北京师范大学亚太实验学校2025-2026学年第二学期高三开学检测数学试卷（含答案）

北京师范大学亚太实验学校2025-2026学年第二学期
高三开学检测（数学）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.）
1．已知，则下列选项中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．复数对应的点在复平面内的（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．2024年7月27日，在印度新德里召开的联合国教科文组织第46届世界遗产大会通过决议，将“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”列入《世界遗产名录》．北京中轴线实际上不是正南正北的，它向西偏离了子午线约，下列各式与不相等的是（ ）
A． B． C． D．
4．若且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆锥曲线的离心率为方程的根，则满足条件的m有几个不同的值（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．小王同学进行投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为；若他第1球投不进，则第2球投进的概率为.若他第1球投进概率为，他第2球投进的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．一件刚出土的珍费文物要在博物馆大厅中央展出，需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体．已知文物近似于塔形，高1.8米，体积为0.5立方米，其底部是直径为0.9米的圆（如图），要求文物底部与玻璃罩底边间隔0.3米，文物顶部与玻璃罩上底面间隔0.2米，气体每立方米1000元，则气体费用为（ ）
A．4500元 B．4000元 C．2880元 D．2380元
8．已知命题关于的不等式与的解集相同，命题：，则是成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
9．某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表：
表1 市场供给表
单价（元/kg） 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4
供给量（1000kg） 50 60 70 75 80 90
表2 市场需求表
单价（元/kg） 4 3.4 2.9 2.6 2.3 2
需求量（1000kg） 50 60 65 70 75 80
根据以上提供的信息，市场供需平衡点（即供给量和需求量相等时的单价）应在区间
A．内 B．内 C．内 D．内
10．已知函数则下列结论错误的是（ ）
A．存在实数，使函数为奇函数；
B．对任意实数和，函数总存在零点；
C．对任意实数，函数既无最大值也无最小值；
D．对于任意给定的正实数，总存在实数，使函数在区间上单调递减.
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）
11．函数的定义域为__________.
12．设，则______.
13．设函数在上恰有两个零点，则__________.
14．设函数f（x）=ex+ae x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．
15．已知数列各项均为正整数，对任意的，和中有且仅有一个成立，且，．记．给出下列四个结论：
①可能为等差数列；
②中最大的项为；
③不存在最大值；
④的最小值为36．
其中所有正确结论的序号是________．
三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.）
16．在中，.
(1)求的大小；
(2)若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积.
条件①：边上中线的长为；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
17．如图，在梯形中，E是中点，，，，连接，将沿折起使A点至P点处，得四棱锥，且，点M为棱上的一点．
(1)若O是的中点，求证：平面；
(2)若直线与直线所成的角为，求的值；
(3)若M是的中点，求二面角的正弦值．
18．随着智能手表的普及，越来越多的学生使用其功能，为了了解学生使用智能手表功能的情况，现从某校随机抽取了300名学生，对使用 四种功能的情况统计如下:
功能种数 性别 0 种 1 种 2 种 3 种 4 种
男 18 52 42 28 10
女 12 58 48 22 10
在上述样本所有使用 3 种功能的人中，统计使用的人次如下:
功能
人次 37 40 35 38
假设不同学生使用智能手表功能的情况相互独立，用频率估计概率.
(1)从该校随机选取一人，若已知该学生至少使用两种功能，估计该学生恰好使用三种功能的概率；
(2)从该校使用三种功能的学生中，随机选出3人，记使用功能的人数为人，求的分布列和期望；
(3)从该校男、女生中各随机选一人，记他们使用功能的种数分别为，试比较期望的估计值的大小 (结论不要求证明).
19．椭圆分别为左右焦点，为坐标原点，直线过与椭圆交于两点，的周长为，的周长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过作直线交抛物线于点，求的取值范围.
20．已知函数 .
(1)若在取极小值，且，求的值;
(2)当 时，恒成立，求最大值；
(3)是否可以与轴相切 若可以，求间关系式； 若不可以，说明理由.
21．对于数列，定义．设的前项和为．
(1)设，写出；
(2)证明：“对任意，有”的充要条件是“对任意，有”；
(3)已知首项为0，项数为的数列满足：①对任意且，有；②．求所有满足条件的数列的个数．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
1．B
2．B
3．D
4．C
5．C
6．A
7．B
8．D
9．C
10．B
11．
12．728
13．或
14． -1; .
15．③④
16．（1）由，
在中，由正弦定理得，
因为，所以，
又，所以；
（2）选条件①：边上中线的长为：
设边中点为，连接，则，
在中，由余弦定理得，
即，
整理得，解得或（舍），
所以的面积为.
选条件③：：
在中，由余弦定理得，即，
整理得，解得或，
当时，的面积为．
当时，的面积为．
不可选条件②，理由如下：
若，故为钝角，则，
则，，即，
其与为钝角矛盾，故不存在这样的.
17．（1）证明：因为在梯形中，E是中点，
，，，
所以四边形是正方形，，，
将沿折起使A点至P点处，有，，
因为，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面，
因为，O是中点，所以，
又平面，平面平面，
所以平面．
（2）以O为坐标原点，，所在直线分别为y轴，z轴，以过O与平行的直线为x轴，
建立如图所示的空间坐标系．
由（1）可得，
则，，，，，．
，，，
设，
有，
因为直线与直线所成的角为，
所以，所以，所以，
又，所以，所以．
（3）由（2）知，，
的中点，，
设平面的法向量为，
则，取，则．
同理可求得平面的一个法向量，
，又二面角的范围是，
故二面角的正弦值．
18．（1）至少使用两种功能的学生数为，恰好使用三种功能的学生数为，
则已知该学生至少使用两种功能，估计该学生恰好使用三种功能的概率.
（2）抽取的300名学生中恰好使用三种功能的学生数为，其中使用功能的学生数为40，
因此该校使用三种功能的学生中使用功能的概率大约为，
由已知的可能取值为，且，
，，
，.
的分布列为
0 1 2 3
.
（3）由题意可得样本中男，女学生人数分别为：150和150，
则的可能取值为，，，
，，.
所以；
的可能取值为，，，
，，.
所以，故.
19．(1)
(2)
（1）由题意可得的周长，
的周长，
联立可得，解得，则，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由椭圆，即，则，
易知直线的斜率存在，设，
联立，化简可得，
显然，设，则，
可得，
由，且垂足为，则，
联立可得，化简可得，
显然，设，则，
可得，
设直线的倾斜角为，则，可得，
，
令，可得，
由，则令，求导可得，
易知当时，，所以函数在上单调递增，故，
即，可得
所以.
20．(1)，
(2)1
(3)（）
（1）由得，
因为在 取极小值，所以， ①
又，代入得，解得 ，
把代入①，得，所以；
验证：当，时，，当时，，当时，，所以为的极小值点，符合题意，故，；
（2）当 时，恒成立，即恒成立，
令，则，符合，，
令，则，
因为，，所以，即在上单调递增，
所以，
若，（即），则，在上单调递增，
故，符合条件；
若，（即），则存在，使得，
当时，，单调递减，此时，不符合条件；
所以，即，当时，等号成立，故最大值为1；
（3）若与轴相切，设切点为，则需满足，且，
即，由第二个方程得，
代入第一个方程得，
整理得，即，
令，则，
因为，，令，得或，
所以当或时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故的极大值（也是最大值），
当x无限趋向于正无穷大时，无限趋向于负无穷大，无限趋向于正无穷大，
所以无限趋向于负无穷大，当x无限趋向于负无穷大时， 无限趋向于0，
所以无限趋向于0且，所以时，，
即方程的解为，所以，
所以可以与轴相切，此时满足（）.
21．（1）因为，
所以．
（2）证明：必要性：对，有，因此，
对任意，且，有，两式作差，得，
即，因此，
综上，对任意，有．
充分性：若对任意，有，则，
所以，
综上，“对任意”，有”的充要条件是“对任意”，有”．
（3）构造数列，
则对任意且，有，结合（2）知，
，又，因此，
设中有项为0，
则
，即，
若，则与中有0项为0，即矛盾，不符题意，
若，则，所以当中有1项为0，
其余项为时，数列满足条件．
中有一项为0，共种取法，其余项每项有1或两种取法，所以满足条件的数列的个数为．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页