2025-2026学年下学期甘肃兰州高三数学3月模拟试卷（含答案）

2026年兰州市高三模拟考试 数 学
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. )
1. 集合 ,则图中阴影部分所表示的集合为
A. B.
C. D.
2. 已知函数 (i 是虚数单位),则
A. B. C. D.
3. 下列函数中,既是奇函数又在区间 上单调递增的是
A. B. C. D.
4. 为等差数列 的前 项和. 若 ,则公差
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5. 在 中, 为 边上靠近点 的三分点, 为 的中点,则
A. B. C. D.
6. 已知直线 ,平面 ,则下列说法正确的是
A. 若 则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
7. 为全面提升学生的核心素养与综合实践能力，某校举办“模拟联合国大会”活动，设置了 A, B, C, D 共 4 个不同的国家立场, 由 4 名同学通过随机抽签确定每人代表一个国家立场参与活动. 已知这 4 名同学每人都有且仅有一个心仪的国家立场，且 4 人心仪的国家立场互不相同, 则仅有 1 名同学抽到自己心仪国家立场的抽取方法数是
A. 4 B. 8 C. 12 D. 24
8. 已知曲线 ,则曲线上的点到直线 的距离的取值范围是
A. B. C. D.
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求, 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 某校高一年级开设了文学社、科创社、体育社、艺术社、辩论社五类社团，每名同学最多参加一个社团，对参加社团活动的情况进行统计调查，统计信息如图(1)，(2)，其中参加体育社和艺术社的人数相等，为了解社团活动开展情况，采用分层抽样的方法在参加社团活动的学生中任意抽取 20 名学生做问卷调查.
图(1)
图(2)
根据以上信息, 下列说法正确的是
A. 艺术社的学生人数有 120 人
B. 文学社和辩论社参加问卷调查的学生人数共有 5 人
C. 从参加社团的学生中任选 1 人，已知该学生不是文学社成员，则该学生是科创社成员的概率为
D. 调查结果显示文学社、科创社的满意率均为 0.7 , 其他社团的满意率均为 0.9 , 则社团活动总体满意率为 0.81
10. 在 中,内角 所对的边分别为 ,满足 , 且 ,设 外接圆半径为 ,则下列结论正确的是
A. 的面积为 B. 当 时,
C. 当 时, D. 的取值可能是 2
11. 已知函数 是定义在 上的偶函数且在区间 上单调,函数 的图象关于点 中心对称,则以下说法正确的是
A.
B. 若 ，则
C. 若 在区间 上是增函数，则 在区间 上是增函数
D. 若 ，则 在区间 上的零点之和为 0
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 双曲线 的右焦点为 ，则双曲线的渐近线方程为_____.
13. 正四面体 的棱长为 ，过棱 作平面 与棱 平行，则平面 截该正四面体的外接球所得截面的面积为_____.
14. 已知函数 ,向量 是平面内三个不同的单位向量,其中向量 相互垂直,且满足 ,则 的取值范围是_____.
四、解答题(本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13 分) 已知数列 中， ，当 时， 为 的展开式第 3 项的二项式系数.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，求证: .
16. (15 分) 已知三棱锥 中， ， ，面 面 ， 为垂足.
(1)求 的长；
(2)求平面 与平面 所成的锐角的余弦值.
17. (15 分) 已知 .
(1)若曲线 在 处的切线的一个方向向量为 ，求实数 的值；
(2)若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
18. (17 分) 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,且 在椭圆 上，椭圆 与椭圆 离心率相同.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2) 是椭圆 上异于 ， 的一点，过点 作直线 交椭圆 于点 ， ，作直线 交椭圆 于点 .
i)证明: 为定值;
ii) 若 ，四边形 的面积为 ，求 的最大值.
19. (17 分) 一项物理实验是向区域 中发射某种粒子,该粒子随机落于 中的任何位置, 且任意两个粒子落于何处互不影响. 当某个粒子落于 中特定区域 内时,则需对其进行检测,已知每个粒子落于 内的概率均为 ( 是自然对数的底).
(1)若一次向 中发射 3 个粒子，求恰有 2 个粒子需要检测的概率；
(2)若向 中发射该粒子，每次一个，只要有粒子落于 内，就停止发射. 表示粒子首次落于 内的发射次数， 表示第 次发射时粒子首次落于 内的概率，若 ,求 的最小值; (参考数据: )
(3)若一次向 中发射 个粒子， 表示落于 内的粒子个数， 表示有 个粒子落于 内的概率,求证: .
2026 年兰州市高三模拟考试 数学试题参考答案及评分参考
一、选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. )
1. B 2. A 3. D 4. C 5. C 6. D 7. B 8. D
8.
已知曲线 ,整理得: 如图所示: 椭圆的右半部分,则曲线上的点到直线 :
距离可以转化为平行线间距离,做平行直线 , 过椭圆下顶点时距离最大,此时 ,距离的最小值为: ,做平行直线 ,与椭圆相切时距离最大,此时 ,距离的最大值为: .
故选: D
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部 选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错的得 0 分)
9. ABD 10. BCD 11. BC
11.因为函数 是定义在 上的偶函数,所以 ,又因为函数 的图象关于点 中心对称,所以 ,
即 ,所以 对于 均成立,
所以 ,结合 得: ,即
对于选项 A: 由前推导知 A 错误.
对于选项 B: 因为 ,即 ,所以 ,
又因为 是定义在 上的偶函数,所以 ,即选项 正确.
对于选项 在 上是增函数,当 时, ,所以 为减函数,
又因为 ,所以 在 上是增函数,即选项 正确.
对于选项 D: 因为函数 是在 上的偶函数且在 (0,3) 单调,且 ,所以 ,
又因为 ,所以当 ,
又因为 ,所以 的零点为
所以函数 在 的零点之和为 3,选项 D 错误,所以正确答案为 BC.
三、填空题(本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分)
14.因为函数 且满足 ,
又因为向量 是相互垂直的单位向量可得: ,所以 ,则
所以 且 且 ,
在平面直角坐标系中,设 ,
则有 由此可得 ,
又因为 ,
可得 ,所以 .
四、解答题(本大题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(1)因为当 时,二项式 的展开式中,第 3 项的二项式系数为 , 又因为 展开式第 3 项的二项式系数为数列 的第 项,
所以当 时, , 而 时, ,所以 6 分
(2)因为数列 满足 ，所以 ，所以数列 的前 项和 ,即 ,所以数列 的前 项和 13 分
16.
(1)因为在 和 中， ， ， ， 所以 ,所以 3 分因为面 面 ,面 面 ,则 底面 ,所以 为直角三角形,又因为 , ,所以 6 分
又因为在直角 中, ,所以 ; 8 分
(2)向量法:由(1)中得证明可得，以 为坐标原点，以 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系 ,如图所示,易得 , 则 ,
设平面 的一个法向量为 ,则 , ,取 ,
设平面 的一个法向量为 ,则 , ,取 ,
设平面 与平面 所成锐角为 ,则 .
几何法: 和 均为等腰三角形,取 中点为 ,则 ,则 为平面 与平面 所成二面角的平面角, ,设平面 与平面 所成锐角为 ,根据余弦定理可知: 15 分
17.(1)因为切线的一个方向向量为 ,所以切线的斜率为 ,
所以 ,则 ; 6 分
(2)由 对任意 恒成立可得 对任意 恒成立,
令 ,则 ,
令 ,则 ,
由于 ,故 在 为增函数,所以 ,
则 在 为增函数,所以 ,即 ,
当 即 时, 在 为增函数,则 满足条件.
当 时,必存在 ,使 时 ,此时 ,不满足条件,
综上可知,当 时, 对任意 恒成立. 15 分
18.( 1 )解:由于 ， 在椭圆 上，因此椭圆 的焦点为 ， 又由于椭圆 的离心率为 ，所以 ， ，
椭圆 的方程为 ; 5 分
(2)i)证明: 设直线 的斜率分别为 ,
故直线 的方程为 ,直线 的方程为 ,
设 ,则 ,
由 得 ,设 ,则 ,
,
同理 ,
所以
12 分
ii)解: 因为
，所以 ,
当且仅当 时,“ ”成立,故 的最大值为 17 分
19.(1) 设事件 为:“向区域 中发射 3 个粒子,恰有 2 个落在 中”,
则事件 的概率为 ; 4 分
(2)由题意可知， ，
则
若 ,则 ,所以 ,解得: ,
所以 的最小值为 7 ; 11 分
(3)由题意可知 ，
因为 且
所以
,
所以 17 分