2025-2026学年下学期内蒙古包头市高三数学3月一模试卷（含答案）

绝密★启用前
注意事项:
2026 年普通高等学校招生全国统一考试 (第一次模拟考试) 数 学
1. 考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上。将条形码粘贴在规定区域。 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 做选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3. 回答非选择题时,将答案写在答题卡的规定区域内,写在本试卷上无效。
4. 考试结束后,将答题卡交回。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.
1. 若 为虚数单位,则
A. 2 B. 0 C. D.
2. 设全集 ,集合 ,则
A. B. C. D.
3. 若 为非零向量，则 “ ” 是 “ ” 的
A. 必要不充分条件 B. 既不充分也不必要条件
C. 充分不必要条件 D. 充要条件
4. 记 为正项等比数列 的前 项和,已知 ,则该数列的公比为
A. 4 B. -1 C. 2 D. 1
5. 边长为 2 的等边三角形 的外心为 0,则
A. -2 B. 2 C. D.
6. 已知直线 与圆 相交于 两点，则劣弧 的长为
A. B. C. D.
7. 已知函数 ,若关于 的方程 有四个实根 ,则下列结论正确的是
A. B.
C. D. 的最小值为 16
8. 袋中有 9 个除了颜色外完全相同的小球, 其中有 3 个白球, 2 个红球, 4 个黄球, 从中不放回地取球,每次取一个球,当三种颜色的球都取到时停止,记停止时取出的球的个数为 ,则
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的四个选项中,有多项符合题 目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知函数 ,则
A.
B. 的最小正周期为
C. 图象的对称中心为
D. 不等式 的解集为
10. 设等差数列 的前 项和为 ,公差为 ,首项为 ,若 且 ,则下列结论正确的是
A.
B. 当 时, 取最大值
C.
D. 数列 为等差数列并且与数列 具有相同的单调性
11. 在长方体 中， ，点 为 的中点，点 为平面 内的一个动点 (含边界),则
A. 平面
B. 四棱锥 的外接球的表面积为
C. 平面 平面
D. 若 ,则点 的运动轨迹长度为
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知函数 的图象在 处的切线与直线 垂直, 则 _____.
13. 已知某圆锥的母线长为 4，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为_____.
14. 已知椭圆 和双曲线 有公共焦点 为左焦点), 与 在第三象限交于点 ; 直线 交 轴于点 且 平分 ,则 的离心率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
数列 的前 项和 ,数列 满足 .
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)将数列 和数列 各取前 100 项，按从小到大排成一个新的数列 ,其中重复的数只取一次,求数列 的前 100 项和.
16. (15 分)
随着人工智能的快速发展，它在社会生活中的应用将越来越广泛. 某 AI 科技公司发明了一套人机交互软件，对用户输入的问题它会从数据库中自动检索并生成答案进行应答, 大量试验统计表明, 如果输入的问题没有语法错误, 则软件生成正确答案的概率为 85%；若出现语法错误，则软件生成正确答案的概率为 35% . 已知用户每次输入的问题没有语法错误的概率为 90%,且对于每次输入的问题软件生成正确答案相互独立.
(1)求用户输入一个问题软件生成正确答案的概率；
(2)在某次试验中,用户输入 个问题,记其中软件生成正确答案的个数为 ， 事件 的概率为 . 当 取何值时, 的值最大
17. (15 分)
如图，在棱长为 的正四面体 中， 为棱 的中点.
(1)证明: 平面 ；
(2)记 为正四面体 内切球的球心.
(i) 求内切球 的半径 ; (写出推导过程,直接写结果不给分)
(ii) 设 是球 的球面上一点,且 平面 ,当 最小时,求二面角 的正弦值.
18. (17 分)
已知平面直角坐标系 上一动点 满足 , .
(1)求点 的轨迹曲线 的方程；
(2)斜率为 -1 的直线与曲线 交于 两点且点 .
(i) 求直线 的斜率之和;
(ii) 的外接圆圆心 是否在某定直线上 说明理由.
19. (17 分)
已知函数 ，其中 和 都是实数.
(1)当 时,若 的图象与 轴相切,求 的值；
(2)当 时,若 在 有一个零点,求 的取值范围;
(3)设数列 满足 ，证明: .
2026 年普通高等学校招生全国统一考试 (第一次模拟考试) 数学参考答案
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
1.B 2. D 3. A 4. C 5. A 6. B 7. D 8. C
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.
9. AD 10.ABD 11. BCD
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. -3 13. 14.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.
15.(13 分)
解: (1) 令 ，则
当 时, 也符合上式, 当 时, 也符合上式, .6 分 (2)
.8 分
将数列 和数列 各取前 100 项,按从小到大排成一个新的数列 ,其中重复的数只取一次则 ,
10 分
13 分
16. (15 分)
解:(1)记“用户输入一个问题没有语法错误”为事件 ，“用户输入一个问题软件生成正确答案”为事件 ，由题意可得 ，
. .6 分
(2)由(1)知用户输入一个问题软件生成正确答案的概率为 0.8 ，
则 , .9 分
令 ,则 , .11 分
令 ,则 ; 令 ,则 ; 令 ,则 ;
当 或 时, 取最大值. .15 分
17. (15 分)
(1)证明:因为 、 均为等边三角形，且 为棱 的中点.
所以 、 ; .2 分
平面 . .5 分
(2)(i)点 是底面 的中心，连接 ，则 为正四面体的高，点 为内切球球心；
由题知,在 中, ; .6 分
在 Rt 中,由勾股定理知 ;
由等体积法得 ,则 ; .8 分
即 ，则内切球的半径为 3 . .9 分
(ii)因为 平面 ,所以点 在 上,且在球面上:
所以，当 最小时，则 ； .10 分
以 为 轴, 为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 ;
以 为 轴, 为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 ;
由题知 ;
设面 的法向量为 ，则 ； .12 分
设面 的法向量为 ，则 ；所以 ； .13 分
设二面角 的大小为 ; .14 分
所以 ，二面角 的正弦值为 . .15 分
18. (17 分)
解: (1) 由题意知, ,
所以动点 的轨迹为双曲线的右支, , ..2 分
即 ，所以 ，
则点 的轨迹曲线 的方程为 . ..4 分
(2) (i) 设直线 的方程为 ,直线 和 的斜率分别为 ,
联立 得
则 ,解得 , .7 分
所以
,所以 . .9 分
(ii) 设外接圆 且
联立 得
.12 分
由 (i) 得
所以圆心 .15 分
令
则 的外接圆圆心 在 上. ..17 分
19. (17 分)
解: (1) 时, 且 , .1 分设 与 轴切于
可得 ,从而
..4 分
而 当且仅当 时取到等号,则 . .5 分
(2) 时,
① 当 时， ， 在 上单调递增，此时 ，
所以 在 上无零点. (故舍去) .7 分
② 当 时，令 ，此时 在 上单调递减，在 上单调递增,由 ,且 时, ,
所以 在 上有 1 个零点. .9 分
综上: .10 分
(3) 由题得 ,且
.13 分
由
. .17 分