ,故 ,
若命题 真 假,结合 (1) 可知 且 ,故 ,
综上, .
17. (1)3000 ; (2)200 ; 150
(1)因为 ，第九个数是 2950，第十个数是 3050，
所以 75% 分位数是 ;
(2)抽取产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 分别为 , .
18.
(2)
(3)
(1)由题意可得: ，
整理可得 ,
根据 的任意性可得 ,所以 .
(2)由(1)可得 ，则 ，
因为函数 在定义域上单调递增,且 ,
则 单调递增,且 在定义域上单调递增,
可知函数 在 上单调递增,
则不等式 恒成立等价于 ,即 恒成立, 设 ,则 ,可得 ,
当且仅当 ,即 时取等号,
可得 ，所以实数 的取值范围是 .
(3)因为对任意的 ，存在 ，使得 ，
可知 在 上的最小值不小于 在 上的最小值，
因为 在 上单调递增,则 在 内的最小值为
可得 ,即存在 ,使 成立,
令 ,
因为 在 上单调递增,可知 在 上单调递增,
则 在 上的最小值为 ,
可得 ,所以实数 的取值范围是 .
19. (1) 不是 敛椭函数”，理由见解析
(2)
(3)
(1) 对于函数 的定义域 内存在 ,
则 ,故 不是 “依赖函数”.
(2)设函数 的定义域内的值域为 ，
若该函数为 “依赖函数”，则对任意的 ，且 ，可得 ，
因为 在 上单调递增,则 在 上的值域为 ,
故 ,
则 ,所以 ,
由 ,则 ,解得 ,
则 ,
设 ,可知函数 在 内单调递增,
且 ,即 ,
所以 的取值范围为 .
(3)若 ，可知 在 上单调递增，则 在 上的值域为 ,
可得 ,即 ,解得 或 (舍去). 若存在 ,使得对任意的 ,有不等式 都成立, 即 恒成立,
则 ,可得 ,
因为 ,可得 ,
且 在 单调递增,
故当 时， ，
则 ，解得 ，
综上所述: 故实数 的最大值为 .
