陕西省商洛市镇安中学2026年高三高考二模数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 陕西省商洛市镇安中学2026年高三高考二模数学试卷（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 175.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-12 00:00:00 | ||
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文档简介
数学试题
(本试卷满分 150 分, 考试用时 120 分钟) 注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时， 将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 已知复数 ，则 的虚部为( )
A. B. C. D.
3. 已知向量 ，若 ，则实数 的值为( )
A. 2 B. -2
C. D.
4. 已知函数 ，则 “ ” 是 “ ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
5. 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
6. 某数学研究小组为实地测算天汉楼高度,在楼前广场选取两个测量点 ,两点与天汉楼底部中心 在同一水平面上( 为楼顶 在底面的投影). 测得以下数据: 米, ,且从点 测得 的仰角 满足 . 则天汉楼主体高度 约为( )
A. 45 米 B. 46 米 C. 69 米 D. 70米
7. 已知双曲线 ，圆 为以实轴 为直径的圆，试验发现将圆 竖直上移 个单位或水平右移 个单位后均与双曲线的渐近线相切，则该双曲线 的离心率为( )
A. B. C. D.
8. 已知正实数 满足 ，则 ( )
A. 2 B. 1 C. -1 D. 0
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多 项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列选项正确的是( )
A. 数据2,3,4,6,8,10的中位数小于平均数
B. 若事件 是互斥事件,则
C. 若随机变量 ,则
D. 若数据 的方差为 2,则数据 的方差为 8
10. 已知函数 ,则下列说法正确的是 ( )
A. 若 ，则 的图象关于点 中心对称
B. 若曲线 的图象向左移动 个单位后关于 轴对称，则 的最小值为 2
C. 若 ,则 在 单调递增
D. 若 在 上恰有三个零点，则
11. 已知 是定义在 上的可导函数,其中 为其导数, ,若 满足 关于点 对称,下列结论中正确的是( )
A. B.
C. 为 的一条对称轴 D.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 点 为抛物线 的焦点，则 关于准线对称点的坐标为_____.
13. 两位游客准备分别从古汉台、拜将台、兴汉胜境、石门栈道风景区 4 个景点中随机选择其中一个景点游玩,记事件 “两位游客中至少有一人选择古汉台”, 事件 “两位游客选择的景点不同”,则 _____.
14. 祖暅是我国南北朝时期的伟大科学家，他在实践的基础上提出了“幂势既同， 则积不容异”, 意思是两个同高的立体, 如在等高处的截面积相等, 则体积相等, 这就是 “祖暅原理”. 现有一个空心铁质半球壳,外半径为 ,内半径为 (厚度均匀),放入水中后漂浮 (平面朝下). 已知浸入水中部分的深度为 , 则浸入水中部分的体积为_____ .
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分)已知等差数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 是首项为 2，公比为 3 的等比数列，求数列 的前 项和.
16. (15 分) 如图,在四棱锥 中, 平面 , 为棱 的中点.
(1)证明: 平面 ；
(2)若平面 和 夹角的余弦值为 ，求 的长.
17. (15分)汉中藤编久负盛名，被列入国家非物质文化遗产. 一根藤，牵起千年
的记忆, 也编织出乡村振兴的新图景. 汉中某藤编制作工坊积极探索线上推广渠道, 藤编产品销量逐年增长. 该工坊为了科学规划生产, 统计了 2021-2025 年藤编产品的销量数据如下表:
年份 t/年 2021 2022 2023 2024 2025
年份代码 1 2 3 4 5
销量 万件 6 7 10 12 15
(1)统计表明销量 与年份代码 有较强的线性相关关系，求 关于 的线性回归方程, 并预测该工坊 2026 年藤编产品的销量;
(2)已知该工坊 2025 年售出的藤编产品中，有 9 万件通过线上售出，用频率估计概率,现从 2025 年售出的藤编产品中随机抽取 4 件,求其中线上售出数量 的分布列及数学期望.
附: 为回归直线方程,其中 .
18.(17分)在天问二号探测器伴飞任务中，地面观测站 用于追踪探测器,探测器沿椭圆轨道 运行,到两站距离和为 4 . 设过点 的波束中心直线 (斜率不为 0 )与椭圆轨道 交于 两点,以 为直径形成通信圆 。 研究发现,若通信圆 恒过近地点 时,视为通信状态最佳。
(1)求椭圆轨道 的方程；
(2)请判断通信圆 是否能达到通信状态最佳？并说明理由.
19.(17 分)已知函数 ，其中 .
(1)当 时，求 在 处的切线方程；
(2)若函数 存在单调递增区间，求实数 的取值范围；
(3)若 ， ，对任意的 ， 恒成立，求 的最小值.
数学试题答案
1.【答案】
,所以 选项正确.
2.【答案】
,故 的虚部为 选项正确.
3.【答案】
,因为 ,所以 ,解得 选项正确.
4. 【答案】
由 ,即 ,则 ,得 ,则 “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件,故选 A.
5.【答案】
因为 ,可得 . 又 ,
所以 ,得 .
.
选项正确.
6. 【答案】
在 中,由正弦定理得 ,所以 ,由 得 。故选 C.
7. 【答案】
由题,圆 ,竖直上移 个单位后,得到圆
,若圆 ,圆 均与双曲线的渐近线相切,则取渐近线 ,有
,则离心率 ,故选 B.
8.【答案】
,
由基本不等式得, ,即 ,
又因为 恒成立,所以 ,故 即 ,所以 . 故 选项正确.
9.【答案】
对于选项 ,易知该组数据的中位数为 , 平均数为 ,故选项 正确;
对于选项 ,互斥事件不一定是对立事件 故选项 错误;
对于选项 ,
,故选项 C 错误;
对于选项 D,易知 的方差为 ,故选项 D 正确.
10.【答案】
,令 ,
当 ,对称中心为 选项正确.
B. , 平移后关于 轴对称,则 . 又因为 ,则 的最小值为 选项正确.
,则 的单调递增区间为
当 时, ,又因为 选项错误.
D. ,因为 在 上恰有三个零点,所以 选项正确.
11. 【答案】
关于点 对称,
则有: 取 0 时, ,结合数列求和可得 , 为 的一条对称轴,又 周期为 所以 故 正确。
12.【答案】
抛物线 的焦点 ,准线方程 ,所以 点关于准线的对称点 的坐标为 .
13.【答案】
两位游客从 4 个景点中任选,每人有 4 种选择,总事件数: 种. 事件 的对立事件 为 “两位游客都不选择古汉台”, 的事件数: 种, 事件 分为两种情况:甲选古汉台，乙选其余 3 个景点，3 种；乙选古汉台，甲选其余 3 个景点,3 种; 共 种事件， 所以 .
14.【答案】
在深度 处作水平截面,半球壳的截面为圆环,外半径为 ,内半径为 ,则浸入水中部分的截面面积为
,与 无关。发现浸入水中部分的截面面积与一个高度为 ,底面半径为 的圆柱的截面面积相同。由祖暅原理,入水中部分的体积为 .
15.【答案】(1)
(2)
(1)设等差数列 的公差为 ,
则数列 的通项公式为: . 5 分
(2)因为数列 是首项为 2，公比为 3 的等比数列，则 ，
又因为 ,所以 . 7 分
设数列 的前 项和为 ,
则
所以数列 的前 项和为 . 13 分
16.(1)记 为 中点，连接 ，又 为棱 的中点， ， 所以 ，且 ，即四边形 是平行四边形， 所以 ， 平面 ， 平面 ，则 平面 ，……6 分
(2)由 平面 平面 ，所以 ，又
,所以建立如图所示空间直角坐标系,
设 ,又 ,则
显然平面 的一个法向量为 ,且
设平面 的法向量为 ,则 ,
令 ,则 , 12 分
因为平面 和平面 夹角的余弦值为 ,
所以 ,所以 ,所以 15 分
17.(1) 分
4 分
5 分
所以 关于 的线性回归方程为 ;
当 2026 年时,即 时, ,所以预测该工坊 2026 年的藤编产品的销量约为 16.9 万件. ······7 分
(2)该工坊 2025 年售出的藤编产品中，有 9 万件通过线上售出，用频率估计概率，所以 2025 年售出的藤编产品中,通过线上售出的概率为 分
由题意可知: ,
所以 , 13 分
所以其中线上售出数量 的分布列为:
0 1 2 3 4
16 625 96 25 216 625 216 625 81 625
数学期望 . 15 分
18. 【答案】(1) ; (2) 通信圆 可以达到通信状态最佳.
(1) 由题意,设椭圆 的焦点为 ,且探测器到两站距离和为 4, 则 , 2 分
故椭圆 的标准方程为: ; 4 分
(2)欲判断通信圆 是否达到通信状态最佳，验证通信圆 恒过点 即可。
不妨设 ,联立 ,可得 , 7 分
设 ,则当 时,有
9 分
由 ,得 , 11 分将 代入可得
......’14 分
化简可得
16 分
则 ,即以 为直径的圆经过点 ,
故通信圆 可以达到通信状态最佳。 17 分
19.【答案】(1) .
解: (1) 当 时, ,函数定义域为
故 , 2 分
又 ,所以切线方程为 . 4 分
(2) 由题意得 5 分
若 不存在单调增区间,则 恒成立,即 恒成立,
令 ,
当 时 ,当 时
所以 在 单调递减,在 单调递增, 8 分
所以 ,所以 即
因此所求实数 的取值范围为 . 10 分
(3)由(2)知
所以 在 单调递减,又 ,
所以必存在正数 ,使得 ,即
由(2)知当 时， 即 ，当 时， 即 ，
当 时, 即 ,
由上可知 在 单调递增,在 单调递减,
所以 , 12 分
所以 ,即 ,
令 14 分
因为
当 时, 单调递减,当 时, 单调递增,
所以 ,
所以 的最小值为 17 分
(本试卷满分 150 分, 考试用时 120 分钟) 注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时， 将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 已知复数 ，则 的虚部为( )
A. B. C. D.
3. 已知向量 ，若 ，则实数 的值为( )
A. 2 B. -2
C. D.
4. 已知函数 ，则 “ ” 是 “ ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
5. 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
6. 某数学研究小组为实地测算天汉楼高度,在楼前广场选取两个测量点 ,两点与天汉楼底部中心 在同一水平面上( 为楼顶 在底面的投影). 测得以下数据: 米, ,且从点 测得 的仰角 满足 . 则天汉楼主体高度 约为( )
A. 45 米 B. 46 米 C. 69 米 D. 70米
7. 已知双曲线 ，圆 为以实轴 为直径的圆，试验发现将圆 竖直上移 个单位或水平右移 个单位后均与双曲线的渐近线相切，则该双曲线 的离心率为( )
A. B. C. D.
8. 已知正实数 满足 ，则 ( )
A. 2 B. 1 C. -1 D. 0
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多 项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列选项正确的是( )
A. 数据2,3,4,6,8,10的中位数小于平均数
B. 若事件 是互斥事件,则
C. 若随机变量 ,则
D. 若数据 的方差为 2,则数据 的方差为 8
10. 已知函数 ,则下列说法正确的是 ( )
A. 若 ，则 的图象关于点 中心对称
B. 若曲线 的图象向左移动 个单位后关于 轴对称，则 的最小值为 2
C. 若 ,则 在 单调递增
D. 若 在 上恰有三个零点，则
11. 已知 是定义在 上的可导函数,其中 为其导数, ,若 满足 关于点 对称,下列结论中正确的是( )
A. B.
C. 为 的一条对称轴 D.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 点 为抛物线 的焦点，则 关于准线对称点的坐标为_____.
13. 两位游客准备分别从古汉台、拜将台、兴汉胜境、石门栈道风景区 4 个景点中随机选择其中一个景点游玩,记事件 “两位游客中至少有一人选择古汉台”, 事件 “两位游客选择的景点不同”,则 _____.
14. 祖暅是我国南北朝时期的伟大科学家，他在实践的基础上提出了“幂势既同， 则积不容异”, 意思是两个同高的立体, 如在等高处的截面积相等, 则体积相等, 这就是 “祖暅原理”. 现有一个空心铁质半球壳,外半径为 ,内半径为 (厚度均匀),放入水中后漂浮 (平面朝下). 已知浸入水中部分的深度为 , 则浸入水中部分的体积为_____ .
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分)已知等差数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 是首项为 2，公比为 3 的等比数列，求数列 的前 项和.
16. (15 分) 如图,在四棱锥 中, 平面 , 为棱 的中点.
(1)证明: 平面 ；
(2)若平面 和 夹角的余弦值为 ，求 的长.
17. (15分)汉中藤编久负盛名，被列入国家非物质文化遗产. 一根藤，牵起千年
的记忆, 也编织出乡村振兴的新图景. 汉中某藤编制作工坊积极探索线上推广渠道, 藤编产品销量逐年增长. 该工坊为了科学规划生产, 统计了 2021-2025 年藤编产品的销量数据如下表:
年份 t/年 2021 2022 2023 2024 2025
年份代码 1 2 3 4 5
销量 万件 6 7 10 12 15
(1)统计表明销量 与年份代码 有较强的线性相关关系，求 关于 的线性回归方程, 并预测该工坊 2026 年藤编产品的销量;
(2)已知该工坊 2025 年售出的藤编产品中，有 9 万件通过线上售出，用频率估计概率,现从 2025 年售出的藤编产品中随机抽取 4 件,求其中线上售出数量 的分布列及数学期望.
附: 为回归直线方程,其中 .
18.(17分)在天问二号探测器伴飞任务中，地面观测站 用于追踪探测器,探测器沿椭圆轨道 运行,到两站距离和为 4 . 设过点 的波束中心直线 (斜率不为 0 )与椭圆轨道 交于 两点,以 为直径形成通信圆 。 研究发现,若通信圆 恒过近地点 时,视为通信状态最佳。
(1)求椭圆轨道 的方程；
(2)请判断通信圆 是否能达到通信状态最佳？并说明理由.
19.(17 分)已知函数 ，其中 .
(1)当 时，求 在 处的切线方程；
(2)若函数 存在单调递增区间，求实数 的取值范围；
(3)若 ， ，对任意的 ， 恒成立，求 的最小值.
数学试题答案
1.【答案】
,所以 选项正确.
2.【答案】
,故 的虚部为 选项正确.
3.【答案】
,因为 ,所以 ,解得 选项正确.
4. 【答案】
由 ,即 ,则 ,得 ,则 “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件,故选 A.
5.【答案】
因为 ,可得 . 又 ,
所以 ,得 .
.
选项正确.
6. 【答案】
在 中,由正弦定理得 ,所以 ,由 得 。故选 C.
7. 【答案】
由题,圆 ,竖直上移 个单位后,得到圆
,若圆 ,圆 均与双曲线的渐近线相切,则取渐近线 ,有
,则离心率 ,故选 B.
8.【答案】
,
由基本不等式得, ,即 ,
又因为 恒成立,所以 ,故 即 ,所以 . 故 选项正确.
9.【答案】
对于选项 ,易知该组数据的中位数为 , 平均数为 ,故选项 正确;
对于选项 ,互斥事件不一定是对立事件 故选项 错误;
对于选项 ,
,故选项 C 错误;
对于选项 D,易知 的方差为 ,故选项 D 正确.
10.【答案】
,令 ,
当 ,对称中心为 选项正确.
B. , 平移后关于 轴对称,则 . 又因为 ,则 的最小值为 选项正确.
,则 的单调递增区间为
当 时, ,又因为 选项错误.
D. ,因为 在 上恰有三个零点,所以 选项正确.
11. 【答案】
关于点 对称,
则有: 取 0 时, ,结合数列求和可得 , 为 的一条对称轴,又 周期为 所以 故 正确。
12.【答案】
抛物线 的焦点 ,准线方程 ,所以 点关于准线的对称点 的坐标为 .
13.【答案】
两位游客从 4 个景点中任选,每人有 4 种选择,总事件数: 种. 事件 的对立事件 为 “两位游客都不选择古汉台”, 的事件数: 种, 事件 分为两种情况:甲选古汉台，乙选其余 3 个景点，3 种；乙选古汉台，甲选其余 3 个景点,3 种; 共 种事件， 所以 .
14.【答案】
在深度 处作水平截面,半球壳的截面为圆环,外半径为 ,内半径为 ,则浸入水中部分的截面面积为
,与 无关。发现浸入水中部分的截面面积与一个高度为 ,底面半径为 的圆柱的截面面积相同。由祖暅原理,入水中部分的体积为 .
15.【答案】(1)
(2)
(1)设等差数列 的公差为 ,
则数列 的通项公式为: . 5 分
(2)因为数列 是首项为 2，公比为 3 的等比数列，则 ，
又因为 ,所以 . 7 分
设数列 的前 项和为 ,
则
所以数列 的前 项和为 . 13 分
16.(1)记 为 中点，连接 ，又 为棱 的中点， ， 所以 ，且 ，即四边形 是平行四边形， 所以 ， 平面 ， 平面 ，则 平面 ，……6 分
(2)由 平面 平面 ，所以 ，又
,所以建立如图所示空间直角坐标系,
设 ,又 ,则
显然平面 的一个法向量为 ,且
设平面 的法向量为 ,则 ,
令 ,则 , 12 分
因为平面 和平面 夹角的余弦值为 ,
所以 ,所以 ,所以 15 分
17.(1) 分
4 分
5 分
所以 关于 的线性回归方程为 ;
当 2026 年时,即 时, ,所以预测该工坊 2026 年的藤编产品的销量约为 16.9 万件. ······7 分
(2)该工坊 2025 年售出的藤编产品中，有 9 万件通过线上售出，用频率估计概率，所以 2025 年售出的藤编产品中,通过线上售出的概率为 分
由题意可知: ,
所以 , 13 分
所以其中线上售出数量 的分布列为:
0 1 2 3 4
16 625 96 25 216 625 216 625 81 625
数学期望 . 15 分
18. 【答案】(1) ; (2) 通信圆 可以达到通信状态最佳.
(1) 由题意,设椭圆 的焦点为 ,且探测器到两站距离和为 4, 则 , 2 分
故椭圆 的标准方程为: ; 4 分
(2)欲判断通信圆 是否达到通信状态最佳，验证通信圆 恒过点 即可。
不妨设 ,联立 ,可得 , 7 分
设 ,则当 时,有
9 分
由 ,得 , 11 分将 代入可得
......’14 分
化简可得
16 分
则 ,即以 为直径的圆经过点 ,
故通信圆 可以达到通信状态最佳。 17 分
19.【答案】(1) .
解: (1) 当 时, ,函数定义域为
故 , 2 分
又 ,所以切线方程为 . 4 分
(2) 由题意得 5 分
若 不存在单调增区间,则 恒成立,即 恒成立,
令 ,
当 时 ,当 时
所以 在 单调递减,在 单调递增, 8 分
所以 ,所以 即
因此所求实数 的取值范围为 . 10 分
(3)由(2)知
所以 在 单调递减,又 ,
所以必存在正数 ,使得 ,即
由(2)知当 时， 即 ，当 时， 即 ，
当 时, 即 ,
由上可知 在 单调递增,在 单调递减,
所以 , 12 分
所以 ,即 ,
令 14 分
因为
当 时, 单调递减,当 时, 单调递增,
所以 ,
所以 的最小值为 17 分
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