2025-2026学年下学期甘肃高三数学3月一模试卷（含答案）

2026 年高三年级第一次模拟考试试题 数学
本试卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。
1. 函数 的定义域为
A. B.
C. D.
2. 复数 满足 ,则
A. B. C. D. i
3. 已知 ,则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 根据如图所示的函数图象,当 时,以下不等关系正确的是
A.
B.
C.
D.
5. 由数字1,2,2,4,可以组成多少个不同的四位数
A. 24 B. 12 C. 10 D. 6
6. 直线 与直线 夹角的余弦值为
A. B. C. D.
7. 已知 ,则 的值为
A. -7
B.
C.
D. -7 或
8. 过抛物线 的焦点作两条互相垂直的弦 ,则 的最小值为
A. 8 B. 16 C. 32 D. 64
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知 为两个互相垂直的单位向量,则下列说法正确的是
A.
B.
C. 若 ,则
D. 若 ,则 的最小值为
10. 甲袋中有大小、形状相同的 4 个红球 2 个白球, 乙袋中有大小、形状相同的 1 个红球 3 个白球,则下列选项中的事件发生的概率不小于 的有
A. 甲袋中一次取出两个球, 两球均为红球
B. 乙袋中有放回地取两次球, 两球均为白球
C. 两袋中各取一个球, 取出的球中有红球
D. 先从乙袋中取 1 球,记下颜色后放回乙袋中,若取出的球为红球则在甲袋中取球,否则继续在乙袋中取球,第二次取出来的是红球
11. 如图所示，轴截面为正三角形的圆锥，底面圆 半径为 是底面的两条直径，母线 与该圆锥内切球 分别切于点 . 则下列说法正确的是
A.
B. 圆锥与球 的交线的轨迹长为
C. 若 ,则
D. 平面 截球 的截面面积的最小值为
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 一组数 的平均数为 2，则这组数的方差为_____.
13. 椭圆 的离心率为 ,双曲线 渐近线的斜率小于 ,则 的取值范围为_____
14. 如图,若第 1 行数字的和记为 ,第 2 行数字的和记为 ,第 行数字的和记为 ,则 _____；若数列 的前 项和为 ,则 _____、(注:第 1 空 2 分,第 2 空 3 分)
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分) 如图, 中,角 的对边分别为 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 的取值范围.
16. (15 分) 如图(1),正方形 的边长为 分别是边 的中点,将 , 分别沿 折起,使得 三点重合于点 得到图(2).
(1)证明: ；
(2)三棱锥 的外接球的球心为 ,求平面 与平面 所成角的余弦值.
图(1)
图(2)
17. (15分)甲、乙两人各持有 1 张“欢”字卡片和 1 张“喜”字卡片，规定两人每次同时从对方手中随机抽取 1 张卡片交换 (记为一轮操作). 记 轮操作后，甲手里有 2 张“欢” 字卡片的概率为 ，甲手里有 2 张 “喜”字卡片的概率为 .
(1)求 的值；
(2)求 的值.
18. (17分)如图所示，焦点在 轴上的椭圆 的顶点分别为 ，且椭圆过点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)过椭圆 上任意一点 作四边形 的内切圆的两条切线 ，切点分别为 ,当切线斜率存在时,记切线 斜率分别为 ,试判断 是否为定值, 若是定值,求出该定值;若不是,请说明理由;
(3)若切线 与椭圆 的另一个交点分别为 ,求 的最小值.
19. (17分)已知函数 .
(1)若曲线 在 处的切线平行于 轴,求 的值；
(2)当 时，求函数 在 内的极大值点和极小值点的个数；
(3)证明:对任意 ，曲线 上存在四个不同的点共圆.
2026 年高三年级第一次模拟考试 数学答案及评分参考
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C A C B A D B
8. 由题意知，两条弦所在直线的斜率必存在且均不为 0,
不妨设直线 的斜率为 ,则直线 的斜率为 ,
设 ,
因为弦过抛物线焦点,所以设直线 的方程为 ,
联立方程: 消去 得: ,
所以 ,故 ,
将 中的 换为 ，得 ，
所以可得 ,
当且仅当 时,“ ”成立,故选 B.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
题号 9 10 11
答案 BD BC ACD
图(1)
11. 对于 ,画出圆锥的轴截面如图(1)所示. 连接 必过球心 ,
因为轴截面为正三角形且底面圆半径为 ,
所以 ,
所以 , 故 正确；
图(2)
对于 ,如图 (2),易知,圆锥与球 的交线的轨迹为 ,
因为 ,所以在 中,
可得 ,求得半径 ,
故轨迹长为 ，B 错误；
对于 ,根据三余弦定理可知,
，
故 C 正确;
对于 ,当 绕着 旋转时,平面 恒过定直线 , 若要使得平面 截球 的截面面积最小,只需球心 到平面 的距离达到最大,如图 (3) 过 作直线 的垂线,垂足为 到平面 的最大距离为 ,又因为在 中, ,所以截 面半径的最小值为 ,所以平面 截球 的截面面积的最小值为 ,故 正确.
图(3)
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 13.
14. (注: 第1空2分,第2空3分)
14. 由题意可知, ;
所以 .
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分) 解: (1) 因为 ,所以 , 2 分
又因为 ,所以 , 4 分
化简得 ,即 ,解得 ; 6 分
(2)因为 ，
所以 在 的延长线上,
如图, 故
8 分
所以
. 10 分
因为 ,所以 , 11 分
解得 ,
所以 的取值范围为 . 13 分
16. (15 分) 解: (1) 因为在原图中 ,故折叠完得 , 同理可得 ,又因为 平面 ,
所以 平面 ,又因为 平面 ,所以 ; 6 分
(2)因为 两两垂直，所以可将该三棱锥补形为如图所示的长方体. 假设该长方体的一条体对角线为 ,则球心 为对角线 的中点. 9 分如图所示,以 所在直线为 轴,以 所在直线为 轴,以 所在直线为 轴建空间直角坐标系. 则 ,
则
12 分
设平面 的法向量为 ,
则 即
令 ,则 ,所以 ;
设平面 的法向量为 ,
则 即
令 ,则 ,所以 ,
设平面 与平面 所成角为 ,
则 .
故平面 与平面 所成角的余弦值为 . 15 分
17. (15分)解:(1)第一轮操作，甲要抽到乙的“欢”字卡片，且同时乙要抽到甲的“喜” 字卡片,甲手中才能有 2 张 “欢” 字卡片,所以 ,
同理 ; 3 分
第二轮操作中，若第一轮结束后，甲手中有 2 张 “欢” 字卡片或有 2 张 “喜” 字卡片， 则在第二轮操作后，甲有 2 张 “欢” 字卡片的概率为 0 ；若第一轮结束后，甲手中有 1 张 “欢” 字卡片和 1 张 “喜” 字卡片,则甲有 2 张 “欢” 字卡片的概率为 ,
故 ,
同理可得 ; 6 分
(2)由对称性可以知道: ， 8 分
而只有在 次操作后，甲手中有 1 张 “欢” 字卡片和 1 张 “喜” 字卡片时， 甲才有 的概率在第 次有 2 张 “欢” 字卡片,若在 次操作后，甲手中有 2 张 “欢” 字卡片或有 2 张 “喜” 字卡片,则在第 轮操作后,甲有 2 张 “欢” 字卡片的概率为 0 ,
所以当 时, , 11 分
化简得 ,
可构造为 ,
所以 是一个以 为首项,以 为公比的等比数列,
可得 ，所以 ，
所以 . 15 分
18.(17分)解:(1)因为 ，所以 ，即 ， 2 分可设椭圆 的方程为 ，又因为椭圆 过点 ，
代入椭圆 的方程得: ，解得 ，
所以椭圆 的方程为: ; 4 分
(2)是定值. 理由如下:
根据对称性,易知四边形 的内切圆的圆心为
因为直线 的方程为: ,
所以圆 的半径 , 6 分
设椭圆上任一点 ,则 ,
当圆的切线斜率存在时,可设过点 的圆的切线方程为 ,
即 ,
所以圆的半径 ,
两边平方化简得: , 8 分
因为切线 的斜率分别为 ,
所以 是方程 (*) 的两个不同的根,
故 ; 10 分
(3)① 当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为: ，设 ， 因为直线 为圆 的切线,所以 ,
化简得: ,
联立方程 消去 得: ,
显然 恒成立, 为上式的两个不同的根,
且
可得 ,同理可证 . 13 分
所以 三点共线,故弦 恒过点 ,
所以当 与 或 重合时, . 14 分
②当直线 或直线 的斜率不存在时,易得 , 16 分综上可知, . 17 分
19.(17 分)解:(1)对函数
求导得: , 1 分
当 时, ,
因为曲线 在 处的切线平行于 轴,
所以 ,解得 : 4 分
(2)由已知 得 ，
求导得: ，
且 的导函数为 , 6 分
① 当 时，因为 ，所以 在 上单调递减
且 使 在 单调递增,
在 单调递增减,所以 为 的极大值点;
② 当 时，因为 ，所以 在 上单调递减，
③ 时 ，所以 在 上单调递增，
又 ,所以 为 的极小值点;
④ 当 时,因为 ,所以 在 上单调递减
且 使 在 单调递增, 所以 在 单调递增减,所以 为 的极大值点; 9 分故 的单调递增区间为 和 ,单调递减区间为 和
,其中 为 的极大值点, 为 的极小值点,
所以曲线 在 的极大值点有 2 个,极小值点有 1 个; 10 分
(3)因为在 中,
所以 ,即曲线 的图象关于 对称, 14 分法一: 因为 的图象关于 对称,
所以 图象上的一点 关于 的对称点 也在 的图象上,函数图象上不同于 的点 关于 的对称点 也在 的图象上,
则四边形 为等腰梯形,
因为等腰梯形的对角互补，故该四边形为圆内接四边形，
所以曲线 上存在四个不同的点,使得这四个点共圆. 17 分
法二: 在曲线 上取三个不共线的点 ,其中 关于 对称,
不妨设 ,
则经过 三点的圆有且只有一个,且圆心在对称轴 上,故设该圆 的方程为: ,因为点 在圆 上,
则 ,
那么在曲线 上必存在点 关于 对称的点 ,
将点 的坐标代入圆 的方程的左边得:
即点 也在圆 上,
所以存在 同在圆 上. 17 分