1.1.1三角形的内角和 课件(共24张PPT) 2025--2026学年北师大版八年级数学下册

(共24张PPT)
1.1 三角形内角和定理
第一章 三角形的证明及其应用
第1课时:三角形的内角和
学习目标
1.重点:尝试用多种方式证明三角形的内角和定理.
2.难点:熟练运用三角形的内角和定理.
我们在小学阶段已经知道,任何一个三角形的内角和都等于180°.
思考:你能想办法验证这一结论吗
问题导入
与三角形的形状、大小无关.
我们发现:三个内角拼到一起,恰好构成一个平角.
在纸上任意画一个三角形,将它的内角剪下拼合在一起.
探究新知
根据上面的启发,你能想到证明的思路吗
(
(
C
B
A
D
E
定理证明
已知:如图,△ABC.
求证:∠A+∠B+∠C=180°.
1
（
2
（
分析:延长BC到点D,过点C作射线CE//BA.
这样,就相当于把∠A移到了∠1,把∠B移到了∠2.
这里的CD,CE称为辅助线,辅助线通常画成虚线.
A
B
C
A
B
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
C
B
A
E
D
1
（
2
（
已知:如图,△ABC.求证:∠A+∠B+∠C=180°.
证明:
延长BC到D,过点C作射线CE//BA,则
∠A=∠1(两直线平行,内错角相等)
∠B=∠2(两直线平行,同位角相等).
∵∠1+∠2+∠ACB=180°,
定理证明
定理学习
三 角 形 内 角 和 定 理 :
三角形三个内角的和,等于180°.
注意:
1.任何一个三角形的内角和都等于180°;
2.与三角形的形状、大小无关.
你还能用其他方法,证明三角形内角和定理吗
1
2
想一想
A
B
C
A
C
在证明三角形的内角和定理时,小明的想法是把三个角"凑"到A处,过点A作直线PQ//BC,他的想法可行吗 如果可行,你能写出证明过程吗
分析:可行.过点A作直线PQ//BC.
这样就相当于把∠B移到了∠1的位置,把∠C移到了∠2的位置.
1
2
想一想
已知:如图,△ABC.求证:∠A+∠B+∠C=180°.
∴∠BAC+∠B+∠C=180°.
证明:
小明的想法可行,理由如下:
∠B=∠1(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠2(两直线平行,内错角相等).
∵∠1+∠2+∠BAC=180°,
过点A作直线PQ//BC,则
例1:如图,在△ABC中,∠B=38°,∠C=62°,AD是△ABC的角平分线,求∠ADB的度数.
A
B
C
D
例题解析
解:
在△ABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°,
∵∠B=38°,∠C=62°,
∴∠BAC=180°-38°-62°=80°.
∵AD平分∠BAC,
在△ABD中,∠B+∠BAD+∠ADB=180°,
∴∠ADB=180°-38°-40°=102°.
2.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,则△ABC是______三角形.
1.在△ABC中,∠A=35°,∠ B=43 °,则∠ C= .
3.在△ABC中,∠A=∠B+10°,∠C=∠A+10°,则∠A= ,
∠ B= ,∠ C= .
102°
直角
60°
50°
70°
小试牛刀
1.已知:如图,在△ABC中,∠A=60°,∠C=70°,点D,分别在AB和AC上,且DE//BC.求证:∠ADE=50°.
随堂练习
A
B
C
D
E
证明:
∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A=60°,∠C=70°,
∴∠B=180°-60°-70°=50°.
∵DE//BC,
∴∠ADE=∠B=50°.
2.如图,在△ABC中,已知∠A=50°,BD与CE是△ABC的高,点O是它们的交点,求∠ABD,∠COD的度数.
随堂练习
解:
∵BD⊥AC,CE⊥AB,
A
B
C
D
E
O
∴∠ADB=∠BEC=90°,
又∵∠A=50°,
∴∠ABD=180°-90°-50°=40°,
∴∠COD=∠BOE=180°-90°-40°=50°.
习题1.1
∵4+3+2=9,180°÷9=20°,
1.在△ABC中,已知∠A,∠B,∠C的度数之比为4:3:2,求∠A,∠B和∠C的度数.
解:
∴∠A=80°,∠B=60°,∠C=40°
习题1.1
10.已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB,垂足为D.求证:∠A=∠DCB.
∴∠A=∠DCB.
证明:
∵∠ACB＝90°,
∵CD⊥AB,
∴∠DCB+∠B=90°,
∴∠A+∠B=90°,
∴∠CDB=90°,
A
B
C
D
11.如图,AB//CD,点E在AC上.求证:∠A=∠CED+∠D.
A
B
C
D
E
证明:
∵AB//CD,
又∵∠CED+∠D+∠C=180°,
∴∠A+∠C=180°(同旁内角)
∴∠A=∠CED+∠D.
习题1.1
12.如图,在△ABC中,BF平分∠ABC,CF平分∠ACB,
∠A=65°,求∠F的度数.
A
B
C
F
∴∠F=180°-(∠FBC+∠FCB)=180-57.5°=122.5°.
解:
∵△ABC中,∠A=65°,
∴∠ABC+∠ACB=115°.
∵BF平分∠ABC,CF平分∠ACB,
∴∠FBC+∠FCB= (∠ABC+∠ACB)=57.5°.
∵∠FBC+∠FCB+∠F=180°,
习题1.1
1.根据下列条件,求∠A,∠B和∠C的度数.
A
B
C
(1)∠B=∠C,
∠A=∠B-30°
A
B
C
(2)∠B=2∠C-6°,
∠A=∠B+∠C
∵∠A+∠B+∠C=180°
∴∠B-30°+∠B+∠B=180°
∴∠B=70°,∠C=70°,∠A=40°
∵∠B+∠C+∠B+∠C=180°
∴2∠C-6°+∠C=90°
∴∠C=32°,∠B=58°,∠A=90°
加餐训练
2.在△ABC 中,∠A的度数是∠B度数的3倍,∠C比∠B 大15°,求∠A,∠B,∠C的度数.
设∠B为x°,则∠A为(3x)°,∠C为(x+15)°,
由题意得,3x+x+(x+15)=180,
解得x=33.
∴3x=99,x+15=48,
∴∠A,∠B,∠C的度数分别为99°,33°,48°.
借助方程解决三角形内角和问题,是一种常见的题型.
加餐训练
解:
3.如图,四边形ABCD中,点E在BC上,∠A+∠ADE=180°,
∠B=78°,∠C=60°,求∠EDC的度数．
∴∠EDC=180°-∠CED-∠C=180°-78°+60°=42°.
加餐训练
解:
∵∠A+∠ADE=180°,
∴AB//DE,
∴∠DEC=∠B=78°.
又∵∠C=60°,
4.如图,△ABC中,D在BC的延长线上,过D作DE⊥AB于E,交AC于F.已知∠A＝30°,∠FCD＝80°,求∠D的度数.
∴∠D＝180°-∠CFD-∠FCD=180°-60°-80°＝40°.
加餐训练
解:
∵DE⊥AB,
∴∠FEA＝90°,
在△AEF中,∵∠FEA＝90°,∠A＝30°,
∴∠AFE＝180°-∠FEA-∠A＝60°.
∴∠CFD＝∠AFE＝60°,
在△CDF中,∵∠CFD＝60°,∠FCD＝80°,
下 课
Thanks!
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