2026年中考数学一轮复习：解直角三角形及其应用（含答案）

2026年中考数学一轮复习：解直角三角形及其应用
一、选择题（共8小题）
1．（2025秋 东阳市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠B的正弦值（　　）
A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小2倍
2．（2025秋 张北县期末）如图是人字梯及其侧面示意图，AB＝AC＝2.4米，AB与AC的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为（　　）
A．米 B．米
C．米 D．米
3．（2025秋 玉溪期末）在校园科技节的户外实践活动中，小佳于倾斜角为30°的斜坡上，自点B使用激光笔向点A发射激光（激光传播路径记为BA），如图所示．已知线段BA的长度为180m，且地面BC处于水平状态，那么A、B两点间的竖直高度差为（　　）
A．100m B．90m C．80m D．70m
4．（2025秋 邗江区校级期末）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的每个顶点都在网格点上，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025秋 承德县期末）某堤的横断面如图，堤高BC是5m，斜坡AB的坡度是1：，那么斜坡AB的长为（　　）
A．10m B． C． D．
6．（2025秋 惠来县期末）如图，若要测量小河两岸相对的两点A，B的距离，可以在小河边取AB的垂线BP上的一点C，测得BC＝50米，∠BAC＝46°，则小河宽AB为多少米？（　　）
A．50sin44° B．50cos46° C．50tan46° D．50tan44°
7．（2025秋 黄浦区期末）小明和小丽家在同一幢楼，小明住8楼，小丽住9楼．小明在家里看对面一幢楼的顶部A处的仰角为α1，看底部B处的俯角为β1；而小丽在家里看对面这幢楼的顶部A处的仰角为α2，看底部B处的俯角为β2，那么下列结论中，正确的是（　　）
A．α1＞α2且β1＞β2 B．α1＞α2且β1＜β2
C．α1＜α2且β1＞β2 D．α1＜α2且β1＜β2
8．（2025秋 莱阳市期末）如图，在观测站O处测得船A和灯塔B分别位于正东方向和北偏东60°方向，灯塔B位于船A的北偏东15°方向4千米处，若船A向正东航行，则船A离灯塔B的最近距离是（　　）
A．千米 B．千米
C．千米 D．千米
二、填空题（共8小题）
9．（2025秋 龙岗区期末）深圳某科技园区试点无人机外卖配送．无人机从外卖柜正上方A点，垂直上升至距地面30米的P点悬停，然后沿水平方向飞往客户阳台B点．若地面引导员在C点测得无人机悬停点P的仰角为37°（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75），则无人机从P点水平飞抵B点距离PB约为　 　 米．
10．（2025秋 宝山区期末）如图，某滑雪爱好者沿着坡比为1：2.4的斜坡笔直滑下52米，那么他下降的高度是　 　 米．
11．（2025秋 浦东新区期末）如图，监测点P在距离道路l的100米处，道路上的货车A在监测点P的北偏西60°的方向，道路上的汽车B在监测点P的东北方向，此时货车A和汽车B相距　 　 米（结果保留根号）．
12．（2025秋 临河区期末）如图，这是一个地铁站入口的双翼闸机的示意图，闸机双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为8cm，双翼的边缘AC＝BD＝60cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 　 　 ．
13．（2025秋 闵行区期末）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：2，它把物体从地面送到离地面4米高的地方，那么物体所经过的路程是　 　 米（结果保留根号）．
14．（2025秋 万荣县期末）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为110m，那么该建筑物的高度BC为　 　 m．
15．（2025秋 平谷区期末）无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，平谷区某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为130m的A处测得试验田右侧边界N处俯角为45°，无人机垂直下降40m至B处．又测得试验田左侧边界M处俯角为30°，则M，N之间的距离为　 　 （结果保留根号）．
16．（2026秋 门头沟区校级期末）永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层木塔，游客可登至塔顶，俯瞰园博园全貌．如图，在A处测得∠CAD＝30°，在B处测得∠CBD＝45°，并测得AB＝52米，那么永定塔的高CD约是　 　 米．
三、解答题（共5小题）
17．（2025秋 霸州市期末）工人师傅将一根铁棍沿一点折弯，得到折线形状，其示意图如图所示，其中AB＝50cm，BC＝30cm，∠ABC＝143°．
（1）求点A到BC所在直线的距离；
（2）求点A与点C之间的距离（结果保留根号）．
（参考数据：
18．（2025秋 东阳市期末）小聪为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1．
测量方法：如图2，人眼在P点观察所测物体最高点C，量角器零刻度线上A，B两点均在视线PC上，将铅锤悬挂在量角器的中心点O．当铅锤静止时，测得视线PC与铅垂线OD所夹的角为α，此时的仰角为β．
实践操作：如图3，小聪利用上述工具测量河对岸大楼EF的高度．他先站在水平地面的点H处，视线为GE，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为60°；然后他向前走12米站在点R处，视线为QE，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为45°．
问题解决：（1）请用含α的代数式表示仰角β．
（2）如果GH，QR，EF在同一平面内，小聪的眼睛到水平地面的距离为1.5米，求大楼EF的高度．（结果保留根号）．
19．（2025秋 禅城区期末）如图1，佛山电视塔是佛山市核心标志性建筑，塔身造型现代简约、挺拔高耸，是市民及游客俯瞰佛山城市风貌的重要地标．
某校九年级数学小组开展“测量电视塔高度”的实践活动后形成如下报告：
主题 测量佛山电视塔塔高（精确到1m）．
目的 运用所学知识解决实际问题，提升动手实践能力，培养团队协作精神．
工具 无人机等
活动背景 活动当天，电视塔现场有其他活动，30米范围内禁止放飞无人机．
测量过程 1．如图2，选取一处与电视塔塔底等高的操作无人机的位置点M． 2．确认点M与电视塔距离较远，可放飞无人机． 3．将无人机垂直上升至距地面260m的P点时，测得塔顶A的俯角为15°． 4．沿电视塔方向继续水平飞行44m到达Q点时，测得塔顶A的俯角为30°．
数据 sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，
计算
结果 佛山电视塔BA的高度是am．
思考并解决下列问题：Q点是否违反限飞规定？a的值是多少？
20．（2025秋 即墨区期末）高铁座椅上的小桌板为人们的出行提供了舒适和便利．如图，前座的椅背AB垂直于地面CD，放下小桌板，桌面EF与地面CD平行，测得此时连杆BE与椅背的AB夹角∠ABE为32°，连杆BE的长为40cm．
（1）当桌面EF离地面CD距离为70cm时，人们感觉较舒适，则连杆安装点B离地面CD的高度BC应为多少厘米？
（2）已知前后两个座位AB与GD之间的距离为102cm，桌面宽度EF为24cm，要求小桌板放下后，桌面的外边缘F与椅GD距离在55cm以上，请问按（1）中的高度安装是否符合要求？请说明理由．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）
21．（2025秋 北碚区校级期末）周末小希和小福计划去公园游玩，如图，A，B，C，D在同一平面内，已知公园D位于小希家A的正东方向，小福家B位于小希家A的东北方向4km处，在小福家的南偏东75°方向有一公交车站C，公交车站C恰好位于公园D的北偏西30°方向，也位于小希家北偏东60°方向处．（参考数据：，）
（1）求小希家A与公交车站C的距离；（结果保留根号）
（2）小福沿B→C→D的路线前往公园，小希则沿着A→D的路线前往公园，原计划小希与小福同时从自己家出发，结果小希因事耽搁，当小福到达公交车站C，并乘上公交车出发时，小希恰好从自己家驾车出发，若公交车与小希驾车的速度之比为3：4（均为匀速运动），请问两人在到达公园前，若两人相距，小希离自己家A多少千米？（结果保留1位小数）
参考答案
一、选择题（共8小题）
1．【答案】A
【分析】先得到原直角三角形∠B的正弦值，再将各边长度扩大为原来的2倍，由相似三角形的判定与性质可知，∠B′＝∠B，再计算∠B′的正弦值，比较正弦值即可得到答案．
【解答】解：∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，
令BC＝a，AC＝b，AB＝c，
∴∠B的正弦值；
若将各边长度都扩大为原来的2倍，则扩大后的直角三角形三条边为B′C′＝2a，A′C′＝2b，A′B′＝2c，
∴，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B′＝∠B，
∵∠B′的正弦值；
∴．
故选：A．
2．【答案】D
【分析】作AD⊥BC于点D，则∠ADB＝∠ADC＝90°，由等腰三角形的性质可得BD＝CD，，再解直角三角形即可得出结果．
【解答】解：如图，作AD⊥BC于点D，则∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵AB＝AC＝2.4米，∠BAC＝α，
∴BD＝CD，，
∴，
∴米，
∴米，
故选：D．
3．【答案】B
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：小佳于倾斜角为30°的斜坡上，自点B使用激光笔向点A发射激光（激光传播路径记为BA），
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝180m，
则．
故选：B．
4．【答案】C
【分析】利用网格求出三边的长，根据等腰三角形的性质，求出BC边上的高AD，进而求出AB边上的高CE，最后根据三角函数的意义求解即可．
【解答】解：如图，取BC的中点D，连接AD，则AD⊥BC，过点C作CE⊥AB，垂足为E，
由网格可得，AC＝AB2，BC2，
则BC边上的高AD3，
由三角形的面积公式得，BC AD＝AB CE，
即232 CE，
∴CE，
∴sinA，
故选：C．
5．【答案】A
【分析】根据坡度定义得到，进而求出AC的长，再利用勾股定理求解AB的长即可．
【解答】解：堤高BC是5m，斜坡AB的坡度是1：，
根据题意得，
即，
解得，
在Rt△ACB中，
AB10（m）
故选：A．
6．【答案】D
【分析】在Rt△ABC中，根据∠BCA的正切函数可求小河宽AB的长度．
【解答】解：∵AB⊥PB，
∴∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，BC＝50米，∠BCA＝90°﹣∠BCA＝44°，∠BCA＝46°，tan∠BCA，
∴小河宽AB＝BCtan∠BCA＝50 tan44°（米）．
故选：D．
7．【答案】B
【分析】设点是小明的位置，点Q是小丽的位置，PC⊥AB于点C，QD⊥AB于点D，依题意得∠APC＝α1，∠BPC＝β1，∠AQD＝α2，∠BQD＝β2，根据∠PAC+α1＝90°，∠QAD+α2＝90且∠PAC＜∠QAD得α1＞α2；根据∠PBC+β1＝90°，∠QBD+β2＝90°且∠PBC＞∠QBD得β1＜β2，由此即可得出答案．
【解答】解：设点是小明的位置，点Q是小丽的位置，PC⊥AB于点C，QD⊥AB于点D，如图所示：
∴△PAC，△PBC，△QAD和△QBD都是直角三角形，
依题意得：∠APC＝α1，∠BPC＝β1，∠AQD＝α2，∠BQD＝β2，
在Rt△PAC中，∠PAC+∠APC＝90°，
∴∠PAC+α1＝90°，
在Rt△QAD中，∠QAD+∠AQD＝90°，
∴∠QAD+α2＝90°，
∵∠PAC＜∠QAD，
∴α1＞α2；
在Rt△PBC中，∠PBC+∠BPC＝90°，
∴∠PBC+β1＝90°，
在Rt△QBD中，∠QBD+∠BQD＝90°，
∴∠QBD+β2＝90°，
∵∠PBC＞∠QBD，
∴β1＜β2，
综上所述：α1＞α2且β1＜β2．
故选：B．
8．【答案】A
【分析】过点B作BD⊥OC于点D，过点A作AE⊥OB于点E，由勾股定理和锐角三角函数定义分别求出AE、BE的长，再求出OB的长，即可解决问题．
【解答】解：如图，过点B作BD⊥OC于点D，过点A作AE⊥OB于点E，
在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠ABE＝∠BAD﹣∠AOB＝75°﹣30°＝45°，AB＝4千米，
∴AE＝BEAB＝2（千米），
在Rt△AOE中，∠AEO＝90°，∠AOE＝30°，
∴OE2（千米），
∴OB＝OE+BE＝（22）千米，
在Rt△BOD中，∠ODB＝90°，∠BOD＝30°，
∴BDOB＝（）（千米），
即船A离灯塔B的最近距离是（）千米，
故选：A．
二、填空题（共8小题）
9．【答案】40．
【分析】根据平行线的性质得到∠B＝∠ACB＝90°，∠P＝∠ACP＝37°，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：∵PB∥AC，
∴∠B＝∠ACB＝90°，∠P＝∠ACP＝37°，
∵BC＝30米，
∴PB40（米），
答：无人机从P点水平飞抵B点距离PB约为40米，
故答案为：40．
10．【答案】20．
【分析】根据坡度的定义、勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：设运动员下降的垂直高度为x米，
∵斜坡的坡比为1：2.4，
∴运动员下降的水平宽度为2.4x米，
由勾股定理得：x2+（2.4x）2＝522，
解得：x＝20（负值舍去），
则运动员下降的垂直高度为20米，
故答案为：20．
11．【答案】．
【分析】过点P作PD⊥AB于点D，在Rt△APD和Rt△BPD中，利用三角函数解得AD，BD的长度，然后由AB＝AD+BD求解即可．
【解答】解：如图，点P在距离道路l的100米处，道路上的货车A在监测点P的北偏西60°的方向，过点P作PD⊥AB于点D，
由题意，可知：∠APD＝60°，∠BPD＝45°，PD＝100（米），
在Rt△APD中，得：，
∴（米），
在Rt△BPD中，得：，
∴BD＝PD×tan∠BPD＝100×tan45°＝100×1＝100（米），
∴（米），
∴此时货车A和汽车B相距米．
故答案为：．
12．【答案】68．
【分析】过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为8cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．
【解答】解：如图所示过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，
则Rt△ACE中，，
同理可得，BF＝30cm，
∴通过闸机的物体的最大宽度为30+8+30＝68（cm），
故答案为：68．
13．【答案】4．
【分析】根据坡度的概念求出AC，再根据勾股定理求出AB．
【解答】解：∵斜坡AB的坡度为1：2，
∴BC：AC＝1：2，
∵BC＝4米，
∴AC＝8米，
∴AB4（米），
答：物体所经过的路程为4米，
故答案为：4．
14．【答案】．
【分析】分别解Rt△ABD和Rt△ACD，求出BD和CD，进而即可求解．
【解答】解：在Rt△ABD中，AD＝110m，∠BAD＝45°，
∴BD＝AD＝110m，
在Rt△ACD中，AD＝110m，∠CAD＝60°，
∴，
∴，
故答案为：．
15．【答案】（130+90）m．
【分析】根据题意可得：∠ANO＝45°，∠BMO＝30°，AO⊥MN，然后在Rt△AON中，利用锐角三角函数的定义求出NO的长，再利用线段的和差关系求出BO的长，最后在Rt△MBO中，利用锐角三角函数的定义求出MO的长，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
∠ANO＝45°，∠BMO＝30°，AO⊥MN，
在Rt△AON中，AO＝130m，
∴ON130（m），
∵AB＝40m，
∴BO＝AO﹣AB＝90（m），
在Rt△MBO中，MO90（m），
∴MN＝NO+MO＝（130+90）（m），
∴MN的长为（130+90）m．
16．【答案】71．
【分析】先证明△BCD是等腰直角三角形，得BD＝CD，设BD＝CD＝x米，再由锐角三角函数定义求出ADCDx米，然后由AB+BD＝AD构建方程即可解决问题．
【解答】解：由题意可知，CD⊥AD，
∴∠CDA＝90°，
∵∠CBD＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD，
设BD＝CD＝x米，
在Rt△ACD中，∠A＝30°，
∴tanAtan30°，
∴ADCDx米，
∵AB＝52米，AB+BD＝AD，
∴52+xx，
解得：x＝2626≈71，
即永定塔的高CD约是71米，
故答案为：71．
三、解答题（共5小题）
17．【答案】（1）30cm；
（2）10cm．
【分析】（1）过A作AH⊥CB交CB的延长线于H，由sin∠ABH，求出AH＝30cm，即可得到答案；
（2）连接AC，由cos∠ABH，求出BH＝40，得到CH＝BC+BH＝70（cm），由勾股定理求出AC10（cm），即可得到答案．
【解答】解：（1）过A作AH⊥CB交CB的延长线于H，
∵∠ABC＝143°，
∴∠ABH＝180°﹣∠ABC＝37°，
∵sin∠ABH＝sin37°，
∴AH＝30cm，
答：点A到BC所在直线的距离是30cm；
（2）连接AC，
∵cos∠ABH＝cos37°，
∴BH＝40，
∴CH＝BC+BH＝30+40＝70（cm），
∴AC10（cm），
答：点A与点C之间的距离是＝10cm．
18．【答案】（1）β＝90°﹣α；
（2）米．
【分析】（1）延长OD交PK于L，根据题意可得：OL⊥PK，从而可得：∠OLP＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答；
（2）延长GQ交EF于点M，根据题意可得：GM⊥EF，GH＝QR＝MF＝1.5米，GQ＝HR＝12米，然后设EM＝x米，分别在Rt△EGM和Rt△EQM中，利用锐角三角函数的定义求出GM和QM的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）如图：延长OD交PK于L，
由题意得：OL⊥PK，
∴∠OLP＝90°，
∵∠POD＝α，
∴∠OPL＝90°﹣∠POD＝90°﹣α，
∴β＝90°﹣α；
（2）延长GQ交EF于点M，
由题意得：GQ＝HR＝12m，GM⊥EF，GH＝QR＝MF＝1.5m，
设EM＝x米，
在Rt△EGM中，∠GEM＝60°，
∴（米），
在Rt△EQM中，∠QEM＝45°，
∴QM＝EM tan45°＝x（米），
∵GM﹣QM＝GQ，
∴，
解得：，
∴米，
∴米，
∴大楼EF的高度为米．
19．【答案】Q点不违反限飞规定；a的值是238．
【分析】延长BA交PQ的延长线于H，则∠AHQ＝90°，由题意得∠P＝15°，∠AQH＝30°，根据等腰三角形的性质得到PQ＝AQ＝44m，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：延长BA交PQ的延长线于H，
则∠AHQ＝90°，
由题意得∠P＝15°，∠AQH＝30°，
∴∠PAQ＝∠AQH﹣∠P＝15°，
∴PQ＝AQ＝44m，
∴QH＝AQ cos∠AQH＝44×cos30°＝2238.06＞30，AHAQ＝22（米），
故Q点不违反限飞规定；
∴AB＝a＝260﹣22＝238（米），
答：a的值是238．
20．【答案】（1）36cm；
（2）按（1）中的高度安装符合要求，理由如下：
延长FH交CD于M，
∵AC∥DG，MH⊥AC，
∴MH＝102cm，
∵sin∠HBE＝sin32°0.53，
∴HE≈40×0.53＝21.2（cm），
∴FM＝MH﹣HE﹣EF＝102﹣21.2﹣24＝56.8（cm），
∵56.8＞55，
∴按（1）中的高度安装符合要求．
【分析】（1）延长FE交AC于H，由cos∠EBH0.85，求出BH＝34cm，得到BC＝CH﹣BH＝36（cm）；
（2）延长FH交CD于M，由sin∠HBE0.53，求出HE＝21.2cm，得到FM＝MH﹣HE﹣EF＝56.8（cm），于是得到按（1）中的高度安装符合要求．
【解答】解：（1）延长FE交AC于H，
∵EF∥CD，AC⊥CD，
∴CH＝70cm，
∵cos∠EBH＝cos32°0.85，
∴BH≈40×0.85＝34（cm），
∴BC＝CH﹣BH＝36（cm），
答：连杆安装点B离地面CD的高度BC应为36cm；
（2）按（1）中的高度安装符合要求，理由如下：
延长FH交CD于M，
∵AC∥DG，MH⊥AC，
∴MH＝102cm，
∵sin∠HBE＝sin32°0.53，
∴HE≈40×0.53＝21.2（cm），
∴FM＝MH﹣HE﹣EF＝102﹣21.2﹣24＝56.8（cm），
∵56.8＞55，
∴按（1）中的高度安装符合要求．
21．【答案】（1）；
（2）约2.4千米．
【分析】（1）过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CG⊥BE于点G，过点C作CH⊥AD于点H，在GC上截取，连接BF，，，由，即可求出小希家A与公交车站C的距离；
（2）设小希从自己家驾车出发的时间为t，设公交车的速度为3v，则小希驾车的速度为4v，设t时，公交车位于点M，小希驾车位于点N，过点M作MK⊥AD于点K，连接MN，由题意得，，由勾股定理及，可得解得：，即可求出此时小希离自己家A约2.4千米．
【解答】解：（1）如图所示，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CG⊥BE于点G，过点C作CH⊥AD于点H，在GC上截取，连接BF，
∴四边形GCHE是矩形，
∴GC＝HE，CH＝GE，
由题意得：AB＝4，∠BAE＝45°，
∴，
由题意得：∠GBC＝75°，∠GBF＝60°，∠HAC＝30°，
∴∠BCF＝∠CBF＝15°，
∴BF＝CF，
设BF＝CF＝2a，
∴BG＝a，，
∴，，
在Rt△AHC中，，
∴，
解得，
∴，
∵∠HAC＝30°，
∴，
∴小希家A与公交车站C的距离为；
（2）小福沿B→C→D的路线前往公园，小希则沿着A→D的路线前往公园，
由题意得：∠ADC＝60°，
∴，
∵∠HAC＝30°，∠ADC＝60°，
∴∠ACD＝90°，
∴，
设小希从自己家驾车出发的时间为t，设公交车的速度为3v，则小希驾车的速度为4v，
设t时，公交车位于点M，小希驾车位于点N，过点M作MK⊥AD于点K，连接MN，
由题意得，，，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
∴小希离自己家A约2.4千米．