2026年中考数学一轮复习：正多边形和圆（含答案）

正多边形和圆
一、选择题（共8小题）
1．（2024秋 青龙县期末）如图，正六角形螺帽的边长a为1cm，则扳手的开口b的长为（　　）
A． B．2cm C． D．1cm
2．（2025 宜秀区三模）如图，已知五边形ABCDE为正五边形，以点A为圆心，以AC的长为半径画弧，分别交AB，AE的延长线于点F，G．连接CG，DG，则∠CGD等于（　　）
A．16° B．17° C．18° D．19°
3．（2025春 江阳区校级月考）已知正六边形的面积为，则它的周长为（　　）
A．6 B．12 C．18 D．24
4．（2025春 平利县月考）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接OA，AC，则∠OAC的度数为（　　）
A．20° B．25° C．30° D．40°
5．（2025 巴彦淖尔校级二模）如图，A、B、C、D均为圆周上十二等分点，若用直尺测量弦CD长时，发现C点、D点分别与刻度1和4对齐，则A、B两点的距离是（　　）
A． B． C． D．6
6．（2025 邯郸二模）在正六边形ABCDEF中，点M是BC的中点，连接ME，MF，若图中阴影部分的面积为，如下结论：
结论一：∠EMF＝30°．
结论二：．
下列判断正确的是（　　）
A．结论一正确，结论二不正确
B．结论一不正确，结论二正确
C．结论一正确，结论二正确
D．结论一不正确，结论二不正确
7．（2025春 沈河区期末）如图，已知直线FG与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相交于点H，I，形成夹角α和β，则α+β＝（　　）
A．115° B．120° C．142° D．144°
8．（2025 南宫市模拟）如图，在探究活动中，某数学小组将两张完全重合的正六边形纸片的中心O用图钉固定住，保持下方正六边形纸片不动，将上方正六边形纸片绕点O顺时针旋转（0°＜α＜60°），旋转后上方正六边形纸片的两边与边AB分别交于点M，N．该小组得到结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（　　）
结论Ⅰ：当α＝30°时，阴影部分是正十二边形；
结论Ⅱ：连接OM、ON，在旋转过程中，∠MON的度数不变．
A．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 B．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确
C．只有结论Ⅰ正确 D．只有结论Ⅱ正确
二、填空题（共8小题）
9．（2025 碑林区校级模拟）如图，正八边形ABCDEFGH的对角线AF与BH相交于点O，则∠1＝ 　 　 ．
10．（2025 合肥校级二模）如图，在正n边形中，∠1＝18°，则n的值是　 　 ．
11．（2025 福州模拟）一个正多边形的中心角为45°，半径为4，则该正多边形的面积等于　 　 ．
12．（2025 灞桥区校级模拟）如图，正五边形ABCDE中，M、N分别为AB、AE的中点，连接DM、CN，O为DM、CN的交点，则∠MON的大小为　 　 °．
13．（2025春 徐汇区校级月考）顺次联结正六边形各边中点得到的六边形面积与原六边形面积的比值为　 　 ．
14．（2025 宿迁）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠ACD的度数为 　 　 °．
15．（2025春 浦东新区校级期末）如果一个正多边形的内角和是540°，那么它的中心角是　 　 度．
16．（2025 邯郸模拟）如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，连接AO，BO，则∠FED﹣∠AOB＝　 　 °．
三、解答题（共5小题）
17．（2024秋 延长县期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，PA与⊙O相切于点A，求∠PAB的度数．
18．（2024秋 嘉鱼县期中）如图，CE是正六边形（六条边相等，六个内角相等）的一条对角线，延长CE，AF交于点M．
（1）判断△EFM的形状；
（2）若EF＝3，求AM的长．
19．（2022秋 黔南州期末）已知一个正多边形的每个内角均为108°．
（1）求这个正多边形的边数．
（2）若这个正多边形的边长为a，且，求该正多边形的周长．
20．（2023秋 安阳期中）已知一个正多边形的外角比相邻的内角小120°．
（1）求这个正多边形的外角的度数；
（2）直接写出这个正多边形的边数．
21．（2023秋 离石区月考）如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是的中点，连接BE，CE．
（1）求∠E的度数；
（2）求证：BE＝CE；
（3）若AB＝2，则点E到BC的距离为 　 　 ．
参考答案
一、选择题（共8小题）
1．【答案】A
过点A作AC⊥BC于点C，解直角三角形即可求解．
【解答】解：如图，过点A作AC⊥BC于点C，
∵正六边形的每一个内角为120°，
∴∠CAB＝30°，
∴BCABcm，ACBCcm，
∴b＝2AC（cm），
故选：A．
2．【答案】C
连接AC，AD，首先，由正五边形内角和公式求出内角∠BAE的度数，进而得到∠B和∠BAE的度数，然后，根据等腰三角形性质求出∠BAC和∠DAE的度数，求出∠CGD的度数，最后通过，求出∠CGD的度数．
【解答】解：如图，连接AC，AD，
∴∠CAD＝2∠CGD，，
∵五边形ABCDE为正五边形，
，
在等腰△ABC中，AB＝BC，
，
同理：∠EAD＝36°，
∴∠CAD＝∠BAE﹣∠BAC﹣∠DAE＝36°，
∴，
故选：C．
3．【答案】A
连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于H，根据正六边形的性质得到∠AOB＝60°，根据等边三角形的性质得到OA＝AB＝OB，∠OAB＝60°，根据正六边形的面积公式求出AB，再根据正六边形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：如图，连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于H，
由正六边形的性质可知：∠AOB60°，OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴OA＝AB＝OB，∠OAB＝60°，
∴OH＝OA sin∠OABOAAB，
由题意得：AB AB×6，
解得：AB＝1，
∴正六边形的周长为：1×6＝6，
故选：A．
4．【答案】C
连接OC，OB，根据中心角的定义求出∠AOB＝∠BOC＝60°，进而求出∠AOC＝120°，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理求解即可．
【解答】解：连接OC，OB，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝60°+60°＝120°，
∵OA＝OC，
∴（等边对等角），
故选：C．
5．【答案】C
根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及圆周角定理进行计算即可．
【解答】解：如图，连接AD，由正十二边形，圆的对称性可知，AD是⊙O的直径，
∵点O是正十二边形的中心，点A，点B，点C，点D是其中的十二等分点，
∴∠COD2＝60°，，
∴AB＝AC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，∠CAD∠COD30°，
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，CD＝4﹣1＝3，
∴ACCD＝3，
∴AB＝AC＝3．
故选：C．
6．【答案】D
设正六边形的中心为点O，连接BF，BE，OF，过点A作AT⊥BF于T，求得BF的长，利用勾股定理求得MF，利用三角形面积公式可得FK的长，解直角三角形即可求得∠EMF的正弦值，即可解答．
【解答】解：设正六边形的中心为点O，连接BF，BE，OF，过点A作AT⊥BF于T，
设正六边形的边长为a，
可得，
由题意可得：AB＝AF，∠BAF＝120°，∠FEB＝∠EBC＝60°，
∴EF∥BC，
∴S△MEF＝S△BEF，
∵AB＝AF，
∴BT＝FT，∠BAT＝∠FAT＝60°，
∴，
∴．
∵∠AFE＝120°，∠AFB＝∠ABF＝30°，
∴∠BFE＝90°．
∴，
∵EF＝a，
∴△MEF的面积＝△BEF的面积，
∴a＝2（负值舍去），
∴BM＝1，
∴，故结论二不正确．
如图，过点F作FK⊥ME于点K，连接EC，
∵∠DCE＝30°，，
∴∠FBM＝∠ABC﹣∠ABF＝90°，∠ECM＝∠DCB﹣∠DCE＝90°，
∵BM＝CM，
∴△FBM≌△ECM（HL），
∴MF＝ME，
∴，
∴，
∴，∠EMF≠30°，
故结论一不正确．
故选：D．
7．【答案】D
先求出正五边形每个内角的度数，再求出四边形AHIE的内角和，即可求出∠EIH+∠AHI的度数，再根据对顶角相等即可求出α+β的度数．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠A＝∠E108°，
∵四边形AHIE的内角和是（4﹣2）×180°＝360°，
∴∠A+∠E+∠EIH+∠AHI＝360°，
∴∠EIH+∠AHI＝360°﹣108°﹣108°＝144°，
∵α＝∠AHI，β＝∠EIH，
∴α+β＝144°，
故选：D．
8．【答案】A
当α＝30°时，由旋转性质可知∠AOC＝∠BOD＝30°，由正六边形中可得∠COD＝∠AOB＝60°，证明△AOM≌△DOM（AAS），则∠AOM＝∠DOM＝15°，同理∠DON＝15°，所以∠MON＝30°，从而判判断Ⅰ，同上理可得1故有 ，从而判断Ⅱ．
【解答】解：如图，当α＝30°时，
由旋转性质可知，∠AOC＝∠BOD＝30°，
由正六边形可得：∠COD＝∠AOB＝60°，
∴∠AOD＝∠BOD＝30°，
∴OD⊥AB，OA⊥CD，
∴∠OAM＝∠ODM，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠MAD＝∠MDA，
∴AM＝DM，
∴△AOM≌△DOM（AAS），
∴∠AOM＝∠DOM＝15°，
同理∠DON＝15°，
∴∠MON＝30°，
∴阴影部分的边数为，
即正十二边形，故正确；
同上理可得：，∠DON∠BOD，
∴∠DOM+∠DON（∠AOD+∠BOD）∠AOB＝30°，故Ⅱ正确；
故选：A．
二、填空题（共8小题）
9．【答案】67.5°．
先根据正多边形的性质得出AB＝AH，HG∥AF，∠BAH＝∠AHG＝135°，再根据等腰三角形的性质求出∠ABH＝∠AHB＝22.5°，根据平行线的性质求出∠HAF＝45°，再根据三角形外角的性质即可得解．
【解答】解：∵八边形ABCDEFGH是正八边形，
∴AB＝AH，HG∥AF，∠BAH＝∠AHG135°，
∴∠ABH＝∠AHB22.5°，∠AHG+∠HAF＝180°，
∴∠HAF＝45°，
∴∠1＝∠AHB+∠HAF＝22.5°+45°＝67.5°，
故答案为：67.5°．
10．【答案】20．
根据圆周角定理求出中心角的度数，求出n的值即可．
【解答】解：在正n边形中，∠1＝18°，如图，点O为外接圆的圆心，连接OA，OB，OC，
∴∠AOC＝2∠1＝36°，∠AOB＝∠BOC，
∴∠AOB＝18°，
∴；
故答案为：20．
11．【答案】32．
先利用中心角求出正多边形的边数，再利用正多边形的性质求出正多边形的面积．
【解答】解：∵该正多边形的中心角为45°，
∴正多边形的边数为：360°÷45°＝8，
作BC⊥OA于点C．
∴BC＝OCOB＝2，
∴S△OAB4，
∴正多边形的面积＝8S△OAB＝8×432．
故答案为：32．
12．【答案】72．
根据正五边形的内角和公式求出内角和，再除以5得到∠BCD＝∠EDC＝108°，由M、N分别为AB、AE的中点得CN、DM是正五边形的对称轴，所以，，最后根据三角形内角和定理和对顶角相等即可求解．
【解答】解：由题意可得：（5﹣2）×180°＝540°，
∴正五边形的每个内角为，
∴∠BCD＝∠EDC＝108°，
由题意可得：CN、DM是正五边形的对称轴，
∴∠BCN＝∠DCN，∠CDM＝∠EDM，
∴，，
∴∠COD＝180°﹣∠DCN﹣∠CDM＝72°，
∴∠MON＝∠COD＝72°，
故答案为：72．
13．【答案】．
连接OA、OB、OE，OA与EF交于H，设原正六边形的边长为a，解直角三角形用a表示出EF，再根据相似多边形的面积比等于相似比的平方计算．
【解答】解：如图，连接OA、OB、OE，OA与EF交于H，
设原正六边形的边长为a，
∵OA＝OB．AE＝BE，
∴OE⊥AB，EH＝OE
同理可得：OH⊥EF，
由正六边形的性质可知：∠AOB＝30°，
则△AOB为等边三角形，
∴OA＝AB＝a，∠AOE＝30°，
∴OE＝OA cos∠AOEa，
∴EH＝OE sin∠AOEaa，
∴EF＝2EHa，
则联结正六边形各边中点得到的六边形面积与原六边形的相似比为，
∴联结正六边形各边中点得到的六边形面积与原六边形面积的比值为，
故答案为：．
14．【答案】72．
由正五边形的性质可知△ABC是等腰三角形，求出∠B的度数即可解决问题．
【解答】解：在正五边形ABCDE中，∠B＝∠BCD（5﹣2）×180＝108°，AB＝BC，
∴∠BCA＝∠BAC（180°﹣108°）＝36°，
∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝108°﹣36°＝72°．
故答案为：72．
15．【答案】72．
根据正多边形的内角和求出其边数，即可求出这个正多边形的中心角的度数．
【解答】解：设这个正多边形的边数为n，
则（n﹣2）×180°＝540°，
解得n＝5，
所以正五边形的中心角是72°，
故答案为：72．
16．【答案】见试题解答内容
求得正多边形的每个内角度数和中心角度数，相减即可．
【解答】解：在正八边形ABCDEFGH中，每一内角的度数都为，
每一个中心角的度数都为．
∴∠FED﹣∠AOB＝135°﹣45°＝90°．
故答案为：90．
三、解答题（共5小题）
17．【答案】30°．
由正六边形的性质可得△AOB是等边三角形，即得∠OAB＝60°，由切线的性质可得∠OAP＝90°，再根据角的和差关系即可求解．
【解答】解：连接OA、OB，
由题意可得：，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠OAB＝60°，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AP，
∴∠OAP＝90°，
∴∠PAB＝∠OAP﹣∠OAB＝90°﹣60°＝30°．
18．【答案】（1）△EFM是直角三角形，理由见解析；
（2）9．
（1）由六边形ABCDEF是正六边形，得到∠AFE＝∠FED＝∠D＝120°，DC＝DE，求得∠CED＝∠ECD＝30°，推出∠FEM＝90°，根据直角三角形的判定定理得到△EFM是直角三角形；
（2）根据三角形的内角和定理得到∠M＝30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）△EFM是直角三角形，
理由：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AFE＝∠FED＝∠D＝120°，DC＝DE，
∴∠CED＝∠ECD＝30°，
∴∠CEF＝∠FED﹣∠CED＝120°﹣30°＝90°，
∴∠FEM＝90°，
即△EFM是直角三角形；
（2）∵∠AFE＝120°，∠FEM＝90°，
∴∠M＝30°，
∴FM＝2FE＝6，
∴AM＝3EF＝9．
19．【答案】（1）5；
（2）10．
（1）设这个正多边形的边数为n，根据正多边形外角和为360°，表示出正多边形一个内角，根据一个正多边形的每个内角均为108°建立等式求解即可解题．
（2）利用负整数指数幂运算法则算出正多边形的边长，再根据周长定义计算即可．
【解答】解：（1）设这个正多边形的边数为n，
利用多边形外角可得，，
解得n＝5，
经检验，n＝5使得n≠0，
所以n＝5是该方程的解，
答：这个正多边形的边数为5．
（2）∵，
∴该正多边形的周长为5×2＝10．
答：该正多边形的周长为10．
20．【答案】（1）30°；
（2）12．
（1）根据多边形的内角和、外角和公式即可求出答案；
（2）由多边形外角个数与边数之间的关系即可求出答案．
【解答】解：（1）设正多边形的外角为x°，则内角为（180﹣x）°，由题意，得：
180﹣x﹣x＝120，
解得x＝30，
∴正多边形的外角为30°；
（2）360°÷30°＝12，
∴这个正多边形的边数为12．
21．【答案】（1）∠E＝45°；
（2）见解析；
（3）．
（1）利用正方形和圆的关系，求得中心角∠BOC的度数，再利用圆周角定理即可求解；
（2）要证明BE＝CE，只要证明即可；
（3）连接EO并延长交BC于点F，证明EF是线段BC的垂直平分线，再利用勾股定理即可求解．
【解答】（1）解：如图，连接OB，OC，
∴，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴，
∴；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，
∴．
∵E是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴BE＝CE；
（3）解：连接EO并延长交BC于点F，
∵EB＝EC，OB＝OC，
∴EF是线段BC的垂直平分线，
∵∠BOC＝90°，OB＝OC，
∴，，
∴，
∴，即点E到BC的距离为，
故答案为：．