2026年中考数学一轮复习：相似三角形（含答案）

2026年中考数学一轮复习：相似三角形
一、选择题（共8小题）
1．（2025秋 梅县区期末）在小孔成像问题中，根据如图所示，蜡烛长20cm，若O到AB的距离是40cm，O到CD的距离是10cm，则像CD的长是（　　）
A．10cm B．5cm C．4cm D．
2．（2025秋 禅城区期末）如图，在一处舞台灯光设计中，等边△PCD的三个顶点被用作灯光投射定位点．灯光射线PA与PB交于点P，且△ACP∽△PDB，PD：DB＝2：1，若AB＝14米，则CD的长度是（　　）
A．2米 B．4米 C．5米 D．3米
3．（2025秋 浦东新区期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC．若AD：DB＝1：2，DE＝2，则BC的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
4．（2025秋 张北县期末）如图是用杠杆撬石头的示意图，动力臂OA＝120cm，阻力臂OB＝40cm，BD＝15cm，则AC＝（　　）
A．30cm B．40cm C．45cm D．60cm
5．（2025秋 长春期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE，BD，且AE，BD相交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：DC＝（　　）
A．3：2 B．2：3 C．3：5 D．2：5
6．（2025秋 九台区期末）如图，已知△ABC，∠B＝60°，AB＝6，BC＝8．将△ABC沿图中的DE剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025秋 宝安区期末）根据凸透镜的成像规律，当物体到凸透镜的距离大于两倍焦距时，会在凸透镜的另一侧形成倒立、缩小的实像．如图所示，物体AB到凸透镜EF的距离OA＝8，凸透镜的焦距OF1＝OF2＝3，则实像与物体的比值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025秋 龙华区校级月考）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且．若AD＝20cm，BD＝12cm，CE＝9cm，则AE＝（　　）
A．13cm B．15cm C．16cm D．18cm
二、填空题（共8小题）
9．（2025秋 清城区期末）如图，数学兴趣小组的同学下午测得一根长为1米的竹竿的影长是0.8米，同一时刻测量树高时，发现树的影子有一部分落在教学楼的墙壁上，测得留在墙壁上的影高为1米，地面上的影长为2.4米，则树高为　 　 米．
10．（2025秋 福田区校级期末）如图，△ABC中，∠ABC＝120°，BC＝3AB，D为线段BC上一点（不与B、C重合），连接AD，在∠ADC内部作线段DE，使得DE＝3AD，∠ADE＝120°，连接EC，则　 　 ．
11．（2025秋 福田区校级期末）已知△ABC是等腰三角形且AB＝AC，点D是AC的中点，连接BD，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E，连接CE，若，则　 　 ．
12．（2025秋 槐荫区期末）如图所示，D是△ABC的边AC上的点，且∠ABD＝∠C，AB＝6，AD＝3，则AC的长为　 　 ．
13．（2025秋 莲池区期末）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC），“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，E在同一水平线上，∠ABC＝∠AEF＝90°，AF与BC相交于点D．测得AB＝60cm，BD＝20cm，AE＝9m，则树高EF是　 　 ．
14．（2025秋 渝中区期末）如图，在 ABCD中，，∠ABC的平分线交AD于点E，点M是CD的中点，连接AM交BE于点F，则的值为　 　 ．
15．（2025秋 榕城区期末）如图，为了测量学校旗杆的高度，小东用长3.2m的竹竿做测量工具．移动竹竿，使旗杆顶端的影子与竹竿顶端的影子恰好落在地面上的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为 　 　 m．
16．（2025秋 肃南县校级期末）如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，在点P处水平放置一平面镜（平面镜的厚度和大小态略不计），光线从点A出发，经平面镜反射后刚好照射到点C处，已知点B、P、D在同一直线上，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，且AB＝2，BP＝2.4，PD＝3.6，则CD的长为　 　 ．
三、解答题（共4小题）
17．（2025秋 武侯区期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过D作DE⊥AB于点E，交AC于点F．
（1）求证：△ODF∽△OAD；
（2）若，OB＝4，求OF及AE的长．
18．（2025秋 青羊区期末）如图，小亮同学设计用激光笔来测量某古城墙高度的示意图．在点E处放一水平的平面镜，光线从点B出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端D处，测得AB＝3.6m，AE＝4.5m，CE＝7.5m，且AB⊥AC，CD⊥AC．求该古城墙的高度．
19．（2025秋 湛江期末）如图，在△ABC中，D为边AC上一点，∠DBC＝∠A．
（1）求证：△BDC∽△ABC；
（2）若CD＝1，AC＝4，求BC的长．
20．（2025秋 莲池区期末）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．
【问题解决】如图2，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，灯泡到地面的高度AG＝1.2m，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度CF＝1.8m，灯泡到木板的水平距离AC＝5m，木板到墙的水平距离CD＝4m．图中A，B，C，D在同一条直线上．
（1）求AB的长；
（2）求点E到地面的高度DE．
参考答案
一、选择题（共8小题）
1．【答案】B
过点O作OE⊥AB，垂足为E，延长EO交CD于点F，则EF⊥CD，由题意得：AB∥CD，从而可得∠OAB＝∠ODC，∠OBA＝∠OCD，然后证明△OAB∽△OCD，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：过点O作OE⊥AB，垂足为E，延长EO交CD于点F，则EF⊥CD，
由题意得：AB∥CD，
∴∠OAB＝∠ODC，∠OBA＝∠OCD，
∴△OAB∽△OCD，
∴，
∴，
解得：CD＝5，
∴像CD的长是5cm，
故选：B．
2．【答案】B
依据题意，由△ACP∽△PDB，则2，又设等边△PCD的边长CP＝CD＝PD＝x，从而AC＝2x，DB，结合AB＝AC+CD+DB＝14米，故2x+x14，进而计算可以得解．
【解答】解：由题意，∵△ACP∽△PDB，
∴2．
又设等边△PCD的边长CP＝CD＝PD＝x，
∴AC＝2x，DB．
∵AB＝AC+CD+DB＝14米，
∴2x+x14．
∴x＝4．
∴CD＝4米．
故选：B．
3．【答案】C
由AD：DB＝1：2，得，又DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，则，然后代入即可求解．
【解答】解：∵AD：DB＝1：2，
∴，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴BC＝6，
故选：C．
4．【答案】C
根据∠A＝∠B＝90°，∠AOC＝∠BOD，证明△AOC∽△BOD，把数值代入进行计算，即可作答．
【解答】解：观察图中，得出∠A＝∠B＝90°，∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC∽△BOD，
∴，
∵动力臂OA＝120cm，阻力臂OB＝40cm，BD＝15cm，
∴，
∴AC＝45cm，
故选：C．
5．【答案】D
根据平行四边形的性质得到DC∥AB，DC＝AB，得到△DFE∽△BFA，根据相似三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，DC∥AB，
∴△BFA∽△DFE，
∴，
∴，
∵AB＝CD，
∴DE：DC＝2：5，
故选：D．
6．【答案】D
根据相似三角形的判定逐一判断即可．
【解答】解：A、∵∠C＝∠C，∠DEC＝∠B＝60°，
∴△DEC∽△ABC，
故A不符合题意；
B、∵∠C＝∠C，∠CDE＝∠B，
∴△CDE∽△CBA，
故B不符合题意；
C、由图形可知，BE＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，
BD＝BC﹣CD＝8﹣5＝3，
∵，，
∴，
又∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BAC，
故C不符合题意；
D、由已知条件无法证明△ADE与△ABC相似，
故D符合题意，
故选：D．
7．【答案】B
根据题意可得：OF＝CD，AB∥EF，从而可得∠ABF＝∠BFO，∠BAO＝∠FOA，然后证明△ABF1∽△OFF1，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：OF＝CD，AB∥EF，
∴∠ABF＝∠BFO，∠BAO＝∠FOA，
∴△ABF1∽△OFF1，
∴，
∴，
故选：B．
8．【答案】B
根据平行线分线段成比例定理，可以求得AE的长．
【解答】解：∵，
AD＝20cm，BD＝12cm，CE＝9cm，
∴，
∴AE＝15cm，
故选：B．
二、填空题（共8小题）
9．【答案】4．
利用物高比影长等于物高比影长，求出地面上的影长为2.4m的树的高度，再加上墙壁上的影高，即为树高．
【解答】解：设地面上的影长为2.4m的树的高度为xm，
由题意，得，
解得：x＝3m，
∴树高为：3+1＝4（m）；
故答案为：4．
10．【答案】．
连接AE，作AH⊥CB，交CB的延长线于点H，则∠H＝90°，而∠ABC＝120°，则∠BAH＝∠ABC﹣∠H＝30°，所以AB＝2BH，设BH＝m，则AB＝2m，求得AHm，由BC＝3AB＝6m，得CH＝7m，则AC2m，由BC＝3AB，DE＝3AD，得3，则，因为∠ABC＝∠ADE＝120°，所以△ABC∽△ADE，则∠BAC＝∠DAE，，所以，推导出∠CAE＝∠BAD，可证明△ACE∽△ABD，得，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接AE，作AH⊥CB，交CB的延长线于点H，则∠H＝90°，
∵∠ABC＝∠BAH+∠H，且∠ABC＝120°，
∴∠BAH＝∠ABC﹣∠H＝30°，
∴AB＝2BH，
设BH＝m，则AB＝2m，
∴AHm，
∵BC＝3AB＝3×2m＝6m，
∴CH＝BH+BC＝m+6m＝7m，
∴AC2m，
∵BC＝3AB，DE＝3AD，
∴3，
∴，
∵∠ABC＝∠ADE＝120°，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，，
∴，
∵∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△ACE∽△ABD，
∴，
故答案为：．
11．【答案】．
如图所示，作AF⊥BE于点F，DG⊥BE于点G，设AC＝3k，BC＝2k，由三线合一知BF＝FCBC＝k，由勾股定理可得AF，再判定DG为△AFC的中位线，则DG，GC＝FG，设CE＝x，由勾股定理可得BD2＝BG2+DG2，在Rt△BDE中，DE2＝BE2﹣BD2＝（2k+x）2，在Rt△DGE中，DE2＝DG2+GE2，故（2k+x）2，解得x，即可求出答案．
【解答】解：如图所示，作AF⊥BE于点F，DG⊥BE于点G，
∵，则设AC＝3k，BC＝2k，
∵△ABC是等腰三角形且AB＝AC，
∴BF＝FCBC＝k，
由勾股定理可得AF，
∵点D是AC的中点，DG∥AF，
∴G为FC的中点，
∴GC＝FG，
由中位线性质可得DG，
设CE＝x，
由勾股定理可得BD2＝BG2+DG2，
在Rt△BDE中，DE2＝BE2﹣BD2＝（2k+x）2，
在Rt△DGE中，DE2＝DG2+GE2，
∴（2k+x）2，
解得x，
故，
故答案为：．
12．【答案】12．
根据相似三角形的判定得出△ABD∽△ACB，根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可．
【解答】解：∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴，
∵AB＝6，AD＝3，
∴AC＝12，
故答案为：12．
13．【答案】3m．
证明△ABD∽△AEF，得，求出EF的长即可．
【解答】解：由题意可知，AE＝9m＝900cm，
∵∠ABC＝∠AEF＝90°，∠A＝∠A，
∴△ABD∽△AEF，
∴，
即，
解得：EF＝300cm＝3m，
即树高EF是3m，
故答案为：3m．
14．【答案】．
延长AM、BC交于点H，由平行四边形的性质得HC∥AD，则∠H＝∠DAM，而CM＝DM，∠HMC＝∠AMD，可证明△HMC≌△AMD，则HC＝AD＝BCHB，由∠ABE＝∠CBE＝∠AEB，得CD＝AB＝AE，则，所以AEBCHB，再证明△AEF∽△HBF，得，于是得到问题的答案．
【解答】解：延长AM、BC交于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，AD＝BC，HC∥AD，
∴∠H＝∠DAM，
∵点M是CD的中点，
∴CM＝DM，
在△HMC和△AMD中，
，
∴△HMC≌△AMD（AAS），
∴HC＝AD＝BCHB，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠CBE＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴CD＝AB＝AE，
∵，
∴，
∴AEBCHBHB，
∵AE∥HB，
∴△AEF∽△HBF，
∴，
故答案为：．
15．【答案】12．
分析题意，根据相似三角形判定的知识易得△AED∽△ABC，再根据相似三角形的对应边成比例，可得到关于BC的比例式：，将已知数据代入关于BC的关系式即可求得旗杆的高．
【解答】解：对图形进行点标注，如图所示：
∵ED⊥AD，BC⊥AC，
∴ED∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴．
∵AD＝8m，AC＝AD+CD＝30m，ED＝3.2m，，
∴BC＝12m．
即旗杆的高为12m．
故答案为：12．
16．【答案】3．
由已知得△ABP∽△CDP，则根据相似形的性质可得，解答即可．
【解答】解：由题意知：∠APB＝∠CPD，
∵AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，
∴∠ABP＝∠CDP＝90°，
∴Rt△ABP∽Rt△CDP，
∴，
∵AB＝2，BP＝2.4，PD＝3.6，
∴CD＝3．
故答案为：3．
三、解答题（共4小题）
17．【答案】（1）∵四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，
∴AD＝CD，AC⊥BD，CD∥AB，
∴∠DCA＝∠DAC，∠AOD＝90°，
∵DE⊥AB于点E，交AC于点F，
∴∠CDF＝∠AEF＝90°，
∵∠OFD+∠DCA＝90°，∠ODA+∠DAC＝90°，
∴∠OFD＝∠ODA，
∵∠DOF＝∠AOD，
∴△ODF∽△OAD．
（2）OF的长为3，AE的长为．
（1）由菱形的性质得AD＝CD，AC⊥BD，CD∥AB，则∠DCA＝∠DAC，∠AOD＝90°，由DE⊥AB于点E，交AC于点F，得∠CDF＝∠AEF＝90°，即可由∠OFD+∠DCA＝90°，∠ODA+∠DAC＝90°，推导出∠OFD＝∠ODA，而∠DOF＝∠AOD，则△ODF∽△OAD．
（2）由△ODF∽△OAD，得，则OA OF＝OD2，因为AF，OD＝OB＝4，所以OA（OA）＝16，求得OA，则OF＝3，由勾股定理得DF5，再证明△AFE∽△DFO，得，则AE．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，
∴AD＝CD，AC⊥BD，CD∥AB，
∴∠DCA＝∠DAC，∠AOD＝90°，
∵DE⊥AB于点E，交AC于点F，
∴∠CDF＝∠AEF＝90°，
∵∠OFD+∠DCA＝90°，∠ODA+∠DAC＝90°，
∴∠OFD＝∠ODA，
∵∠DOF＝∠AOD，
∴△ODF∽△OAD．
（2）解：∵△ODF∽△OAD，
∴，
∴OA OF＝OD2，
∵AF，OD＝OB＝4，
∴OF＝OA，OD2＝16，
∴OA（OA）＝16，
解得OA或OA＝﹣3（不符合题意，舍去），
∴OF3，
∴DF5，
∵∠AEF＝∠DOF，∠AFE＝∠DFO，
∴△AFE∽△DFO，
∴，
∴AE，
∴OF的长为3，AE的长为．
18．【答案】该古城墙的高度为6米．
根据题意可得：∠DEC＝∠BEA，再根据垂直定义可得∠DCE＝∠BAE＝90°，然后证明△DCE∽△BAE，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：∠DEC＝∠BEA，
∵AB⊥AC，CD⊥AC，
∴∠DCE＝∠BAE＝90°，
∴△DCE∽△BAE，
∴，
∴，
解得：CD＝6，
∴该古城墙的高度为6米．
19．【答案】（1）∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，
∴△BDC∽△ABC．
（2）BC的长是2．
（1）由∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△BDC∽△ABC．
（2）由相似三角形的性质得，而CD＝1，AC＝4，则BC2＝CD AC＝4，求得BC＝2．
【解答】（1）证明：∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，
∴△BDC∽△ABC．
（2）解：∵△BDC∽△ABC，
∴，
∵CD＝1，AC＝4，
∴BC2＝CD AC＝1×4＝4，
∴BC＝2或BC＝﹣2（不符合题意，舍去），
∴BC的长是2．
20．【答案】（1）AB的长为2米；
（2）点E到地面的高度DE为4.2米．
（1）根据题意可得：∠GBA＝∠FBC，FC⊥AD，GA⊥AD，从而可得∠FCA＝∠GAB＝90°，进而可得△FBC∽△GBA，然后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答；
（2）利用（1）的结论可得：BC＝3米，再根据题意可得：ED⊥AD，FC⊥AD，从而可得∠EDB＝∠FCA＝90°，然后证明△FCB∽△EDB，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：∠GBA＝∠FBC，FC⊥AD，GA⊥AD，
∴∠FCA＝∠GAB＝90°，
∴△FBC∽△GBA，
∴，
∴，
解得：AB＝2，
∴AB的长为2米；
（2）∵AB＝2米，AC＝5米，
∴BC＝AC﹣AB＝5﹣2＝3（米），
由题意得：ED⊥AD，FC⊥AD，
∴∠EDB＝∠FCA＝90°，
∵∠FBC＝∠EBD，
∴△FCB∽△EDB，
∴，
∴，
解得：DE＝4.2，
∴点E到地面的高度DE为4.2米．