2026年中考数学一轮复习：图形的相似（含答案）

2026年中考数学一轮复习：图形的相似
一、选择题（共8小题）
1．（2025秋 连州市期末）若3a＝4b（ab≠0），则下列比例式成立的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025秋 宁波期末）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），若AB＝2，则AP为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025秋 雁塔区校级期末）将三角形，正方形，矩形，菱形各边分别向外平移1个单位长度并适当延长，得到如图所示的图形，变化前后的两个多边形不是相似图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025秋 甘谷县期末）如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不发生改变的是（　　）
A．周长 B．面积
C．每个内角的度数 D．每条边的长度
5．（2025秋 开鲁县期末）已知正五边形ABCDE与正五边形A′B′C′D′E′的相似比为1：3，则它们的面积比为（　　）
A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．2：6
6．（2025秋 金寨县期末）某品牌汽车将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，倒车镜到车尾部分的水平距离较长，则该车车身总长约为（　　）米．
A．4.14 B．2.56 C．6.70 D．3.82
7．（2025秋 舟山期末）如图，四边形ABCD为正方形，延长BC至点E，以线段CE为边作正方形CEFG，取BC的中点H，连结DH，下列能说明点G是线段DC的黄金分割点的条件是（　　）
A．HC＝CE B．DH＝2CE C．DH＝HE D．
8．（2025秋 九台区期末）某物质的分子结构如图所示，所有六边形都是正六边形，用放大镜观察该分子结构，则保持不变的是（　　）
A．AB的长度 B．六边形ABCDEF的周长
C．六边形ABCDEF的面积 D．∠ECD＝30°
二、填空题（共8小题）
9．（2025秋 清城区校级期末）若3，且b+d+f＝4，则a+c+e＝　 　 ．
10．（2025秋 青羊区期末）已知线段AB＝8cm，点C是线段AB上靠近点A的一个黄金分割点，则BC的长为　 　 cm．（结果保留根号）
11．（2025秋 青白江区期末）如图，某种蜻蜓的尾巴长度与整个身躯的长度之比满足黄金比，即为黄金比，若AB的长度为8cm，则AC的长度为　 　 cm．
12．（2025秋 宝安区期末）小提琴的设计蕴含着黄金分割的美学智慧．如图，线段AB表示一把小提琴的长度，点C为线段AB的黄金分割点（BC＞AC）．若AB＝60cm，则BC的长为　 　 cm．（结果保留根号）
13．（2025秋 临渭区校级期末）若两个相似多边形的面积比为1：16，较小的多边形周长为2，则较大的多边形周长是　 　 ．
14．（2025秋 府谷县期末）已知四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，且四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的相似比为1：3，若四边形ABCD的面积为5，则四边形A1B1C1D1的面积为　 　 ．
15．（2025秋 长宁区期末）若点P是线段AB上的一点，满足AP2＝BP AB，已知，那么AB的长为　 　 ．
16．（2025秋 浦东新区校级期中）如果在比例尺为1：1000000的地图上，A、B两地的图上距离是1.6厘米，那么A、B两地的实际距离是　 　 千米．
三、解答题（共5小题）
17．（2025秋 莲湖区期末）已知x：y＝3：5，3y＝2z，求的值．
18．（2025秋 任丘市校级期末）如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD＝12，AB＝6，设AB与A′B′，BC与B′C′，CD与C′D′，DA与D′A′之间的距离分别为a，b，c，d，a＝b＝c＝d＝2，矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似吗？为什么？
19．（2025秋 大连期末）【教材呈现】
a，b，c，d都不为0，a≠b，c≠d，若，则．
如下证明这个结论的正确性，设，则a＝bk，c＝dk，所以，同理，，所以．
【类比分析】
（1）若，且b+d+…n≠0，求证．
【学以致用】
（2）若x，y，z都不为0，且，求的值．
20．（2024秋 天山区校级期末）书面装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术，如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2m×0.8m，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是am、bm、cm、dm，若装裱后AB与AD的比是16：10，且a＝b，c＝d，c＝2a，求a的值．
21．（2025秋 攀枝花月考）将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若短线段与长线段的长度之比等于长线段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫做线段PB、AB的比例中项），则可得出这一比值等于0.618…，这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点P叫做线段AB的黄金分割点．
（1）设AP＝m，PB＝n，按照定义恒成立，请你推导黄金比；
（2）黄金分割在自然界、建筑、艺术等领域无处不在．我们把宽与长的比为的矩形叫黄金矩形，比如按照黄金比例定制的窗户令人赏心悦目，它给我们协调、匀称的美感！如图，是某同学为自家设计的子母窗户结构示意图，在一个黄金矩形ABCD里分割出一个正方形AMND，那么右边窗户BCNM还是黄金矩形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由．
参考答案
一、选择题（共8小题）
1．【答案】C
根据比例的性质，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵，
∴ab＝12，
故A不符合题意；
B、∵，
∴4a＝3b，
故B不符合题意；
C、∵，
∴3a＝4b，
故C符合题意；
D、∵，
∴4a＝3b，
故D不符合题意；
故选：C．
2．【答案】B
根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；所以APAB，代入数据即可得出AP的长度．
【解答】解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，
且AP＞BP，
则APa1．
故选：B．
3．【答案】C
由相似三角形的判定方法和相似多边形的判定方法，即可判断．
【解答】解：A、由平行线的性质推出两个三角形的对应角相等，因此这两个三角形相似，故A不符合题意；
B、两个正方形的对应边成比例成比例，对应角相等，因此两个正方形相似，故B不符合题意；
C、设原矩形的长是a，宽是b，那么变化后的矩形的长是a+2，宽是b+2，但a：b≠（a+2）：（b+2），因此这两个矩形不相似，故C符合题意；
D、由平行线的性质推出两个菱形的对应角相等，两个菱形的对应边成比例，因此这两个菱形相似，故D不符合题意．
故选：C．
4．【答案】C
根据相似多边形的性质即可得出答案．
【解答】解：由题意得，用放大镜看到的多边形与原多边形是相似的关系，
用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，周长、面积、每条边的长度的长度均增大了，每个内角的度数保持不变．
故选：C．
5．【答案】C
相似多边形的面积比等于相似比的平方，据此即可解答．
【解答】解：∵正五边形ABCDE与正五边形A′B′C′D′E′的相似比为1：3，即 ，
∴根据相似多边形的性质得，，即则它们的面积比为1：9，
故选：C．
6．【答案】A
设该车车身总长为xm，由黄金分割点的定义得到汽车倒车镜到车尾的水平距离为x米，再根据题意列方程xx＝1.58，然后解方程即可．
【解答】解：设该车车身总长为x米，
∵汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置，倒车镜到车尾部分的水平距离较长，
∴汽车倒车镜到车尾的水平距离为x米，
∴xx＝1.58，
解得：x≈4.14，
即该车车身总长约为4.14米．
故选：A．
7．【答案】C
根据黄金分割的定义，对所给选项依次进行判断即可．
【解答】解：当HC＝CE时，
因为四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
所以CD＝BC，CG＝CE．
因为H是BC的中点，
所以DC＝BC＝2HC，
则DC＝2CG，
所以点G是线段CD的中点．
故A选项不符合题意；
当DH＝2CE时，
令CE＝x，
则DH＝2x，
因为H是BC中点且BC＝CD，
所以CH2+（2CH）2＝（2x）2，
则CH，
所以，．
故B选项不符合题意；
当DH＝HE时，
令DH＝HE＝2x，
则CH，
所以CG＝CE＝2x，
则，
所以点G是线段DC的黄金分割点，
故C选项符合题意；
当DHCE时，
令CE＝x，
则DH，
所以CH，DC，
因为CF＝CE＝x，
则，，
故D选不符合题意．
故选：C．
8．【答案】D
利用相似三角形的性质判断即可．
【解答】解：用放大镜观察该分子结构：AB的长度变大，六边形ABCDEF的周长变大，面积变大，∠ECD＝30°不变．
故选：D．
二、填空题（共8小题）
9．【答案】12．
根据比例的性质进行解答即可．
【解答】解：由可得，
∵b+d+f＝4，
∴a+c+e＝12，
故答案为：12．
10．【答案】（44）．
根据黄金分割的定义列式计算即可．
【解答】解：∵线段AB＝8cm，点C是线段AB上靠近点A的一个黄金分割点（即BC＞AC），
∴BCAB8＝（44）（cm），
故答案为：（44）．
11．【答案】（12﹣4）．
根据黄金分割的定义列式计算即可．
【解答】解：∵某种蜻蜓的尾巴长度与整个身躯的长度之比满足黄金比，
∴，
∴BCAB8＝（44）（cm），
∴AC＝AB﹣BC＝8﹣（44）＝（12﹣4）（cm），
故答案为：（12﹣4）．
12．【答案】（3030）．
根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：∵点C为线段AB的黄金分割点（BC＞AC）．AB＝60cm，
∴BCAB60＝（3030）cm，
故答案为：（3030）．
13．【答案】8．
先根据相似多边形面积的比得出其相似比，根据周长比等于相似比即可得出结论．
【解答】解：∵两个相似多边形的面积比为1：16，
∴周长比＝相似比＝1：4，
∵较小的多边形周长为2，
∴较大的多边形周长为2×4＝8．
故答案为：8．
14．【答案】45．
根据相似多边形的面积比等于相似比的平方得到四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的面积比为12：32＝1：9，进而求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，其相似比为1：3，
∴其面积比为12：32＝1：9，
∵四边形ABCD的面积为5，
∴四边形A1B1C1D1的面积＝5×9＝45．
故答案为：45．
15．【答案】．
根据题意，设AP＝x，则，代入解方程即可．
【解答】解：设AP＝x，则，
∵AP2＝BP AB，
∴，
化简，得，
解得，x1＝2，（负值舍去），
∴x＝2，
∴已知，那么．
故答案为：．
16．【答案】16
实际距离＝图上距离：比例尺，根据题意代入数据可直接得出实际距离．
【解答】解：根据题意，1.61600000厘米＝16千米．
即实际距离是16千米．
故答案为：16．
三、解答题（共5小题）
17．【答案】见试题解答内容
可设x＝3k，则y＝5k，z＝7.5k，再代入计算即可求解．
【解答】解：设x＝3k，则y＝5k，z＝7.5k，
则．
18．【答案】不相似．理由见解析．
欲判断矩形A′B′C′D′和矩形ABCD是否相似，需判断的值和的值是否相等．
【解答】解：不相似．
当a＝b＝c＝d时，
∵AD＝12，AB＝6，
∴A′D′＝12﹣2×2＝8，A′B′＝6﹣2×2＝2．
∵，
∴3．
∵3，
∴矩形A′B′C′D′和矩形ABCD不相似．
19．【答案】（1）证明：设若k，则a＝bk，c＝dk，...，m＝nk，
∵b+d+…n≠0，
∴k，
∴；
（2）．
（1）设若k，则a＝bk，c＝dk，...，m＝nk，所以，然后进行分式的化简即可得到结论；
（2）设k，则x＝2k，y＝3k，z＝5k，然后把它们分别代入所求的代数式中，再进行分式的化简计算即可．
【解答】（1）证明：设若k，则a＝bk，c＝dk，...，m＝nk，
∵b+d+…n≠0，
∴k，
∴；
（2）解：设k，则x＝2k，y＝3k，z＝5k，
所以．
20．【答案】a的值为0.1m．
分别表示出AB，AD的长，列出分式方程，进行求解即可．
【解答】解：∵AB＝1.2+c+d＝1.2+2c＝1.2+4a，AD＝0.8+a+b＝0.8+2a，
∴，
∴a＝0.1，
经检验a＝0.1是原方程的解．
∴a的值为0.1m．
21．【答案】（1）∵，
∴n（m+n）＝m2，
整理得：n2+mn﹣m2＝0．
∴Δ＝m2﹣4×1×（﹣m2）＝5m2．
∴．
∵m＞0，n＞0，
∴．
∴；
（2）右边窗户BCNM是黄金矩形．
证明：∵矩形ABCD是黄金矩形，
∴设，AB＝x．
∵四边形AMND是正方形，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴矩形BCNM是黄金矩形．
（1），得n2+mn﹣m2＝0，将m看作常数，将此方程看作关于n的一元二次方程，解方程即可得m与n之间的关系式，即可得证；
（2）根据黄金分割设出矩形ABCD的长和宽，然后表示出矩形BCNM的宽，再求出宽与长的比值即可得证．
【解答】解：（1）∵，
∴n（m+n）＝m2，
整理得：n2+mn﹣m2＝0．
∴Δ＝m2﹣4×1×（﹣m2）＝5m2．
∴．
∵m＞0，n＞0，
∴．
∴；
（2）右边窗户BCNM是黄金矩形．
证明：∵矩形ABCD是黄金矩形，
∴设，AB＝x．
∵四边形AMND是正方形，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴矩形BCNM是黄金矩形．