山东省济宁市2026年高三高考一模数学试卷（含答案）

2026 年高考模拟考试 数学试题
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。
1. 已知 ,则
A. B. C. D.
2. 集合 ,则
A. B. C. D.
3. 抛物线 的焦点坐标是
A. B. C. D.
4. 已知数列 的首项 ,且满足 ,则
A. B. C. 10 D. 12
5. 已知 中,若 ,且点 在 上, 则
A. B. C. D. 1
6. 将函数 的图象向左平行移动 个单位长度后，得到函数 的图象，若 图象的一个对称中心为 ，则 的最小值为
A. B. 1 C. D. 2
7. 四面体 中,平面 平面 , 则该四面体外接球的表面积为
A. B. C. D.
8. 已知函数 为 的导函数,若 , 使得 ,则实数 的最小值为
A. 1 B. 2 C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 下列说法中正确的是
A. 数据41,27,32,30,38,54,31,48的第 50 百分位数为 32
B. 已知随机变量 服从正态分布 ,则
C. 已知两个变量 线性相关，其经验回归方程为 ，若 ，则
D. 若样本数据 的方差为 2,则数据 的方差为 4
10. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,过 且斜率为 的直线 与 的右支交于点 ,则
A. 的离心率为
B.
C. 的最小值为 -9
D. 若以实轴为直径的圆与 相切,则
11. 对于一个有限集合 ,定义集合 的模为该集合中所有元素的和,记作 ,即 ,则下列说法中正确的是
A. 若集合 ,则
B. 若集合 ,则
C. 若集合 ，则
D. 记集合 ，且 中任意两个数的差的绝对值不等于 3，也不等于 8,若 的最大值为 的最大值为 ,则
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12. 展开式中的常数项为_____▲_____. (用数字作答)
13. 圆 与直线 相切于点 ，则直线 的斜率为_____▲_____.
14. 已知函数 若关于 的方程 恰有三个不相等的实数根，则实数 的取值范围是_____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13 分)
在 中,内角 所对的边分别为 为 的角平分线,且 .
(1)若 ，求 的大小；
(2)当 取得最小值时，求 的面积.
16.(15 分)
已知函数 .
(1)求函数 的单调区间和极值;
(2)求证:当 且 时， .
17. (15 分)
如图，在三棱柱 中，平面 平面 ， 为 的中点， 为 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)若三棱柱 的体积为 ，求 与平面 所成角的正弦值.
18. (17分)
已知椭圆 的两焦点分别为 ，离心率为 ， 为椭圆上三个不重合的点，且直线 经过点 与 关于 轴对称.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)求证:直线 经过定点，并求出该定点的坐标；
(3)求 内切圆半径 的取值范围.
19. (17 分)
2026 年春节期间,甲乙两名同学在商场参加一个小游戏,且分在同一组. 现有 三个不透明的盒子,盒中分别装有若干个除颜色不同外,其他均相同的球, 盒中有 1 个红球,2 个黄球; 盒中有 1 个红球,3 个黄球; 盒中有 5 个红球,3 个黄球. 游戏规则如下:两人为一组参加游戏，游戏按轮依次进行，每一轮都是甲先从 盒中随机摸出 1 个小球,记录颜色后再放回 盒内,然后,乙根据甲摸到小球的颜色在指定的盒子中有放回地摸一个小球. 若甲摸到红球,则乙从 盒中摸球; 若甲摸到黄球,则乙从 盒中摸球. 记录乙摸出小球的颜色后放回小球,本轮结束. 在一轮摸球过程中,若甲和乙摸出的小球颜色相同，则二人获得一张“骐骥”卡片；若颜色不同，则二人获得一张“驰骋”卡片. 规定连续两轮获得 “驰骋”卡片时游戏结束，否则，继续游戏. 假设每轮摸球结果互不影响.
(1)求甲乙两人在一轮摸球游戏中，获得一张“驰骋”卡片的概率；
(2)记甲乙两人在第 轮摸球结束时依然未终止摸球游戏的概率为 ，且 . (i) 求 ;
(ii) 求 ,并判断: 当 时, 是否无限趋近于一个常数 若是,求出 的值; 若不是, 请说明理由.
2026 年高考模拟考试
数学试题参考答案
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1. D 2. C 3. A 4. A 5. C 6. B 7. B 8.C
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. BC 10. BCD 11. AC
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12.10 13. 14. (注: 写成 或 也得 5 分)
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
解:由条件 ,
根据 可得: ,
所以 , 3 分
(1)因为 ,所以 ， 4 分
所以 ,
解得 , 6 分
由余弦定理得 ,
所以 . 8 分
(2)根据基本不等式: ，当且仅当 时等号取到，
所以 的最小值为 8, 10 分
此时 , 11 分
所以 的面积为 . 13 分
16. (15 分)
解: (1) 2 分
令 得: 得: . 4 分
所以 的单调增区间为 ; 单调减区间为 . 5 分
的极小值为 ，无极大值. 7 分
(2)令
所以 9 分
由(1)可知 10 分
因为 ,所以
所以 在 上单调递增 13 分
所以 14 分
所以 . 15 分
17. (15 分)
解: (1) 取 的中点 ,则 且 , 2 分因为 是 中点,所以 且 ,
所以 且 ,
所以四边形 是平行四边形,
所以 ， 4 分
又因为 平面 平面 ,
所以 平面 ； 6 分
(2)因为平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ,
所以 平面 , 8 分
设 长度为 ,
因为三棱柱 的体积为
所以
高三数学试题参考答案第 2 页(共 6 页)
解得 9 分
在平面 内作直线 的垂线交 于点 .
以 为坐标原点,分别以 所在直线为 轴、 轴、 轴,建立如图所示空间直角坐标系,
则 , 2) 10 分所以, ,
11 分
设平面 的法向量为 ,
则 ,即 ,令 ,得 ,
得 13 分
设直线 与平面 所成角为 ,
则 ,
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . 15 分
18.(17 分)
解: (1) 由题意可知 ,解得:
所以椭圆 的标准方程为: . 3 分
(2)由题意知直线 的斜率存在且不为 0 .
设直线 的方程为: ,则 分联立 得:
5 分
,直线 的方程为:
令 得:
整理得: 7 分 9 分
所以直线 经过定点 10 分
(3) 12 分令 ,得:
所以 14 分
又因为 16 分所以 ,
所以 内切圆半径 的取值范围为 . 17 分
19. (17 分)
解: (1) 设在一轮摸球游戏中,甲摸到红球为事件 ,乙摸到红球为事件 ,二人获得 “驰骋”卡片为事件
则
. 3 分
(2)(i)法一: 5 分
8 分
(i) 法二: 设事件 表示甲乙二人在第 轮 摸球游戏中获得 “驰骋”卡片,
5 分 8 分 (ii) 10 分
设
所以,
所以 ,解得 或 12 分
所以当 时,
又
所以
所以 ①
当 时,
又
所以
所以 ②
②- ① 得: 14 分
所以
16 分
所以,当 时, 无限趋近于一个常数 ,即 . 17 分
(ii)法二:
不妨取 ,
即:
所以 12 分
令: ,则 ,即:
所以
又
所以
所以
所以 14 分所以 16 分
所以,当 时, 无限趋近于一个常数 ,即 . 17 分