5.1.2 等式的性质 教学设计 初中数学人教版（新教材）七年级上册

等式的性质 教学设计
一、内容和内容解析
方程是含有未知数的等式，解方程就是求出方程中未知数的值，解方程需要相应的理论基础说明解法的合理性．本章不涉及方程的同解原理，而以等式的性质作为解方程的依据．本节课通过观察、归纳引出等式的两条性质，并利用它们讨论一些比较简单的一元一次方程的解法，为后面几节进一步讨论比较复杂的一元一次方程的解法作准备．
基于以上分析，可以确定本节课的教学重点为：了解等式的两条性质并能运用它们解简单的一元一次方程，初步理解其中的化归思想．
二、目标和目标解析
1.目标
（1）了解等式的概念和等式的两条性质并能运用这两条性质解简单的一元一次方程．
（2）经历等式的两条性质的探究过程，培养观察、归纳的能力．
（3）在运用等式的性质解简单的一元一次方程的过程中，渗透化归的数学思想．
2.目标解析
（1）使学生知道等式是用等号表示相等关系的式子；理解等式两边加或减同一个数或式子，乘或除以（除数不为0）同一个数，结果仍相等的性质；能运用等式的两条性质解一些比较简单的一元一次方程．
（2）使学生经历通过观察、归纳得出等式的两条性质的探究过程，体会等式的两条性质的合理性，培养学生观察、归纳的能力.
（3）使学生在运用等式的两条性质解比较简单的一元一次方程，把一元一次方程转化为x=a的形式的过程中，明确一元一次方程的解的形式，渗透化归的数学思想．
三、教学问题诊断分析
对于等式的两条性质，借助天平从直观的角度认识，既给出了文字形式的表达，又用式子形式加以描述，这是一个抽象概括的过程，学生能体会到它们的合理性．把等式的性质与解方程结合起来，利用等式的性质研究一元一次方程的解法，这是由一般到特殊的过程，是具体操作层面的问题．怎样运用等式性质把一元一次方程化成x=a的形式，学生会存在一定的困难．
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：运用等式性质把简单的一元一次方程化成x=a的形式．
四、教学过程设计
（一）创设情境，复习导入
问题1：回答下列问题：
（1）什么是方程？（方程是含有未知数的等式）
（2）指出下列式子中，哪些是方程，哪些不是，并说明理由；
①3+x=5；
②3x+2y=7；
③2+3=3+2；
④a+b=b+a（a、b已知）；
⑤5x+7= x–5.
（3）上面的式子有哪些共同特点？（都是等式；我们可以用a = b来表示一般的等式．）
问题2：用估算的方法可以求出简单的一元一次方程的解．你能用估算的方法求出下列方程的解吗？
（1）3x－5=22；（2）0.28－0.13y=0.27y+1.
师生活动：教师提出问题（1），学生进行估算，寻求正确的答案．学生充分发表意见，教师评价激励．
对于（2），学生适当思考后，教师引入新课：用估算的方法解比较复杂的方程是困难的．因此，我们还要讨论怎样解方程．
本环节中，教师应重点关注：（1）学生能否估算出第（1）题的解；（2）学生能否意识到估算比较复杂的一元一次方程的解是比较困难的，体会到进一步学习的必要性．
【设计意图】第（1）题是为了复习巩固估算比较简单的一元一次方程的方法，第（2）题是为了让学生意识到估算比较复杂的一元一次方程的解是比较困难的，从而引起学生的认知冲突，体会到进一步学习的必要性，引出新课．
问题3：方程是含有未知数的等式，那什么叫做等式呢？
师生活动：教师出示以下例子：m+n=n+m，x+2x=3x，3×3+1=5×2，3x+1=5y．学生观察以上例子，感知等式．教师指出：像以上这样的式子，都是等式．用等号表示相等关系的式子，叫做等式．通常可以用a=b表示一般的等式，并指出等式的左边和右边．
教师请学生自己举出等式的例子，并指出等式的左边和右边．
本环节中，教师应重点关注：（1）学生能否举出等式的实际例子；（2）学生能否理解等式的概念并分清等式的左边和右边．
【设计意图】等式的概念虽然比较简单，但它是学习等式性质的基础．等式的性质要在等式的两边同时进行某种相同的运算，因此必须让学生分清等式的左边和右边．
（二）实验探究 学习新知
问题4：探究、归纳等式的性质1（借助图1）.
图1
师生活动：教师演示实验，提出问题：由它你能发现什么规律？
学生叙述发现规律后，教师进一步引导：把一个等式看作一个天平，等号两边的式子看作天平两边的物体，则等式成立可以看作是天平两边保持平衡．
追问1：等式具有与上面的事实同样的性质．你能用文字叙述等式的这个性质吗？
师生活动：在学生回答的基础上，教师说明：等式两边加上或减去的可以是同一个数，也可以是同一个式子．归纳等式的性质1．
追问2：等式一般可以用a=b来表示，等式的性质1怎样用式子的形式来表示呢？
师生活动：师生一起归纳：如果a=b，那么a±c=b±c，并请学生用具体的数字等式验证这条性质．
问题5：探究、归纳等式的性质2（借助图2）.
图 2
师生活动：教师演示实验，提出问题：由它你能发现什么规律？
师生一起归纳等式的性质2并用式子表示．学生用具体的数字等式验证这条性质．教师应提醒学生注意：（1）等式两边都要参加运算，并且是进行同一种运算；（2）等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子；（3）等式两边不能都除以0，即0不能作除数或分母．
本环节中，教师应重点关注：
（1）学生能否理解由天平向等式过渡的合理性；
（2）学生能否观察、探究、归纳出等式的两条性质；
（3）学生能否用文字语言和符号语言来表示等式的两条性质．
【设计意图】借助天平演示，探究等式的性质，可以加强对等式性质的直观理解；用文字语言和符号语言两种形式描述等式的两条性质，让学生一方面切实理解等式的性质，另一方面体会如何用数学的符号语言抽象概括地表示它们，用具体的数字等式验证等式的两条性质，是为了让学生进一步体会等式性质的合理性.
（三）针对训练
1. 思考回答下列问题：
（1）怎样从等式 x－5= y－5 得到等式 x= y？
（2）怎样从等式 3+x=1 得到等式 x =－2？
（3）怎样从等式 4x=12 得到等式 x =3？
（4）怎样从等式得到等式a=b？
参考答案：（1）依据等式的性质1两边同时加5；
（2）依据等式的性质1两边同时减3；
（3）依据等式的性质2两边同时除以4或同乘；
（4）依据等式的性质2两边同时除以或同乘100．
2. 已知x=y，则下列各式中，正确的有（ C ）.
①x－3=y－3； ②3x=3y； ③－2x=－2y； ④.
　 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个　　　
3. 已知mx=my，下列结论错误的是 （ A ）
A. x=y B. a+mx=a+my
C. mx－y=my－y D. amx=amy
师生活动：教师出示问题，学生独立思考后同桌交流，学生展示思路，教师点拨．
本环节中，教师应重点关注：
（1）学生是否理解等式的两条性质；
（2）学生能否利用等式的两条性质将方程变形；
（3）学生是否认真思考、积极交流、勇于展示．
【设计意图】使学生进一步理解并应用等式的两条性质，提高学生运用所学知识解决具体问题的能力．
（四）典例分析
例：利用等式的性质解下列方程：
（1）x+7=26；（2）－5x=20；（3）.
解：（1）方程两边同时减去7，
x+7－7= 26－7
于是x =19.
（2）解: 方程两边同时除以－5，
－5x÷(－5)= 20 ÷(－5)
化简，得x=－4.
（3）解：方程两边同时加上5，得
化简，得
方程两边同时乘－3，
得 x =－27.
师生活动：师生共同完成第（1）小题，教师板书过程，后两个小题，学生独立完成，两名学生板演并展示思路，教师讲评．教师指出：解以x为未知数的方程，就是把方程转化为x=a（常数）的形式，等式的性质是转化的重要依据．
本环节中，教师应重点关注：
（1）学生能否利用等式的两条性质解简单的一元一次方程；
（2）学生能否进一步理解等式的两条性质；
（3）学生是否进一步体会解一元一次方程就是把方程转化为x=a的形式．
【设计意图】使学生能够利用等式的两条性质解简单的一元一次方程；使学生理解等式的两条性质；使学生进一步体会解一元一次方程就是把方程转化为x=a的形式，渗透化归的数学思想，进一步培养学生分析问题、解决问题的能力.
问题6：怎样检验方程的解？
师生活动：教师提出问题，学生回答．教师指出：一般地，从方程解出未知数的值以后，可以代入原方程检验，看这个值能否使方程的两边相等．学生检验x=－27是不是方程的解．
本环节中，教师应重点关注：
（1）学生是否掌握检验一个数值是不是某个一元一次方程的解的方法；
（2）学生能否进一步理解方程的解的概念．
【设计意图】使学生掌握检验一个数值是不是某个一元一次方程的解的具体方法，并进一步理解方程的解的概念.
问题7：用等式的性质对这个等式3a+b－2=7a+b－2进行变形，其过程如下：
两边加2，得3a+b=7a+b．
两边减b，得 3a=7a．
两边除以a，得3=7．
请同学们检查变形过程，找出错误来．
师生活动：教师出示问题，学生独立思考后四人一组交流，学生展示思路，教师点拨．
本环节中，教师应重点关注：
（1）学生能否进一步理解等式的两条性质；
（2）学生是否注意到等式性质2中“除数不为0”的条件.
【设计意图】使学生进一步理解等式的两条性质，并注意等式性质2中“除数不为 0”的条件，培养学生的严谨思维，避免以后发生类似的错误.
（五）当堂巩固
1. 下列说法正确的是（ B ）
A. 等式都是方程 B. 方程都是等式
C. 不是方程的就不是等式 D. 未知数的值就是方程的解
2. 下列各式变形正确的是 （ A ）
A. 由3x－1= 2x+1得3x－2x =1+1
B. 由5+1= 6得5= 6+1
C. 由2(x+1) = 2y+1得x +1= y +1
D. 由2a + 3b = c－6 得2a = c－18b
3. 下列变形，正确的是 （ B ）
A. 若ac = bc，则a = b
B. 若，则a = b
C. 若a2 = b2，则a = b
D. 若，则x =－2
4. 填空：
（1）将等式x－3=5的两边都_____得到x =8 ，这是根据等式的性质_____；
（2）将等式的两边都乘以___或除以___得到x =－2，这是根据等式性质_____；
（3）将等式x + y =0的两边都_____得到x = －y，这是根据等式的性质_____；
（4）将等式 xy =1的两边都______得到，这是根据等式的性质_____．
答案：（1）加3；1；（2）2；；2；（3）减y；1；（4）除以x；2．
5. 利用等式的性质解下列方程：
（1）x+6 = 17 ； （2） －3x = 15；
（3）2x－1 = －3 ； （4）．
解：（1）两边同时减去6，得x=11.
（2）两边同时除以－3，得x=－5.
（3）两边同时加上1，得2x=－2.
两边同时除以2，得x=－1.
（4）两边同时加上－1，得
两边同时乘以－3，得x=9.
师生活动：教师出示问题，学生独立完成后同桌同学互查.同时四名学生板演，学生展示思路，教师点拨．
本环节中，教师应重点关注：
（1）学生能否进一步理解等式的两条性质；
（2）学生能否顺利地运用等式的两条性质解简单的一元一次方程；
（3）学生是否进一步体会解一元一次方程就是把方程转化为x=a的形式．
【设计意图】使学生能够利用等式的两条性质解简单的一元一次方程；使学生进一步理解等式的两条性质；使学生进一步体会解一元一次方程就是把方程转化为x=a的形式，渗透化归的数学思想，进一步培养学生分析问题、解决问题的能力．
（六）能力提升
1. 已知2a－3=2b+1，试用等式的性质判断a和b的大小.
答案：a＞b
2. 已知关于x的方程和方程3x－10 =5的解相同，求m的值.
解：方程3x－10 =5的解为x =5，将其代入方程，得到，解得m =2.
（七）感受中考
1．根据等式的性质，下列各式变形正确的是（ ）
A．若，则a＝b B．若ac＝bc，则a＝b
C．若a2＝b2，则a＝b D．若，则x＝－2
【解答】解：A、若，则a＝b，故A符合题意；
B、若ac＝bc（c≠0），则a＝b，故B不符合题意；
C、若a2＝b2，则a＝±b，故C不符合题意；
D、，则x＝－18，故D不符合题意；
故选：A．
2．在物理学中，导体中的电流I跟导体两端的电压U、导体的电阻R之间有以下关系：，去分母得IR＝U，那么其变形的依据是（ ）
A．等式的性质1 B．等式的性质2
C．分式的基本性质 D．不等式的性质2
【解答】解：将等式，去分母得IR＝U，实质上是在等式的两边同时乘R，用到的是等式的基本性质2．
故选：B．
3.（4分）设a，b，c为互不相等的实数，且，则下列结论正确的是（　　）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a
C．a－b＝4(b－c) D．a－c＝5(a－b)
【解答】解：∵，
∴5b＝4a+c，
在等式的两边同时减去5a，得到5(b－a)＝c－a，
在等式的两边同时乘－1，则5(a－b)＝a－c．
故选：D．
【设计意图】通过对最近几年的中考试题的训练，使学生提前感受到中考考什么，进一步了解考点.
（八）课堂小结
教师与学生一起回顾本章主要内容，并请学生回答以下问题：
（1）等式有哪两条性质，你能举例说明吗？
（2）如何根据等式的性质解简单的方程？举出一个例子，并说明每一步变形的依据．
【设计意图】巩固所学知识和方法，加深对所学内容的理解，培养学生独立分析、归纳概括的能力，充分发挥学生的主体作用．
（九）布置作业
1. P83：习题3.1：第4题.
2. P84：习题3.1：第8、9题.