高二物理 电磁学专题 之 磁场偏转基本题型与弦切角法

高二物理 电磁学专题 之 磁场偏转基本题型与弦切角法
带电粒子在匀强磁场偏转题型，需较强的几何分析能力、想像力
和灵活变通的思维。传统的“先画圆心再定半径”的方法，对几何能
力有一定要求，一些几何稍弱的同学即使找到了圆心，也被每道题中
变化各异的几何关系所困扰，难以很快求出轨迹圆半径。为避免每次
都临时去寻找几何“灵感”，这里补充了更加通用的弦切角方法。
一、常用名词及说明:
1、关于粒子的运动轨迹
（1）轨迹圆：轨迹圆弧所在的圆，是本节研究的对象
（2）偏转角、轨迹圆圆心角、弦长、弦切角（速度方向即切线方向）、
弧长、弓高
2、关于匀强磁场
边界分为直线边界和曲线边界，
形状各异（例如圆形磁场——磁场圆）
二、基本几何性质：
1、粒子进出具有对称性；
直线磁场边界情况：进出对称
圆磁场边界情况：进出对称；如沿半径入、必沿半径出；速度方向与
半径所夹进出角相等
2、偏转角（回转角）=轨迹圆圆心角=2 倍弦切角
——重要几何关系！
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3、设偏转角（回转角）α 、轨迹圆圆心角α 、弦切角为θ ，弦长 L，
则有：
弦长
（1）可用弦切角和弦长，计算轨迹圆半径 r： r ；
2sin弦切角
（2）可用弦切角θ 、圆心角α 、偏转角α 计算在磁场运动时间：
弧长
t T T ；还可以用 t .
2 速率
（3）周期不仅有 T=2π m/qB，还可以用 T=2π R/V。
4、速度方向即切线方向，而洛仑兹力方向即半径方向，互相垂直
——这也是基础方法“找圆心定半径”的依据。
三、磁偏转解题基本思路方法——即如何确定轨迹圆半径 r：
1、找圆心定半径（作为最基本方法，此处略）
2、弦切角（用偏转角确定弦切角，用弦切角和弦长确定半径）
四、常见题型与对策
1、常规题型——找圆心定半径、勾股定理等
2、弦切角方法适合大多数题型——只要习惯它，就很好用。
弦切角法——弦切角定理及有关几何关系。
习惯后比找圆心的方法更方便。
弦——连接进出磁场的轨迹两端的直线；
切线——进出磁场的速度方向所在直线
弦切角α ——弦与切线的夹角，通常为进出磁场的速度
方向与两端点连线的夹角
弦切角定理——弦切角=对应圆心角的一半。
（弦切角思路关键的几何性质）
弦长
弦切角半径推论: r (请同学自行证明)
2sin弦切角
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具体步骤：
①根据偏转情况确定弦切角(∵弦切角=圆心角/2=偏转角/2)；
弦长
②利用几何知识，得到弦长，就可代入推论 r 得到半径 r.
2sin弦切角
五、弦切角方法的几种用法：
现阶段需对常见问题，简要归纳一些方法、规律如下：
1、由“偏转角α=圆心角α=2×弦切角θ”入手
[例 1]（2018 春 翠屏区校级期末）如图所示，在水平直线的上方存在垂直纸面向外的匀强
磁场，在直线上的 P 点先后发射出两个完全相同的正粒子（不计重力），射入时速度大小相
等但射入方向与直线间夹角分别为 30°和 90°．已知粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期
为 T，要使这两个粒子在磁场中某点相遇，则先后发射两个粒子的时间间隔为（ ）
A． T B． T C． T D． T
正粒子在点磁场顺时针回转，设 PQ为两者从发射到相交的公共弦，α 为弦与磁
场下边界夹角。则 30 度、90 度的两粒子弦切角分别为 150-α 和 90-α ；
按照圆心角=2倍弦切角，30 度、90 度粒子的圆心角分别为 300-α 和 180-α
比荷同，则周期同，则：？
300 α 180 α 300 180 1
Δ t= T T T T 。C 对。
360 360 360 3
小结：如比荷相同的两粒子同点发射且能相交，则弦就是公共的。就可写出弦
切角表达式，再由弦切角与圆心角，圆心角与Δ t 关系，就可得到答案。
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[例 2]（2018 春 临川区校级月考）如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，
一个带电粒子以速度 v 从 A 点沿直径 AOB 方向射入磁场，经过△t时间从 C点射出磁场，OC
与 OB 成 60°角。现将带电粒子的速度变为 v′，仍从 A 点沿原方向射入磁场，粒子在磁场
中的运动时间变为 2△t，不计重力，则下列判断正确的是（ ）
A．v′= v B．v′= v
C．v′= v D．v′= v
弦长 AC
①半径入半径出，圆心角=偏转角=60， r = =AC=√3倍 OA。
2sin弦切角 2sin 30
②调整速度后，时间为 2倍，则圆心角 120，弦切角 60，可从 A以 60 度画弦，
弦长=OA，120度特殊等腰三角形，则新的半径 r2=OA/2sin60=OA/√3，
所以同种粒子同一磁场，速度比=r1/r2=3：1。B对。
小结：两次对比型问题——利用弦切角与圆心角及半径关系
[例 3]（2021 全国乙卷）
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设磁场半径 R，由于半径入半径出，所以：
偏转 60 的，沿半径出磁场方向与 MN 夹角 60。弦长=√3R，弦切角 30；
偏转 90 的，沿半径出磁场方向与 MN 夹角 90，弦长=√2R，弦切角 45。
弦长
则由 r ：偏转 90 的，轨迹圆半径=R，偏转 60 的，轨迹圆半径=√3R。
2sin弦切角
比荷及磁场相同，所以速度比=半径比=√3：1，D 对。
小结：两次对比型问题——利用偏转角、圆心角与弦切角及半径关系
弦切角方法的课堂练习：
1、
答案：A
2、（2020 绵阳模拟）如图所示，磁感应强度为 B 的匀强磁场分布在半径为 R 的圆内，CD
是圆的直径，质量 m、电荷量为 q 的带正电的粒子，从静止经电场加速后，沿着与直径
CD 平行且相距 的直线从 A 点进入磁场。若带电粒子在磁场中运动的时间是 ，
则加速电场的电压是（ ）
A． B． C． D．
答案：B
3、（2020 蚌埠四模）如图，横截面是圆的匀强磁场区域（纸面），其半径为 R，磁感应强度
大小为 B，方向垂直于纸面向外。一电荷量为﹣q（q＞0）、质量为 m 的粒子自 P 点沿与直
径 PQ 成 30°角的方向射入圆形磁场区域，粒子射出磁场时的运动方向与直径 PQ 垂直，不
计粒子的重力，则粒子的速率和在磁场中运动的时间分别为（ ）
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A． ， B． ，
C． ， D． ，
本题思路：偏转角——圆心角——弦切角——连接进出两点为弦，得到角度关系。
答案：B
Δ弦切角方法的特点——不需要“精确地画圆和找轨迹圆心”。
初学阶段的 1、2 例题画出了轨迹圆加以说明，而实际上，只要知道
大概往哪偏，熟练后，并不需要精确画出轨迹圆来找几何关系。因为：
弦长
由 r ，只要知道弦切角与弦长，就可以代入直接求出 r。
2sin弦切角
2、直接从现成的弦切角（入射方向与进出连线夹角）入手：
[例 4]（2018 南充模拟）如图所示，空间中有一竖直向下的匀强磁场，等边三角形 AOC 在
水平面内，边长为 L，D 为 AC 中点。粒子 a沿 AO 方向以速度 v0 从 A 点射入磁场，恰好
能经过 C 点，粒子 b 以沿 OC 方向的速度从 O 点射入磁场，恰好能经过 D 点。已知两粒子
的质量均为 m、电荷量均为 q，粒子重力及粒子间的相互作用均忽略，则下列说法中正确的
是（ ）
A．粒子 a带负电，粒子 b 带正电
B．粒子 b 的速度大小为 1.5v0
C．匀强磁场磁感应强度 B＝
D．若粒子 b 从 O 点以原速率沿水平面内任意方向射出，则粒子 b 从出发到 AC 边的最
短时间为
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①都是顺时针转，则同为负号。A 错。
弦长
②对 B：a 粒子的弦切角=60 度，由 r ，a 的半径=√3L/3
2sin弦切角
弦长
b 粒子的弦切角 30 度，由 r ，b 的半径=√3L/2
2sin弦切角
所以 a、b 半径比为 2：3，则由半径公式，速度比为 2：3，B 对。
③由半径公式代入 a 的半径，则 B=√3mVo/qL，C 错。
④最短时间问题，利用弦长最短判断，即弦长为垂线 OD 时，弦切角 30 则圆心
角 60，则时间 t=T/6=（2π（√3L/2）/1.5Vo）/6=√3π L/9Vo。D 对。
小结：综合型问题——该题涉及到两个类型的题型：弦切角+最短时间问题
对应的方法，弦切角与弦长半径关系，弦切角与圆心角关系，时间极值判断法。
[例 5]磁场边界与角度推理
1、由周期公式，比荷与周期反比，2m 与 5m两粒子比荷的比是 5：2，则周期比是 2：5，而
同时进同时出，时间相同，则圆心角与周期反比，圆心角之比就是 5：2。
2、逻辑推断：负粒子在点磁场逆时针转，则三十度进入后，出磁场只有从上边界和下边界
两种可能性。从下边界出，则弦切角 150，圆心角 300（不可能另一个圆心角超过 360，所
以此为 2m 粒子）。
3、显然 5m一粒子的圆心角=300×2/5=120，而且从上边界出，则弦切角为 60，最初与下边
界 30 入射方向找一条 60 度的弦的方向，可以发现恰好与 MN 垂直，所以弦长就是磁场宽度
L，既然弦切角 60，则则半径=弦长/√3=L/√3；
所以由半径公式，V=qB（L/√3）/5m=√3qBL/15m
小结：对比型问题——利用了一定的逻辑推理排除，只要确定其中一个的弦长
和弦切角，就可以得到半径，进而得到所求的速度。
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3、弦切角法解决一些不方便“找圆心定半径”的题型
我们学习的最基础的方法，就是找圆心定半径，画圆规。
而有的时候，这一方法可能用不上，而适用弦切角方法：
[例 6]坐标系以原点为圆心有一垂直纸面向内的圆形磁场（未画出），带电粒子质
量 m、电量+q，从原点以 Vo 发射，方向沿 x 轴正方向，并在 P 点与 y 轴正方向
30°进入第 2 象限，P 点到原点距离 L，求磁感应强度 B、轨迹圆半径 R，磁场圆
半径 r
偏转角=90+30=120，则弦切角=120/2=60，则画一条与初速夹角 60 度直线（弦长方向），再
用 P 点的反向延长线与之相交，这就确定了出磁场瞬间的位置 A。之后就好办了。
方法就是：用偏转角确定弦切角而确定弦长方向，找到出磁场位置。
又如：[例 7]（2021 高考甲卷压轴题）
（1） 就此 60 度的速度方向画出矢量分解图，就可以用 Vo 表
达竖直分速度 Vy，然后就可得电场时间 t，代入就得到所求距离 d，属于送分题，
13mVo2
d 。
6qE
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（2）“未碰板”即两个临界情况，一是恰好到 N，另一个是恰好到 Q，由于过 P 点速度方向
60 度，则恰好到 N 与 Q 分别对应着弦切角 15 度和 60 度，
2L L
就能得到对应的轨迹圆半径分别是 和 ，只要求出临界半径，反过来求临界磁感
3 1 3
(3 3)mVo 2mVo
应强度就是 和 。答案就是两者之间。
3qL qL
（这一问 sin15=sin（60-45），用三角和差公式即可得到）
（3）既然中点出，可确定弦切角关系，然后得到对应轨迹圆半径 R3，就可以得到所求 dmin。
弦与竖直方向夹角设α ，由中点，则 tanα =1/2，
2 3 1 5L
则弦切角正切=tan（60-α ）= ；得到 R3= 。
2 3 4 3 2
5L
所以 dmin=L-R3（1-cos60）= L 。
4(2 3 1)
小结：
此类题型的特征是：
1、无法使用找圆心的常规操作，或者轨迹圆可能很大不方便画图找圆心。
2、根据偏转角=圆心角=2 倍弦切角，结合题中几何关系，就可以求
出答案。
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弦切角法适合多种情况，是比找圆心定半径适用面广的好方法。而由于在思维
上很多同学不习惯从抓角度入手，所以平时可以多在各种题中尝试练习，以增
强熟练度。——其实，弦切角既能解决半径问题又能解决时间问题，非常有用。
4、最长最短时间问题(轨迹为劣弧情况)：
最长最短时间穿过磁场的问题，往往不仅仅从圆心角来分析，当
圆心角不方便判断的时候，我们可以根据“弦切角、圆心角、弦长、
弧长、弓高”具有相同的变化趋势的原理，利用弦长乃至弓高等间接
因素判断分析问题。
时间的最大最小值，与圆弧长度、圆心角、偏转角、弦切角、弦长、
弓高的最大最小相对应。它们具有同样的变化趋势。
再研究一下这个图:
弓高 h——弧线的“高度”
圆心角=2×弦切角α
弦长=2Rsinα
弧长=2R×α
弓高 h=R（1-cosα ）
●圆心角、弦切角、劣弧的弦长、弧长、弓高这几个几何指标，具有相．同．的．变．化．趋．势．。
一样增加，5个都同步增加；
一样减少，5个都同步减少；
一样最大值，5 个都是最大值；
一样最小值，5 个都是最小值。
●所以，在比荷相同，且轨迹为劣弧下，有：
磁场中回转时间最短或最长，对应着五个指标（圆心角、弦切角、劣弧的弦长、
弧长、弓高）的最小或最大。
——处理讨论磁场中运动的时间极值问题
[例 8] ——时间极值问题
如图所示，原点 O有一粒子源，能向 y轴右侧 xOy平面内各方向发射质量 m、电量 q 的正电
粒子，粒子的初速度大小均相等，在 y 轴右侧直线 x1=xo 和 x2=xo+a（xo未知，a＞0）之间
存在垂直于 xOy平面向外的有界匀强磁场，磁场的磁感应强度为 B。已知与 x轴正方向成 30
度发射的粒子恰好垂直于磁场右边界射出，粒子的重力与粒子间相互作用忽略，求：
（1）粒子运动的初速度大小 Vo；
（2）粒子在磁场中运动时间最短且从右边界射出时，其发射速度与 x 轴正方向夹角θ 的正
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弦值；
（3）粒子在磁场中运动的最长时间 tm 及 xo 取不同数值时，在磁场中运动时间最长的粒子
从磁场中射出时的出射点所构成的图线的方程。
1）Rsin30=a，则 R=2a，mVo/qB=R=2a，则 Vo=2aqB/m
2）由几何知识，当弦⊥磁场边界时，对应圆心角最小（左下图）。则所求角的正
弦即此时弦切角正弦=（a/2）/R=1/4 为所求。
3）弦切角θ ，利用“弓高最大时时间最长”，把整个圆弧“塞满”磁场区域（右
图），此时 R（1-cosθ ）=a，则θ =60 度，则发射方向与横轴正方向夹角 30度右
下。则 tm=T/3=2π m/3qB；设出射点纵坐标 y，
则 y与 xo的关系：y=-（2Rcos30+xotan30）=-√3（2a+xo/3），
即所求方程为 x=xo，y=-√3（2a+xo/3）
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[例 9]（2018春 吉安期末）如图 5所示，空间内存在半径为 r 的圆形匀强磁场区域，磁感
应强度大小为 B．在磁场边界上有一粒子源 S，粒子源以相同的速率 V 沿纸面向磁场中各个
方向发射比荷为 = 的带电粒子，不计粒子重力，则这些粒子在磁场中运动的最长时间
为（ ）
A． B．
C． D．
1、从比荷来看，可以知道轨迹圆半径是 2r，
2、从“求运动最长时间”看，用进出磁场的弦长可以处理——那么从 S点到磁
场圆周上，最长的距离就是磁场圆的直径 2r，所以这就是最长时间对应的最大
弦长，该弦长恰好与轨迹圆半径相等，所以对应轨迹圆的圆心角是 60，时间就
是 t=T/6=（2π×2r/V）/6=2π r/3V。C 对。
小结：最长时间问题，轨迹为劣弧下,时间极值与圆心角、弦切角、弦长、弧长、
弓高具有同趋势关系，例如通常用弦长的最大值对应时间的最大值。
所以找到最大弦长（即磁场圆直径），发现几何关系，就可以解决。
练习：
1、（多选）（2019 桃城区校级模拟）如图所示，平面直角坐标系 xOy ，P 为 y 轴上一点，Q
为第一象限内一点，OQ 与 x轴正方向夹角为 37 ．在POQ 范围内有垂直 xOy 平面向里、
磁感应强度大小为 B 的匀强磁场，此区域外有垂直 x 轴方向的匀强电场，场强大小为 E ．在
P 点以初速度 v 垂直 y 轴发射一个质量为m 、电荷量为 q的带电粒子，带电粒子经过OQ 上0
M 点（图中未画出）进入匀强电场，运动一段时间后又从 M 点进入磁场，不计重力，
sin37 0.6， cos37 0.8，下列判断正确的是 ( )
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A．OP 的距离为 0
4qB
53 m
B．带电粒子从 P 到第一次经过M 的时间为
180qB
2mv
C．带电粒子第一次和第二次经过M 的时间间隔为 0
qE
53 m
D．带电粒子第二次和第三次经过OQ 线的时间间隔为
180qB
答案：AC
2、（2018 抚顺模拟）如图所示，边界 OA 与 OC 之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界
OA 上有一粒子源 S．某一时刻，从 S 平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子
（不计粒子的重力及粒子间的相互作用），所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有大
量粒子从边界 OC 射出磁场．已知∠AOC=60°，从边界 OC 射出的粒子在磁场中运动的最长时
间等于 （T 为粒子在磁场中运动的周期），则从边界 OC 射出的粒
子在磁场中运动的最短时间为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
3、（2019 南开区模拟）如图所示，真空中有一以 (r,0) 为圆心、半径为 r 的圆柱形匀强磁场
区域，磁场的磁感强度大小为 B 、方向垂直纸面向里，在 y r 的范围内，有沿 x轴方向的
匀强电场，电场强度大小 E ．从O 点向不同方向发射速率相同的质子，质子的运动轨迹均
在纸面内。已知质子的电量为 e，质量为m ，质子在磁场中的偏转半径也为 r ，不计重力。
求：
（1）质子进入磁场时的速度大小
（2）速度方向沿 x轴正方向射入磁场的质子，到达 y 轴所需的时间
（3）速度方向与 x轴正方向成30 角（如图中所示）射入磁场的质子，到达 y 轴时的位置坐
标。
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eBr m 2mr 3er
答案（1） ;（2） ;（3）坐标为 (0,r Br )
m 2eB eE mE
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