20.1 勾股定理及其应用 同步练习（含答案）-2025-2026学年八年级下册数学人教版

20.1 勾股定理及其应用
一、选择题（共10小题）
1．（2025春 奈曼旗期末）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025秋 宿豫区期中）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若Rt△ABC是“倍长三角形”，有一条边的长度为1，则它的较长直角边的长度所有可能取值有（　　）
A．4种 B．5种 C．6种 D．7种
3．（2025春 化州市校级月考）如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（　　）
A． B．1.4 C． D．
4．（2025春 盘龙区期中）如图，三角形是直角三角形，以点O为圆心，OB为半径画弧，交数轴于点A，若点A所表示的数为x，则x的值为（　　）
A． B． C．2 D．﹣2
5．（2025春 古蔺县校级期末）下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2023秋 红古区期末）直角三角形的两条直角边的长分别为6和8，则斜边长为（　　）
A．10 B．5 C．4 D．3
7．（2024春 新市区校级月考）若直角三角形的三边长分别为3，5，x，则x的可能值有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2024春 金州区期中）如图，在长方形OABC中，OA的长为2，AB的长为1，OA在数轴上，点O表示数0，以点O为圆心，对角线OB长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（　　）
A．2.5 B．2 C． D．
9．（2023秋 滕州市期中）已知x，y为正数，且|x﹣6|+（y﹣8）2＝0，如果以x，y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（　　）
A．10 B．100 C．14 D．196
10．（2022秋 榆树市期末）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB、BC、AC为边向外作正方形，若三个正方形的面积分别为225、400、S，则S的值为（　　）
A．25 B．175 C．600 D．625
二、填空题（共8小题）
11．（2025秋 宿迁期末）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 　 　 ．
12．（2025春 浦东新区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，△BDE周长为8，AC＝10，则△ABC的周长是 　 　 ．
13．（2025春 大武口区期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为 　 　 ．
14．（2025春 讷河市期末）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为S1，S2，S3，S4．若S1+S4＝135，S3＝49，则S2＝　 　 ．
15．（2025春 青羊区校级期中）如图，钓鱼竿AB的长为6m，露在水面上的鱼线BC长为2m．钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿AB转到AB′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′长为，则CC′的长为 　 　 ．
16．（2025春 邯郸校级期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A′D为1.5米，则小巷的宽为 　 　 米．
17．（2025春 封开县期末）如图由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是 　 　 m．
18．（2025秋 内蒙古校级月考）如图，某会展中心准备将高5m，长13m，宽2m的楼道铺上地毯，若地毯每平方米30元，则铺完这个楼道至少需要 　 　 元．
三、解答题（共5小题）
19．（2025春 同安区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）若BC＝5，AB＝6，求AC的长
（2）若∠B＝30°，BC＝3，求AC的长．
20．（2025秋 兴庆区校级月考）如图，已知四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为α，b，斜边长为c．求证：a2+b2＝c2．
21．（2025春 镇原县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，BC＝4，求AC的长．
22．（2024秋 榕江县校级期中）已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b．
（1）如果a＝7，b＝24，求c；
（2）如果a＝12，c＝13，求b．
23．（2024秋 常宁市期末）学过《勾股定理》后，八（1）班数学兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度．小华测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1），小明拉着绳子的下端往后退，当他将绳子拉直时，小凡测得此时小明拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为9米（如图2）．（1）设AB长为x米，绳子为　 　 米，AE为　 　 米（用x的代数式表示）；
（2）请你求出旗杆的高度AB．
参考答案
一、选择题（共10小题）
1．【答案】B
利用面积法证明勾股定理即可解决问题．
【解答】解：A、中间小正方形的面积c2＝（a+b）2﹣4ab；化简得c2＝a2+b2，可以证明勾股定理，本选项不符合题意．
B、不能证明勾股定理，本选项符合题意．
C、利用A中结论，本选项不符合题意．
D、中间小正方形的面积（b﹣a）2＝c2﹣4ab；化简得a2+b2＝c2，可以证明勾股定理，本选项不符合题意，
故选：B．
2．【答案】B
分类讨论1是短直角边时，再对2倍的边进行分类，1是长直角边是，再对2倍边进行分类，
【解答】解：设短直角边是a，长直角边是b，斜边是c，
当a＝1时，
根据“倍长三角形”定义，可能有两种情况：
①长直角边是短直角边的 2 倍（b＝2a）则b＝2×1＝2，此时较长直角边为2，
②斜边是短直角边的 2 倍（c＝2a）则c＝2×1＝2，由勾股定理得：b2＝ c2﹣a2＝4﹣1 ＝ 3，此时较长直角边为1，
当b＝ 1时，
根据“倍长三角形”定义，长直角边是短直角边是的2倍时，即a＝ ．此时较长直角边就是1．
当c＝1时，
根据“倍长三角形”定义，可能有两种情况：
①当b＝2a时，由勾股定理：a2+b2＝c2，代入b＝2a、c＝1得：a2+4a2＝1，a （负值舍去），则b，
②当c＝2a，则a，由勾股定理得：b＝ ，符合条件，
综合得出：共5 种，
故选：B．
3．【答案】C
根据勾股定理求出OB，进而得到OA的长，根据数轴的概念解答即可．
【解答】解：由勾股定理得，OB，则OA＝OB，
∴点A表示的数是，
故选：C．
4．【答案】B
先根据勾股定理求出OB的值，再根据实数与数轴的关系即可得出结论．
【解答】解：∵OB，
∴OA，
∵点A在x轴的负半轴，
∴x的值为．
故选：B．
5．【答案】C
先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可．
【解答】解：把斜边定为c，
A、∵c2ab（a+b）（a+b），
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、∵4（b﹣a）2＝c2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
D、∵4c2＝（a+b）2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
故选：C．
6．【答案】A
根据直角三角形的两条直角边的长为6和8，利用勾股定理即可求出其斜边的长．
【解答】解；∵直角三角形的两条直角边的长为6和8，
∴它的斜边长10．
故选：A．
7．【答案】B
由于直角三角形的斜边不能确定，故应分x为斜边或5为斜边两种情况进行讨论；根据勾股定理即可得出结果．
【解答】解：当x为斜边时，x；
当5为斜边时，x4．
∴x的可能值有2个：或4；
故选：B．
8．【答案】D
由勾股定理求出OB的长，则可得出答案．
【解答】解：∵OA＝2，AB＝1，
∴OB，
∴这个点表示的实数是．
故选：D．
9．【答案】B
由绝对值和偶次方的非负性质解出x、y的值，再由勾股定理求出斜边的长，斜边长的平方即为正方形的面积．
【解答】解：∵x，y为正数，且|x﹣6|+（y﹣8）2＝0，
∴x﹣6＝0，y﹣8＝0，
∴x＝6，y＝8，
∴以x，y的长为直角边作一个直角三角形的斜边长为10，
∴以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为102＝100，
故选：B．
10．【答案】D
由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，直接代入即可．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，
由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
∴225+400＝S，
∴S＝625．
故选：D．
二、填空题（共8小题）
11．【答案】25．
三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母A所代表的正方形的面积A＝9+16＝25．
【解答】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方＝9，一直角边的平方＝16，
则斜边的平方＝9+16＝25．
故答案为：25．
12．【答案】28
根据角平分线的性质可得DE＝DC，根据△BDE周长为8，得出DE+BE+BD＝CD+BD+BE＝BC+BE＝8，证明Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），得出AE＝AC＝10，即可求出结果．
【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC，
∵△BDE周长为8，
∴DE+BE+BD＝CD+BD+BE＝BC+BE＝8，
∵在Rt△ADC和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），
∴AE＝AC＝10，
∴△ABC的周长为：
AC+BC+BE+AE＝8+10+10＝28．
故答案为：28．
13．【答案】3
由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为：ab8＝4，
∴4ab+（a﹣b）2＝25，
∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，
∴a﹣b＝3或a﹣b＝﹣3（舍去），
故答案为：3．
14．【答案】86．
根据正方形面积计算公式得到，，，再由勾股定理推出S1+S4＝S2+S3，据此可得答案．
【解答】解：如图，连接BD．
由题意，得，，，．
在Rt△ABD中，由勾股定理得BD2＝AB2+AD2＝S1+S4．
在Rt△BCD中，由勾股定理得BD2＝BC2+CD2＝S2+S3．
∴S1+S4＝S2+S3．
∴S2＝S1+S4﹣S3＝135﹣49＝86，
故答案为：86．
15．【答案】m
在Rt△AB′C′和Rt△ABC中分别利用勾股定理求出AC′，AC的长，即可得到答案．
【解答】解：在Rt△AB′C′中，，AB′＝6m，
∴AC'3（m），
在Rt△ABC中，BC＝2m，AB＝6m，
∴，
∴，
故答案为：．
16．【答案】2.7．
在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再在Rt△A′BD中利用勾股定理计算出BD长，然后可得CD的长．
【解答】解：在Rt△ABC中，
AB2.5（米），
∴A′B＝2.5米，
在Rt△A′BD中，
BD2（米），
∴BC+BD＝2+0.7＝2.7（米），
答：小巷的宽为2.7米，
故答案为：2.7．
17．【答案】16
根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可．
【解答】解：由题意得BC＝8m，AC＝6m，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB10（米）．
所以大树的高度是10+6＝16（米）．
故答案为：16．
18．【答案】1020
地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即AB与BC的和，在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解．
【解答】解：由勾股定理得AB12（m），
则地毯总长为12+5＝17（m），
则地毯的总面积为17×2＝34（平方米），
所以铺完这个楼道至少需要34×30＝1020（元）．
故答案为：1020．
三、解答题（共5小题）
19．【答案】见试题解答内容
（1）直接利用勾股定理求得答案即可；
（2）由∠C＝90°，∠B＝30°，得出AB＝2AC，设AC为x，利用勾股定理列出方程求得答案即可．
【解答】解：（1）AC；
（2）∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴AB＝2AC，
设AC为x，
由勾股定理得
x2+32＝（2x）2
解得：x
即AC．
20．【答案】见解析．
由图可知S正方形ABDE＝4S△ABF+S正方形FCHG根据题意列代数式，化简即可得到结论．
【解答】证明：由图可知S正方形ABDE＝4S△ABF+S正方形FCHG，
∵S正方形ABDE＝c2，S△ABFab，正方形FCHG边长为a﹣b，
∴c2＝4ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2，
即c2＝a2+b2．
21．【答案】4．
根据勾股定理列式计算即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝8，BC＝4，
∴AC4，
即AC的长为4．
22．【答案】（1）25；
（2）5．
（1）利用勾股定理计算c；
（2）利用勾股定理计算b．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，
由勾股定理得：
c
＝25；
（2）在Rt△ABC中，
由勾股定理得：
b
＝5．
23．【答案】见试题解答内容
（1）根据题意可得AC＝AB+2，AE＝AB﹣1，将AB＝x代入即可得解；
（2）结合（1）再根据CD＝1，CE＝9，从而构造直角三角形，根据勾股定理就可求出旗杆的高度．
【解答】解：（1）根据题意得：AC＝AB+2，AE＝AB﹣1，
设AB长为x米，则绳子长为（x+2）米，AE的长度为（x﹣1）米，
故答案为：（x+2）；（x﹣1）；
（2）在Rt△ACE中，AC＝x米，
AE＝（x﹣1）米，CE＝9米，
∵∠AEC＝90°，
∴（x﹣1）2+92＝（x+2）2，
解得：x＝13．
答：旗杆的高度AB为13米．