2026年中考数学一轮复习：用频率估计概率（含答案）

用频率估计概率
一、选择题（共8小题）
1．（2025 深圳校级二模）在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.5，那么可以估算出m的值为（　　）
A．8 B．12 C．15 D．20
2．（2025春 荣成市校级期末）某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，符合这一结果的实验最有可能的是（　　）
实验次数 100 200 500 800 1000 2000
频率 0.165 0.166 0.166 0.167 0.166 0.167
A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
C．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5
D．抛一枚硬币，出现反面的概率
3．（2025 龙华区校级模拟）一个不透明的袋子中装有2个黑球和n个红球，这些球除颜色外其他都相同．课外兴趣小组做摸球试验：每次摸出一个球，记录下颜色后再放回，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.8附近摆动，则n的值最可能是（　　）
A．8 B．6 C．5 D．2
4．（2025 蓬江区校级三模）一个不透明的口袋里装有15个不同颜色的小球（除颜色外其余均相同），其中有n个红球．每次摸出一个球记录下颜色后再放回，统计每次实验红球出现的频率如图，则n的值最可能是（　　）
A．6 B．8 C．9 D．10
5．（2025春 泰山区期末）某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的试验最有可能是（　　）
试验次数 100 200 300 500 800 1000 2000
频率 0.365 0.28 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333
A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
B．在一个装有3个红球、6个白球的箱子里（小球除颜色外都相同），从中摸到的是红球
C．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的点数是5
D．抛一枚质地均匀的硬币，出现的是反面
6．（2025春 清原县月考）小明同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（　　）
A．小明定点投篮1次，不一定能投中
B．小明定点投篮1次，一定可以投中
C．小明定点投篮10次，一定投中4次
D．小明定点投篮4次，一定投中1次
7．（2025春 漳州期末）对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果如下表所示：
随机抽取的乒乓球数n 10 20 50 100 200 500 1000
优等品m 7 16 43 81 164 414 831
优等品率 0.700 0.800 0.860 0.810 0.820 0.828 0.831
则在这批乒乓球中任取一个，估计它为优等品的概率约为（结果精确到0.01）（　　）
A．0.70 B．0.80 C．0.83 D．0.86
8．（2024秋 安福县期末）实验小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次实验后获得如表数据：
重复实验次数 100 500 1000 5000 …
钉尖朝上次数 50 150 380 2000 …
由此可以估计任意抛掷一次图钉钉尖朝上的概率约为（　　）
A．0.50 B．0.40 C．0.38 D．0.37
二、填空题（共8小题）
9．（2024秋 玉溪校级期末）在一个不透明的口袋中装有红球、白球共40个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了200次球，若其中有20次摸到红球，则估计这个口袋中红球的数量为 　 　 个．
10．（2025春 船营区校级期末）小明在做抛掷硬币的试验中，抛掷结果为正面的频数为40，频率为40%，则小明共抛掷了 　 　 次．
11．（2025春 萍乡期末）在一个不透明的袋子里装有除颜色外完全相同的若干个黑球和白球，小红摸出一个小球记录颜色后放回口袋，经过大量的摸球试验后发现摸到白球的频率稳定在0.2左右，那么摸出黑球的概率约为 　 　 ．
12．（2025春 南京期末）已知一只纸箱中装有除颜色外完全相同的黄色、白色乒乓球共100个．通过多次摸球试验后，发现摸到黄色球的频率是0.4．则可估计纸箱中白色球有　 　 个．
13．（2025 伊川县一模）一个盒子中有12个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，经过多次重复实验，发现摸到红球的频率稳定在0.6附近，则估计盒子中白球有 　 　 个．
14．（2025 南山区模拟）2024年农业主导品种主推技术发布，山西的谷子品种“晋谷21号”上榜．为了进一步验证该种子的性能，某生物兴趣小组的同学在相同实验条件下，对其发芽率进行了研究，并得到了以下部分数据：
种子数 30 75 150 200 400 800 1200 2500
发芽数 28 69 141 192 388 778 1167 2435
发芽频率 0.933 0.920 0.940 0.960 0.970 0.973 0.973 0.974
根据上面的数据，估计这种粮食种子在该实验条件下发芽的概率是　 　 ．（结果精确到0.01）
15．（2025 岳麓区校级开学）数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有2个白球，3个黄球和5个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是 　 　 ．（填“白色”，“黄色”或“红色”）
16．（2025春 三明期末）某林业部门统计了某种树苗在一定条件下的移植成活率，结果如下表所示：
移植总数（n） 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 23000
成活数（m） 369 662 1335 3196 6335 8091 12628 20723
成活的频率 0.923 0.883 0.890 0.913 0.905 0.899 0.902 0.901
根据表中数据，估计这种树苗移植成活率的概率是　 　 （精确到0.1）．
三、解答题（共5小题）
17．（2025春 陕西期末）某市抽取若干名中学生的作业进行检查，结果如表所示：
抽取作业数量n 100 200 300 400 500 1000
优秀数量m 94 194 288 380 475 b
优秀频率 a 0.97 0.96 0.95 0.95 0.95
（1）计算：a＝　 　 ，b＝　 　 ；
（2）估计该市学生作业优秀的概率．（精确到0.01）
18．（2025春 项城市期末）在一个不透明的口袋里装有m个相同的红球，为了估计口袋中红球的数量，七（1）班的学生在数学实验课上分组做摸球试验：将14个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是汇总各小组数据后所制作的班级统计总表：
摸球的次数s 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的频数n 65 111 a 345 568 700
摸到白球的频率 0.65 0.74 0.68 0.69 b 0.70
（1）按表格数据格式，表中的a＝　 　 ，b＝　 　 ；
（2）请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近　 　 ；（精确到0.1）
（3）估计在这个不透明的口袋中，红球数量m的值．
19．（2025春 甘孜州期末）如图，某商场有一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 600
落在“铅笔”的次数m 68 144 207 414
落在“铅笔”的频率 0.68 0.72 0.71 0.70
（1）计算并完成表格；
（2）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是 　 　 ．（结果保留小数点后一位）
20．（2025 丰泽区校级模拟）某校理科社团决定采用抽卡片的方式对招募来的学生进行分组，制作了除图片内容不同外，其他完全相同的四张卡片：A．积土成山B．蜡炬成灰C．物腐虫生D．木已成舟．每个同学从这四张卡片中随机抽取一张，抽到表示化学变化的卡片，就加入化学魔法社；抽到表示物理变化的卡片，就加入物理小天团．（物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质生成）
（1）从四张卡片中随机抽取一张，抽到B卡片的概率是　 　 ．
（2）有同学说抽到每种卡片的可能性不一样，于是老师组织同学进行大量重复试验．以抽到B卡片为例，数据记录如下：
试验次数n 100 300 500 1000 2000
抽到B卡片次数m 30 70 126 251 500
抽到B卡片频率 0.300 0.233 0.252 0.251 0.250
根据以上数据，抽到B卡片的频率越来越稳定于　 　 （精确到0.01），所以该同学的说法　 　 （用“正确”或“错误”填空）；
（3）小娜随机抽取一张卡片记录后，放回并混在一起，再由小菲随机抽取一张，请用列表法或画树状图法求她们恰好在同一个社团的概率．
21．（2025春 丹阳市期中）在一个不透明的口袋里，装有若干个除颜色外均相同的小球，某数学实践小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 600 1000 2000
摸到红球的次数m 83 123 b 483 803 1602
摸到红球的频率 a 0.82 0.81 0.805 0.803 0.801
（1）上表中的a＝　 　 ，b＝　 　 ；
（2）“摸到红球”的概率的估计值是　 　 （精确到0.1）；
（3）如果袋中有40个红球，那么袋中除了红球外，大约还有　 　 个其他颜色的小球．
参考答案
一、选择题（共8小题）
1．【答案】A
根据红球的个数除以总数等于频率，求解即可．
【解答】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.5，
∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为0.5，
∴，
∴m＝8．
经检验，m＝8 是方程的解，且符合题意．
故选：A．
2．【答案】C
根据表格数据，随着实验次数的增加，频率稳定在0.167左右，对应的概率约为．需逐一验证各选项的理论概率，选择最接近的选项．
【解答】解：表格中实验次数从100到2000时，频率在0.165至0.167之间波动，最终稳定在附近，
A：一副去掉大小王的扑克牌共52张，红桃有13张，概率为，不符合．
B：在“石头、剪刀、布”游戏中，每个选项的概率为，不符合．
C：正六面体骰子每个点数出现的概率均为，与表格数据一致．
D：抛硬币出现反面的概率为，不符合．
∴选项C的理论概率与实验频率最接近．
故选：C．
3．【答案】A
根据题意可得红球出现的频率稳定在0.8附近，再根据概率公式列出方程，最后解方程即可求出n．
【解答】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.8附近摆动，
∴摸到红球的概率为0.8，即，
解得：n＝8，
经检验n＝8是方程的解，
故选：A．
4．【答案】C
由图形知，红球出现的频率逐渐稳定于数值0.6，再乘球的总个数即可得出答案．
【解答】解：由图形知，红球出现的频率逐渐稳定于数值0.6，
所以估计袋中红球的个数n＝15×0.6＝9，
故选：C．
5．【答案】B
分别计算出每一项的概率，判断是否与表中概率是否相符即可．
【解答】解：A、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为：0.25，不符合题意；
B、在一个装有3个红球、6个白球的箱子里（小球除颜色外都相同），从中摸到的是红球的概率为：0.33，符合题意；
C、抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的点数是5的概率为：0.17，不符合题意；
D、抛一枚质地均匀的硬币，出现的是反面的概率为：0.5，不符合题意．
故选：B．
6．【答案】A
根据概率的定义判断即可．
【解答】解：A．小明定点投篮1次，不一定能投中符合题意；
B．小明定点投篮1次，一定可以投中不符合题意；
C．小明定点投篮10次，可能投中4次，不符合题意；
D．小明定点投篮4次，可能投中1次，不符合题意；
故选：A．
7．【答案】C
通过观察不同抽取数量下的优等品率，发现随着抽取数量的增加，频率逐渐稳定在0.83附近，因此可用此频率估计概率．
【解答】解：由表格数据可知，当抽取数量较小时，优等品率波动较大（如0.70到0.86），但随着抽取数量增大至500和1000时，优等品率分别为0.828和0.831，逐渐稳定在0.83左右．根据频率稳定性定理，当试验次数足够多时，频率可作为概率的估计值，因此，任取一个乒乓球为优等品的概率约为0.83．
故选：C．
8．【答案】B
观察表格的数据求出每次试验得到的频率可以得到图钉钉尖朝上的频率，然后用频率估计概率即可求解．
【解答】解：表中图钉钉尖朝上的频率分别为0.5，0.3，0.38，0.4，
图钉钉尖朝上频率逐渐稳定在0.4左右，
估计任意抛掷一枚图钉，图钉钉尖朝上的概率约为0.4．
故选：B．
二、填空题（共8小题）
9．【答案】见试题解答内容
根据题意和题目中的数据，可知口袋中红球的个数约为：40，然后计算即可．
【解答】解：由题意可得：
口袋中红球的个数约为：404（个），
故答案为：4．
10．【答案】100．
根据公式：数据个数＝频数÷频率即可．
【解答】解：抛掷结果为正面的频数为40，频率为40%，
∴小明共抛掷了：40÷40%＝100（次），
故答案为：100．
11．【答案】0.8．
根据大量重复试验频率等于概率及概率之和等于1直接求解即可得到答案．
【解答】解：∵经过大量的摸球试验后发现摸到白球的频率稳定在0.2左右，
∴P黑＝1﹣0.2＝0.8，
故答案为：0.8．
12．【答案】60．
利用频率估计概率得到摸到白球的概率为1﹣0.4＝0.6，然后根据概率公式计算即可．
【解答】解：∵通过多次摸球试验后，发现摸到黄色球的频率是0.4．．
∴估计摸到白球的频率为1﹣0.4＝0.6，
∴可估计袋中白球的个数是100×0.6＝60（个）．
故答案为：60．
13．【答案】见试题解答内容
设袋中白球有x个，根据概率公式列出算式，求出x的值，即可得出答案．
【解答】解：设袋中白球有x个，
根据题意，得：0.6，
解得：x＝8，
经检验：x＝8是分式方程的解，
所以盒子中白球的个数约为8个，
故答案为：8．
14．【答案】见试题解答内容
利用频率估计概率求解即可．
【解答】解：由题意知，估计这种粮食种子在该实验条件下发芽的概率是0.97，
故答案为：0.97．
15．【答案】白色．
估计频率估计概率，即由从装有2个白球，3个黄球和5个红球袋子中，随机摸出1球的频率为0.20，估计从装有2个白球，3个黄球和5个红球袋子中，随机摸出1球的概率为0.20即可．
【解答】解：由频率统计图可知，随着摸球次数的增加，摸到这种颜色球的频率就越稳定在0.20附近，
因此可以估计“从装有2个白球，3个黄球和5个红球袋子中，随机摸出这种颜色球的概率为0.20”，
而从装有2个白球，3个黄球和5个红球袋子中，随机摸出1球是白球的概率为0.20，
所以该球的颜色最有可能是白色，
故答案为：白色．
16．【答案】0.9．
根据表格信息可知成活的频率稳定在0.9的附近徘徊，从而求出这种树苗移植成活率的概率．
【解答】解：根据表格信息可知，成活的频率稳定在0.9的附近徘徊，
则这种树苗移植成活率的概率为0.9，
故答案为：0.9．
三、解答题（共5小题）
17．【答案】（1）0.94，950；
（2）0.95．
（1）根据频率公式求a，根据优秀数量＝抽取作业数量×优秀频率求b即可；
（2）观察随着抽取作业数量增加，优秀频率的稳定值，以此估计概率．
【解答】解：（1）∵，b＝1000×0.95＝950，
故答案为0.94，950；
（2）∵随着n增大，优秀频率稳定在0.95附近，
∴估计该市学生作业优秀的概率大约是0.95．
18．【答案】（1）136，0.71；
（2）0.7；
（3）红球数量m的值为6．
（1）根据频率＝频数÷样本总数，即可求解；
（2）从表中的统计数据可知，摸到白球的频率稳定在0.7左右；
（3）先利用频率估计概率可得摸到白球的概率，根据白球的个数求出球的总个数，再利用球的总个数减去白球的个数，即可得出红球的个数．
【解答】解：（1）a＝200×0.68＝136，，
故答案为：136，0.71；
（2）将14个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，
当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近0.7．
故答案为：0.7；
（3）摸到白球的概率为0.7，
因此球的总个数为：14÷0.7＝20（个），
红球个数为：20﹣14＝6（个）．
即红球数量m的值为6．
19．【答案】（1）见解析；
（2）0.7．
（1）根据频数与频率之间的关系即可完成表格；
（2）利用频率的稳定值估计概率即可．
【解答】解：（1）当n＝300，m＝207时，；
当n＝400，时，m＝400×0.71＝284；
当n＝500，时，m＝500×0.70＝350；
当n＝600，n＝414时，；
完成表格如下：
转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 600
落在“铅笔”的次数m 68 144 207 284 350 414
落在“铅笔”的频率 0.68 0.72 0.69 0.71 0.70 0.69
（2）由表格得，转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是0.7．
故答案为：0.7．
20．【答案】（1）；
（2）0.25，错误；
（3）．
（1）直接利用概率公式计算即可；
（2）利用频率估计概率即可；
（3）利用列表法即可求出答案．
【解答】解：（1）从四张卡片中随机抽取一张，抽到B卡片的概率是；
故答案为：；
（2）根据以上数据，抽到B卡片的频率越来越稳定于0.25，所以该同学的说法错误；
故答案为：0.25，错误；
（3）列表如下
小菲 小娜 A B C D
A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D）
由表可以看出，共有16种等可能的结果，其中小娜和小菲恰好在同一个社团的结果有8种，
∴P（恰好在同一社团）．
21．【答案】（1）0.83、162；
（2）0.8；
（3）10．
（1）根据频率＝频数÷总数求解即可；
（2）利用频率估计概率求解即可；
（3）用红球的个数除以红球的概率估计值，再减去红球个数即可．
【解答】解：（1）a＝83÷100＝0.83，b＝200×0.81＝162，
故答案为：0.83、162；
（2）“摸到红球”的概率的估计值是0.8，
故答案为：0.8；
（3）如果袋中有40个红球，那么袋中除了红球外，其它颜色小球的个数约为40÷0.8﹣40＝10（个），
故答案为：10．