重庆名校联盟2025-2026学年下学期年高三第一次联考数学试卷（含答案）

重庆市名校联盟高三下联考 数学试卷 (高 2026 届)
本试卷共4页，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项:
1. 作答前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在试卷的规定位置上。
2. 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效。
3. 考试结束后，须将答题卡、试卷、草稿纸一并交回(本堂考试只将答题卡交回)。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的。
1. 已知 为虚数单位， ，则 ()
A. B. 5 C. D. 10
2. “ ” 是 “ ” 成立的( )条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
3. 2025 年 11 月, 搭载 “祖冲之三号” 同款芯片的超导量子计算机 “天衍-287” 完成搭建, 该量子计算系统具备 “量子计算优越性” 能力. 下表记录了 8 个团队在特定年度的研发资金投入 (单位:亿元)与芯片性能提升评估指数 y，且 .
研发资金投入 亿元 2 10
性能提升评估指数 2 12
已知 与 具有较强的线性关系,通过最小二乘估计得到的经验回归方程为 . 如果去掉样本点 后,得到的新样本的经验回归方程为 ，则 ( )
A. 0.1 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.7
4. 已知平面向量 满足 ，则向量 在 方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5. 函数 的最小值为( )
A. 16 B. 25 C. 36 D. 49
6. 已知函数 ,若关于 的不等式 成立,则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7. 已知双曲线 ,圆 与 轴交于 两点, 是圆 与双曲线在 轴上方的两个交点,点 在 轴的同侧,且 交 于点 , 且 为线段 的中点，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8. 若方程 的三个根 成等比数列，则公比为 ( )
A. B. C. D. 3
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错 的得 0 分。
9. 如图所示，在棱长为 2 的正方体 中， ， 分别为棱 ， 的中点, 则下列结论正确的是 ( )
A.
B. 点 到直线 的距离为
C. 直线 与直线 所成角的余弦值为
D. 直线 与直线 是异面直线
10. 已知函数 ，则下列结论正确的是( )
A. 若 在 上恰有三个零点,则
B. 若 在 上恰有三个零点 ,则
C. 若 在 单调递增,则
D. 若 向左平移 后的图像与 图像关于 对称,则
11. 已知点 ,动点 满足 ,动点 的轨迹为曲线 , 为直线 上一动点，则下列说法正确的是( )
A. 若点 ，则 的最小值为
B. 过 作 的两条切线,切点分别为 ,则直线 过定点
C. 若点 是 上一点,则 的最大值为
D. 若点 是 上一点,则 的最大值为
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知 是等比数列 的前 项和， ，则 _____.
13. 的展开式中常数项为_____.
14. 在 中, 为边 上一点, . 当 面积最小时, _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。
15. (13 分) 某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了 100 名学生的物理成绩, 整理得到如图所示的频率分布直方图.
(1)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前 60%的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？(结果保留整数)
(2)从成绩位于区间 和 的答卷中，采用分层抽样随机抽取 7 份，再从这 7 份中随机抽取 3 份,设成绩在 的答卷份数为随机变量 ,求 的分布列及数学期望.
16. (15 分) 已知数列 的前 项和为 ,若 ,且 .
(1)证明: 为等差数列，并求 .
(2)若 ，数列 的前 项和 ，求证: .
17. (15 分) 如图，在三棱柱 中， 为等边三角形，四边形 是边长为 2 的正方形， 为 中点，且 .
(1)求证: 平面 ；
(2)已知 为线段 中点，求直线 与平面 所成角的正弦值.
18. (17分)已知椭圆 的下顶点为 ，左焦点为 ，动直线 与椭圆 交于 两点.
(1)若 是椭圆 上的 个动点，求 的最大值；
(2)设 ， 为坐标原点，若四边形 为平行四边形，求直线 的方程；
(3)若直线 经过定点 ，坐标平面上是否存在定点 (不同于点 )，使得 恒成立 若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由.
19. (17 分) 已知函数 。
(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)若函数 在区间 和 上各恰有一个零点，分别记为 和 ，
(i) 证明: 函数 在两点 处的切线平行;
(ii) 记曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 ,求 的最大值.
数学试卷 (高 2026 届) 参考答案
1A; 2B; 3B; 4C; 5D; 6D; 7D; 8A; 9ABC; 10ABD; 11ABD; 12、381; 13、29; 14、1+3;
8、【答案】A
由 得 ,所以 .
令 ,则 .
方程 的根等价于直线 与 图象的交点的横坐标.
因为函数 的导数为 ,
当 时, 单调递增;
当 时, 单调递减,且为正.
又当 时, ; 当 时, .
作出 的图象,如图. ,
因 成等比数列,可设 ,
所以 ,代入 (*) 式得 ,
由 得 ,即 ,
所以 ,解得 ,
代入 ，可得 ，
整理得 ,解得 或 (舍).
故选: A.
11.对于 ,因为 ,所以 ,
整理得 ,
,故 A 正确
对于 ,因为 为直线 上一点,
设点 坐标为 ,
则直线 的方程为 ,
整理得 ,
令 ,解得 ,所以直线 过定点 ,故 正确;
对于 ,令 ,对于直线 ,与 相切时 有最值,此时圆心到直线的距离
,解得 或 ,所以 的最大值为 ,故 错误;
对于 ,表示点 到点 的距离, 取 ,则
当直线 与圆 相切时, 与 的夹角最小,
此时在 中， ，
所以 ，
所以 ,故 正确. 故选: ABD.
14. ，
所以 .
在 中,由正弦定理得 ,
化简得 .
在 中，由正弦定理得 ，
化简得 .
故 ,
令 ,则 ,
令 ,函数开口向下,对称轴为 , 所以当 时， 取得最大值 ， 即当 取最小值，此时 .
15.(1) 由题意 ,解得 ,
成绩在 的频率为 0.1,在 的频率为 0.25,在 的频率为 0.3,
因为 ,
所以选报物理方向的最低分 在 内,则 ,
解得 ,所以估计报物理方向的学生本次成绩不低于 72 分. 5 分
(2)由题可知，成绩在区间 的频数为 ,
成绩在区间 的频数为 ,
利用分层抽样,从中抽取 7 份,成绩在 的频数为 ,
成绩在 的频数为 ,
再从这 7 份答卷中随机抽取 3 份, 的所有可能取值为 0,1,2,
故 的分布列为:
0 1 2
2 4 7 1 7
所以 的数学期望为: . 13 分
16.(1) ，
所以数列 是以 为首项,2 为公差的等差数列,
所以 ; 7 分
(2) , . 15 分
17.
【小问 1 】
在三棱柱 中, ,
显然 ,则 ,又 ,
于是 ,又 平面 ,
因此 平面 ,又 平面 ,即有 ,
在正 中, 为 中点,则 ,
又 平面 ,
所以 平面 . 7 分
【小问 2 】
取 中点为 中点为 ,则 ,
由( 1 )知， 平面 ，且 平面 ，则 ，又 ，
有 平面 ,
于是 平面 两两垂直.,
以 为坐标原点, 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向,建立空间直角坐标系,
则 ,
设平面 的法向量为 ,则 ,令 ,
得
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 15 分
18. 【答案】(1) (2) 或 . (3)存在定点 .
(1) ， ，右焦点 ，
当且仅当 共线 ( 介于 之间) 时取到 4 分
(2)由 平行于 时,可设直线 ，
与椭圆联立后得到 ,
由 可知, ,
结合韦达定理 ,
解得 ,所以直线方程为 或 10 分
(3)当直线 斜率存在时,设方程为 ，与 联立得:
,设 ,
由韦达定理得 .
当直线 平行于 轴时, ,因此 ,此时 在 轴上,设 .
当直线 斜率不存在时,不妨设 ,
则有 ,
解得 或 (舍). 下面证明点 符合条件.
设直线 ,要证 ,
即 是 的角平分线,只要证明 .
而 ,
而韦达定理可得 ,因而得证,
综上,存在定点 , 17 分
19.(1) 当 时, ,
则 ,
令 ,则 ,故 在 上递增,
又 ,则 时, ,又 ,故 ,
当 时, ,又 ,故 ,
故 恒成立,故 在 上单调递增,
即函数 的单调递增区间为 ,无单调递减区间; 4 分
【小问 2 】
(i) 当 时, ,
根据题意,零点 分别在区间 和 内,不等于 1,
因此 是方程 的两个根,
故 ,则 ,
且有 ,则 ,
则 ,
同理
故函数 在两点 处的切线平行; 10 分
(ii) 由 (i) 知 ,
故 在点 处的切线为 ,
令 ,则 ,
又 ,故 ,
故 ,又 ,且 ,
所以 ,
令 ,则 ,又 ,
当 时 ,当 时 ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,则 ,
所以 的最大值为 . 17 分