2025-2026学年下学期江苏重点高中高三数学3月九校联考试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年下学期江苏重点高中高三数学3月九校联考试卷（含解析） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 250.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-12 00:00:00 | ||
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文档简介
高三数 学
本试卷满分 150 分, 考试时间 150 分钟
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上；写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的。
1. 若 ，则
A. 1 B. 2 C. D. 3
2. 设集合 ，若 含有 4 个元素，则
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
3. 的展开式中常数项为
A. B. C. D.
4. 已知两条直线 和平面 ,则下列命题为真命题的是
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
5. 科学研究中经常涉及对粒子状态的分析. 某假想粒子有状态 1,状态 2,状态 ,每种状态下的粒子经过 1 秒有两种可能: 状态保持不变或变为更高一级状态, 已知状态 1 的粒子有 的概率变为状态 2,状态 2 的粒子有 的概率变为状态 3,以此类推. 现有若干状态 1 的该粒子, 则经过 3 秒处于状态 1 和状态 2 的粒子数目约占
A. 39% B. 51% C. 64% D. 73%
6. 若直线 上存在点 ,圆 上存在点 ,使得 ,则 的最大值为
A. 0 B. 2 C. 3 D. 4
7. 记 的内角 的对边分别为 ,则 的面积为
A. 1
B. C. D.
8. 已知正数 满足 ,则
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 下列说法正确的是
A. 若随机变量 ,则
B. 若事件 相互独立,则
C. 若样本数据 的方差为 2,则数据 的方差为 8
D. 用相关指数 刻画回归效果， 越接近 1，说明回归模型的拟合效果越好
10. 已知函数 ,则
A. 曲线 与曲线 存在相同的对称中心
B. 曲线 与曲线 存在相同的对称轴
C. 曲线 向左平移 个单位得到曲线
D. 曲线 与曲线 关于 轴对称
11. 已知四棱锥 的体积为 12，四边形 是平行四边形， 为 的中点，经过直线 的平面与侧棱 分别交于点 . 设 ,则
A. 时, 平面
B. 时,
C. 四面体 的体积为 3
D. 四棱锥 的体积的最小值为 4
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知向量 ，且 ，则 _____.
13. 已知抛物线 的焦点为 ，直线 与 有唯一的公共点 ，则 _____.
14. 已知函数 ,对任意 ,都有 ,则 的取值范围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
如图，已知 是圆锥 的轴截面， .
(1)求圆锥 的外接球的表面积；
(2)若 为弧 的中点,求二面角 的正切值.
16.(15分)
已知数列 各项均不为零， ， ， .
(1)当 时,求 的前 50 项和;
(2)若 ，求正整数 的最小值.
17. (15分)
某次考试的多项选择题,每题 4 个选项中正确选项有 2 个或 3 个,得分规则如下:若正确选项有 2 个,只选 1 个且为正确选项得 3 分,选 2 个且都为正确选项得 6 分,否则得 0 分; 若正确选项有 3 个,只选 1 个且为正确选项得 2 分,选 2 个且都为正确选项得 4 分,选 3 个且都为正确选项得 6 分,否则得 0 分. 学生甲对其中的一道多项选择题完全不会,该题恰有 2 个正确选项的概率为 ,记 为甲随机选择 1 个选项的得分, 为甲随机选择 2 个选项的得分.
(1)若 ，求 ；
(2)求 的概率分布列和数学期望；
(3)证明:当且仅当 时， .
18.(17分)
已知双曲线 的离心率为 是 上一点. 直线 的斜率为 -1, 且与 交于 两点.
(1)求 的方程；
(2)若 ，求 的方程；
(3)证明: 的外接圆的圆心 在定直线上.
19.(17 分)
已知函数 .
(1)对任意 是 的必要条件,求 的最小值；
(2)对任意 ，函数 存在两个零点 .
(i) 求 的取值范围;
(ii) 对于 (i) 中给定的 ,证明: 当 取得最小值时, .
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。
1. 若 ，则
A. 1 B. 2 C. D. 3
【答案】C
因为 ,所以 . 故选 C.
2. 设集合 ，若 含有4个元素，则
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】B
由题意, 且 ,当 时, 含有 3 个元素,不符合; 当 时， 含有 5 个元素，不符合. 故选 B.
3. 的展开式中常数项为
A. B. C. D.
【答案】A
的展开式中常数项为 . 故选 C.
4. 已知两条直线 和平面 ，则下列命题为真命题的是
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 ,则
D. 若 ,则
【答案】C
对于 或 ,故 错误;
对于 的关系不确定,故 错误;
对于 可绕 任意旋转,故 与 关系不确定,故 错误. 故选 .
5. 科学研究中经常涉及对粒子状态的分析. 某假想粒子有状态 1，状态 2，状态 3，……，每种状态
的粒子经过 1 秒有两种可能: 状态保持不变或变为更高一级状态,已知状态 1 的粒子有 概率变为状态 2，状态 2 的粒子有 概率变为状态 3，以此类推. 现有若干状态 1 的该粒子，则经过 3 秒处于状态 1 和状态 2 的粒子数目约占
A. 39% B. 51% C. 64% D. 73%
【答案】C
由题意, 经过 3 秒处于状态 1 和状态 2 的粒子数目约占
. 故选 C.
6. 若直线 上存在点 ,圆 上存在点 ,使得 ,则 的最大值为
A. 0 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
不妨设 ,因为 ,所以 ,故 在直线 上运动,故直线 与圆 有交点,
所以 ,解得 ,故 的最大值为 4 . 故选 D.
7. 记 的内角 的对边分别为 , 则 的面积为
A. 1
B. C. D.
【答案】B
因为 ,
所以 ,所以 ,
故 的面积为 . 故选 C.
8. 已知正数 满足 ,则
A. B.
C. D.
【答案】A
解法一 因为 为正数,所以 ,
故由 得 ,
令 ,易见 单调递增,则 ,所以 . 故选 A.
解法二 因为 为正数,所以 ,
令 ,易见 单调递增,
所以 在 上有零点. 故选 A.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 下列说法正确的是
A. 若随机变量 ,则
B. 若事件 相互独立,则
C. 若样本数据 的方差为 2,则数据 的方差为 8
D. 用相关指数 刻画回归效果， 越接近 1，说明回归模型的拟合效果越好
【答案】ACD
对于 ,由正态分布的对称性, 正确;
对于 ,由题意 ,
又 ，故 B 错误；
对于 ,若样本数据 的方差为 ,则数据 的方差为 ; 对于 ,由相关指数(决定系数)的概念,故 正确. 故选 ACD.
10. 已知函数 ,则
A. 曲线 与曲线 存在相同的对称中心
B. 曲线 与曲线 存在相同的对称轴
C. 曲线 向左平移 个单位得到曲线
D. 曲线 与曲线 关于 轴对称
【答案】AC
因为 ,
对于 ,令 ,得对称中心 ,同理,对称轴为 .
对于 ,令 ,得对称中心 ,同理,对称轴为 .
故有相同的零点 ,所以 正确, 错误;
对于 向左平移 个单位得到
,故 C 正确;
对于 与 显然不关于 轴对称(可由特殊值判断). 故选 AC.
11. 已知四棱锥 的体积为 12，四边形 是平行四边形， 为 的中点，经过直线 的平面与侧棱 分别交于点 ,设 ,则
A. 时, 平面
B. 时,
C. 四面体 的体积为 3
D. 四棱锥 的体积的最小值为 4
【答案】BCD
因为 ,所以 ,
因为 ,所以 ,
因为 四点共面，故 ，所以 ，即 .
对于 ,当 时,得 ,若 平面 ,由 平面 ,
平面 平面 ,所以 ,故 为 的中点
显然不满足 ,故 错误;
对于 ,代入 到 中,得 ;
对于 ,因为 ,故 正确;
对于 ,因为
,
因为 (当且仅当 时取等号),
故 D 正确. 故选 BCD.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知向量 ，且 ，则 _____.
【答案】 -1
因为 ,所以 ,
因为 ,所以 ,故 . 故填 -1 .
13. 已知抛物线 的焦点为 ，直线 与 有唯一的公共点 ，则 _____.
【答案】 5
联立 ,得 ,
所以 ,故 ,
此时 ,所以 ,所以 . 故填 5 .
14. 已知函数 ，对任意 ，都有 ，则 的取值范围为_____.
【答案】
解法一 由题意 ,因为 ,所以 ,故 .
又 ,
故 在 和 上单调递增,在 上单调递减,
又 ,而 .
若 时,此时 ,故 不恒成立,不满足题意; 若 ,此时 ,故 恒成立,符合;
若 ，此时 或 ，必满足 恒成立，符合； 综上所述: 实数 的取值范围是 . 故填 .
解法二 由题意 ,因为 ,所以 ,故 .
又 ,
故 在 和 上单调递增,在 上单调递减,
又 ,而 .
此时 ,故 .
若 ,此时 ,故 恒成立,符合;
若 ，此时 或 ，必满足 恒成立，符合； 综上所述: 实数 的取值范围是 . 故填 .
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
如图,已知 是圆锥 的轴截面, .
(1)求圆锥 的外接球的表面积；
(2)若 为弧 的中点，求二面角 的正切值.
【解】(1)方法一 圆锥外接球半径即为
的外接圆半径,记为 .
在 中,由余弦定理得
所以 ， 2 分
故 ,
所以外接球 的表面积为 . .5 分
方法二 设 ,
因为 ,所以 ,
因为 ,且 , 2 分
所以 ,解得 ,
故 ,
所以外接球 的表面积为 . 5 分
(2)方法一 因为 是弧 的中点，
所以 .
因为 平面 ,且 平面 ,
所以 ,
所以 两两垂直. 7 分
建立如图所示的空间直角坐标系 ,
则 ,
所以 ,
设平面 的法向量为 ,
则
取 , 9 分
因为平面 的一个法向量为 ,
所以 . 11 分
设二面角 为 ,
由图可知 为锐角,
所以 ,
所以 ,即二面角 的正切值为 . 13 分
方法二 在平面 内过 作 ,垂足为 ,连接 ,
因为 ,
且 平面 ,
所以 平面 , 7 分
因为 平面 ,
所以 .
因为 ,
且 平面 ,
所以 平面 ,
所以 ,
所以 为二面角 的平面角. 11 分
因为 ,
所以 ,即二面角 的正切值为 . .13 分
16. (15 分)
已知数列 各项均不为零, .
(1)当 时，求 的前 50 项和；
(2)若 ，求正整数 的最小值.
【解】(1)当 时, ,
故 , .2 分
所以 ,
即 ,故 ,
所以数列 是周期为 6 的数列, 4 分
又 , .5 分
故 的前 50 项和为:
.7 分
(2)方法一 由题意 ，故 ， .9 分
因为 ,
所以 ,即 , 11 分
故正整数 满足 .
当 时, ,
所以 ,
从而 , 13 分
即 ,得 ,所以 ,
故最小正整数 的值为 2 . 15 分
方法二 由 (1) 知, 时, ,故 不合; .9 分
当 时,因为 ,在 两边同除以 得,
,即 ,
所以 是等差数列, 11 分
因为 ,所以 的公差为 2,
所以 ,即 , 13 分
所以 ,
故最小正整数 的值为 2 . 15 分
17. (15 分)
某次考试的多项选择题，每题 4 个选项中正确选项有 2 个或 3 个，得分规则如下:若正确选项有 2 个, 只选 1 个且为正确选项得 3 分, 选 2 个且都为正确选项得 6 分, 否则得 0 分; 若正确选项有 3 个, 只选 1 个且为正确选项得 2 分, 选 2 个且都为正确选项得 4 分, 选 3 个且都为正确选项得 6 分, 否则得 0 分. 学生甲对其中的一道多项选择题完全不会,该题恰有 2 个正确选项的概率为 ,记 为甲随机选择 1 个选项的得分, 为甲随机选择 2 个选项的得分.
(1) 若 ，求 ；
(2)求 的概率分布列和数学期望；
(3) 证明: 当且仅当 时, .
【解】(1)记事件 为“该题恰有 2 个正确选项”，事件 为“该题恰有 3 个正确选项”，
事件 为“甲随机选择 1 个选项为正确选项”，则 ， 1 分
所以 .3 分
.5 分
(2)随机变量 的所有可能取值为 0,2,3,
8 分
所以随机变量 的概率分布列如下:
0 2 3
所以 . 10 分
(3)证明:随机变量 的所有可能取值为 0,4,6,
所以 , 13 分
所以 当且仅当 ,当且仅当 . 得证. 15 分
18. (17 分)
已知双曲线 的离心率为 是 上一点. 直线 的斜率为 -1, 且与 交于 两点.
(1)求 的方程；
(2)若 ，求 的方程；
(3) 证明: 的外接圆的圆心 在定直线上.
【解】(1)记 ,则 , 1 分
设 则 的方程为: ,
因为点 在 上,所以 , .2 分
即 ,
所以双曲线 的方程为 . .4 分
(2)不妨设直线 的方程为 ，
所以 ,故 ,
所以 ,即 ,或 ,
6 分
. 8 分
所以 ,解得 (舍),或 ,
故所求直线 的方程为 . 10 分
(3)方法一由题意 的中垂线为: ，
同理 的中垂线 , 12 分
联立 ,消 得 ,
得 ,
即 ,
因为 ,所以
, 14 分
又设圆心为 ,则 ,
故 ,
所以 ,
所以 ,
故 ,又 ,所以 ,从而 ,
故圆心 在直线 上. 17 分
方法二 设圆心为 ,由题意 的中垂线为:
故 , 12 分
即 ,
所以 ,
整理得 ,
同理 ,
即 是方程 的两根,
从而 14 分
所以 故 ，
若 ,则此时直线 为 ,过点 ,故舍;
若 ,则 ,从而 ,从而 ,
故圆心 在直线 上. 17 分
方法三 不妨设圆 的方程为: ,则 , 又 ,
所以 ,
即该方程的两个根为 ,又 为方程 的两根,
故 , .12 分
由点 在圆上,故 ,
故 ,即 , .14 分所以 ,故 , 若 ,则此时直线 为 ,过点 ,故舍;
若 ,则 ,从而 ,从而 ,
故圆心 在直线 上. 17 分
19. (17 分)
已知函数 .
(1)对任意 ， 是 的必要条件，求 的最小值；
(2)对任意 ，函数 存在两个零点 .
(i) 求 的取值范围;
(ii) 对于(i) 中给定的 ,证明: 当 取得最小值时, .
【解】(1)对任意 ， 是 的必要条件，
即由 可以推出 ,所以 ,
结合 的解析式可知， 在 上是增函数， 2 分
因为 ,对 ,所以 ,即 ,
设 ,则 ,
所以 在 上是减函数,
所以 ,即 的最小值是 1 . 5 分
(2)由 得 ，设 ，则 ，
(i) 若 ,取 ,
所以 时, 递减; 时, 递增.
,故 至多一个零点,
即 至多一个零点,不合; .7 分
若 ,因为 ,所以 时, 递减;
时, 递增. 8 分
所以 ,设 ,
则 ,所以 时, 递增;
时, 递减.
所以 ,即 , .9 分
因为 ,所以 ,
故 且 ,
因为 ,
所以 ,
所以 时,存在两个零点.
故 的取值范围是 . 10 分
(ii) 因为 ,由 (i) 知 的两个零点异号,不妨设 , 设 ,因为 ,
所以 ,
因为 ,所以 , 12 分
由 (1) 知, 在上 递增,
所以 存在最小值当且仅当 存在最小值,
即函数 在 上存在最小值, 13 分
因为 ,设 ,
则 ,所以 在 上递增,
因为 ,
所以存在 ,
当 时, 递减;
时, 递增.
所以 在 时取得最小值, 15 分
即 时, 取得最小值, 取得最小值.
此时 ,
所以 取得最小值时 . 17 分
本试卷满分 150 分, 考试时间 150 分钟
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上；写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的。
1. 若 ，则
A. 1 B. 2 C. D. 3
2. 设集合 ，若 含有 4 个元素，则
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
3. 的展开式中常数项为
A. B. C. D.
4. 已知两条直线 和平面 ,则下列命题为真命题的是
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
5. 科学研究中经常涉及对粒子状态的分析. 某假想粒子有状态 1,状态 2,状态 ,每种状态下的粒子经过 1 秒有两种可能: 状态保持不变或变为更高一级状态, 已知状态 1 的粒子有 的概率变为状态 2,状态 2 的粒子有 的概率变为状态 3,以此类推. 现有若干状态 1 的该粒子, 则经过 3 秒处于状态 1 和状态 2 的粒子数目约占
A. 39% B. 51% C. 64% D. 73%
6. 若直线 上存在点 ,圆 上存在点 ,使得 ,则 的最大值为
A. 0 B. 2 C. 3 D. 4
7. 记 的内角 的对边分别为 ,则 的面积为
A. 1
B. C. D.
8. 已知正数 满足 ,则
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 下列说法正确的是
A. 若随机变量 ,则
B. 若事件 相互独立,则
C. 若样本数据 的方差为 2,则数据 的方差为 8
D. 用相关指数 刻画回归效果， 越接近 1，说明回归模型的拟合效果越好
10. 已知函数 ,则
A. 曲线 与曲线 存在相同的对称中心
B. 曲线 与曲线 存在相同的对称轴
C. 曲线 向左平移 个单位得到曲线
D. 曲线 与曲线 关于 轴对称
11. 已知四棱锥 的体积为 12，四边形 是平行四边形， 为 的中点，经过直线 的平面与侧棱 分别交于点 . 设 ,则
A. 时, 平面
B. 时,
C. 四面体 的体积为 3
D. 四棱锥 的体积的最小值为 4
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知向量 ，且 ，则 _____.
13. 已知抛物线 的焦点为 ，直线 与 有唯一的公共点 ，则 _____.
14. 已知函数 ,对任意 ,都有 ,则 的取值范围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
如图，已知 是圆锥 的轴截面， .
(1)求圆锥 的外接球的表面积；
(2)若 为弧 的中点,求二面角 的正切值.
16.(15分)
已知数列 各项均不为零， ， ， .
(1)当 时,求 的前 50 项和;
(2)若 ，求正整数 的最小值.
17. (15分)
某次考试的多项选择题,每题 4 个选项中正确选项有 2 个或 3 个,得分规则如下:若正确选项有 2 个,只选 1 个且为正确选项得 3 分,选 2 个且都为正确选项得 6 分,否则得 0 分; 若正确选项有 3 个,只选 1 个且为正确选项得 2 分,选 2 个且都为正确选项得 4 分,选 3 个且都为正确选项得 6 分,否则得 0 分. 学生甲对其中的一道多项选择题完全不会,该题恰有 2 个正确选项的概率为 ,记 为甲随机选择 1 个选项的得分, 为甲随机选择 2 个选项的得分.
(1)若 ，求 ；
(2)求 的概率分布列和数学期望；
(3)证明:当且仅当 时， .
18.(17分)
已知双曲线 的离心率为 是 上一点. 直线 的斜率为 -1, 且与 交于 两点.
(1)求 的方程；
(2)若 ，求 的方程；
(3)证明: 的外接圆的圆心 在定直线上.
19.(17 分)
已知函数 .
(1)对任意 是 的必要条件,求 的最小值；
(2)对任意 ，函数 存在两个零点 .
(i) 求 的取值范围;
(ii) 对于 (i) 中给定的 ,证明: 当 取得最小值时, .
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。
1. 若 ，则
A. 1 B. 2 C. D. 3
【答案】C
因为 ,所以 . 故选 C.
2. 设集合 ，若 含有4个元素，则
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】B
由题意, 且 ,当 时, 含有 3 个元素,不符合; 当 时， 含有 5 个元素，不符合. 故选 B.
3. 的展开式中常数项为
A. B. C. D.
【答案】A
的展开式中常数项为 . 故选 C.
4. 已知两条直线 和平面 ，则下列命题为真命题的是
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 ,则
D. 若 ,则
【答案】C
对于 或 ,故 错误;
对于 的关系不确定,故 错误;
对于 可绕 任意旋转,故 与 关系不确定,故 错误. 故选 .
5. 科学研究中经常涉及对粒子状态的分析. 某假想粒子有状态 1，状态 2，状态 3，……，每种状态
的粒子经过 1 秒有两种可能: 状态保持不变或变为更高一级状态,已知状态 1 的粒子有 概率变为状态 2，状态 2 的粒子有 概率变为状态 3，以此类推. 现有若干状态 1 的该粒子，则经过 3 秒处于状态 1 和状态 2 的粒子数目约占
A. 39% B. 51% C. 64% D. 73%
【答案】C
由题意, 经过 3 秒处于状态 1 和状态 2 的粒子数目约占
. 故选 C.
6. 若直线 上存在点 ,圆 上存在点 ,使得 ,则 的最大值为
A. 0 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
不妨设 ,因为 ,所以 ,故 在直线 上运动,故直线 与圆 有交点,
所以 ,解得 ,故 的最大值为 4 . 故选 D.
7. 记 的内角 的对边分别为 , 则 的面积为
A. 1
B. C. D.
【答案】B
因为 ,
所以 ,所以 ,
故 的面积为 . 故选 C.
8. 已知正数 满足 ,则
A. B.
C. D.
【答案】A
解法一 因为 为正数,所以 ,
故由 得 ,
令 ,易见 单调递增,则 ,所以 . 故选 A.
解法二 因为 为正数,所以 ,
令 ,易见 单调递增,
所以 在 上有零点. 故选 A.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 下列说法正确的是
A. 若随机变量 ,则
B. 若事件 相互独立,则
C. 若样本数据 的方差为 2,则数据 的方差为 8
D. 用相关指数 刻画回归效果， 越接近 1，说明回归模型的拟合效果越好
【答案】ACD
对于 ,由正态分布的对称性, 正确;
对于 ,由题意 ,
又 ，故 B 错误；
对于 ,若样本数据 的方差为 ,则数据 的方差为 ; 对于 ,由相关指数(决定系数)的概念,故 正确. 故选 ACD.
10. 已知函数 ,则
A. 曲线 与曲线 存在相同的对称中心
B. 曲线 与曲线 存在相同的对称轴
C. 曲线 向左平移 个单位得到曲线
D. 曲线 与曲线 关于 轴对称
【答案】AC
因为 ,
对于 ,令 ,得对称中心 ,同理,对称轴为 .
对于 ,令 ,得对称中心 ,同理,对称轴为 .
故有相同的零点 ,所以 正确, 错误;
对于 向左平移 个单位得到
,故 C 正确;
对于 与 显然不关于 轴对称(可由特殊值判断). 故选 AC.
11. 已知四棱锥 的体积为 12，四边形 是平行四边形， 为 的中点，经过直线 的平面与侧棱 分别交于点 ,设 ,则
A. 时, 平面
B. 时,
C. 四面体 的体积为 3
D. 四棱锥 的体积的最小值为 4
【答案】BCD
因为 ,所以 ,
因为 ,所以 ,
因为 四点共面，故 ，所以 ，即 .
对于 ,当 时,得 ,若 平面 ,由 平面 ,
平面 平面 ,所以 ,故 为 的中点
显然不满足 ,故 错误;
对于 ,代入 到 中,得 ;
对于 ,因为 ,故 正确;
对于 ,因为
,
因为 (当且仅当 时取等号),
故 D 正确. 故选 BCD.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知向量 ，且 ，则 _____.
【答案】 -1
因为 ,所以 ,
因为 ,所以 ,故 . 故填 -1 .
13. 已知抛物线 的焦点为 ，直线 与 有唯一的公共点 ，则 _____.
【答案】 5
联立 ,得 ,
所以 ,故 ,
此时 ,所以 ,所以 . 故填 5 .
14. 已知函数 ，对任意 ，都有 ，则 的取值范围为_____.
【答案】
解法一 由题意 ,因为 ,所以 ,故 .
又 ,
故 在 和 上单调递增,在 上单调递减,
又 ,而 .
若 时,此时 ,故 不恒成立,不满足题意; 若 ,此时 ,故 恒成立,符合;
若 ，此时 或 ，必满足 恒成立，符合； 综上所述: 实数 的取值范围是 . 故填 .
解法二 由题意 ,因为 ,所以 ,故 .
又 ,
故 在 和 上单调递增,在 上单调递减,
又 ,而 .
此时 ,故 .
若 ,此时 ,故 恒成立,符合;
若 ，此时 或 ，必满足 恒成立，符合； 综上所述: 实数 的取值范围是 . 故填 .
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
如图,已知 是圆锥 的轴截面, .
(1)求圆锥 的外接球的表面积；
(2)若 为弧 的中点，求二面角 的正切值.
【解】(1)方法一 圆锥外接球半径即为
的外接圆半径,记为 .
在 中,由余弦定理得
所以 ， 2 分
故 ,
所以外接球 的表面积为 . .5 分
方法二 设 ,
因为 ,所以 ,
因为 ,且 , 2 分
所以 ,解得 ,
故 ,
所以外接球 的表面积为 . 5 分
(2)方法一 因为 是弧 的中点，
所以 .
因为 平面 ,且 平面 ,
所以 ,
所以 两两垂直. 7 分
建立如图所示的空间直角坐标系 ,
则 ,
所以 ,
设平面 的法向量为 ,
则
取 , 9 分
因为平面 的一个法向量为 ,
所以 . 11 分
设二面角 为 ,
由图可知 为锐角,
所以 ,
所以 ,即二面角 的正切值为 . 13 分
方法二 在平面 内过 作 ,垂足为 ,连接 ,
因为 ,
且 平面 ,
所以 平面 , 7 分
因为 平面 ,
所以 .
因为 ,
且 平面 ,
所以 平面 ,
所以 ,
所以 为二面角 的平面角. 11 分
因为 ,
所以 ,即二面角 的正切值为 . .13 分
16. (15 分)
已知数列 各项均不为零, .
(1)当 时，求 的前 50 项和；
(2)若 ，求正整数 的最小值.
【解】(1)当 时, ,
故 , .2 分
所以 ,
即 ,故 ,
所以数列 是周期为 6 的数列, 4 分
又 , .5 分
故 的前 50 项和为:
.7 分
(2)方法一 由题意 ，故 ， .9 分
因为 ,
所以 ,即 , 11 分
故正整数 满足 .
当 时, ,
所以 ,
从而 , 13 分
即 ,得 ,所以 ,
故最小正整数 的值为 2 . 15 分
方法二 由 (1) 知, 时, ,故 不合; .9 分
当 时,因为 ,在 两边同除以 得,
,即 ,
所以 是等差数列, 11 分
因为 ,所以 的公差为 2,
所以 ,即 , 13 分
所以 ,
故最小正整数 的值为 2 . 15 分
17. (15 分)
某次考试的多项选择题，每题 4 个选项中正确选项有 2 个或 3 个，得分规则如下:若正确选项有 2 个, 只选 1 个且为正确选项得 3 分, 选 2 个且都为正确选项得 6 分, 否则得 0 分; 若正确选项有 3 个, 只选 1 个且为正确选项得 2 分, 选 2 个且都为正确选项得 4 分, 选 3 个且都为正确选项得 6 分, 否则得 0 分. 学生甲对其中的一道多项选择题完全不会,该题恰有 2 个正确选项的概率为 ,记 为甲随机选择 1 个选项的得分, 为甲随机选择 2 个选项的得分.
(1) 若 ，求 ；
(2)求 的概率分布列和数学期望；
(3) 证明: 当且仅当 时, .
【解】(1)记事件 为“该题恰有 2 个正确选项”，事件 为“该题恰有 3 个正确选项”，
事件 为“甲随机选择 1 个选项为正确选项”，则 ， 1 分
所以 .3 分
.5 分
(2)随机变量 的所有可能取值为 0,2,3,
8 分
所以随机变量 的概率分布列如下:
0 2 3
所以 . 10 分
(3)证明:随机变量 的所有可能取值为 0,4,6,
所以 , 13 分
所以 当且仅当 ,当且仅当 . 得证. 15 分
18. (17 分)
已知双曲线 的离心率为 是 上一点. 直线 的斜率为 -1, 且与 交于 两点.
(1)求 的方程；
(2)若 ，求 的方程；
(3) 证明: 的外接圆的圆心 在定直线上.
【解】(1)记 ,则 , 1 分
设 则 的方程为: ,
因为点 在 上,所以 , .2 分
即 ,
所以双曲线 的方程为 . .4 分
(2)不妨设直线 的方程为 ，
所以 ,故 ,
所以 ,即 ,或 ,
6 分
. 8 分
所以 ,解得 (舍),或 ,
故所求直线 的方程为 . 10 分
(3)方法一由题意 的中垂线为: ，
同理 的中垂线 , 12 分
联立 ,消 得 ,
得 ,
即 ,
因为 ,所以
, 14 分
又设圆心为 ,则 ,
故 ,
所以 ,
所以 ,
故 ,又 ,所以 ,从而 ,
故圆心 在直线 上. 17 分
方法二 设圆心为 ,由题意 的中垂线为:
故 , 12 分
即 ,
所以 ,
整理得 ,
同理 ,
即 是方程 的两根,
从而 14 分
所以 故 ，
若 ,则此时直线 为 ,过点 ,故舍;
若 ,则 ,从而 ,从而 ,
故圆心 在直线 上. 17 分
方法三 不妨设圆 的方程为: ,则 , 又 ,
所以 ,
即该方程的两个根为 ,又 为方程 的两根,
故 , .12 分
由点 在圆上,故 ,
故 ,即 , .14 分所以 ,故 , 若 ,则此时直线 为 ,过点 ,故舍;
若 ,则 ,从而 ,从而 ,
故圆心 在直线 上. 17 分
19. (17 分)
已知函数 .
(1)对任意 ， 是 的必要条件，求 的最小值；
(2)对任意 ，函数 存在两个零点 .
(i) 求 的取值范围;
(ii) 对于(i) 中给定的 ,证明: 当 取得最小值时, .
【解】(1)对任意 ， 是 的必要条件，
即由 可以推出 ,所以 ,
结合 的解析式可知， 在 上是增函数， 2 分
因为 ,对 ,所以 ,即 ,
设 ,则 ,
所以 在 上是减函数,
所以 ,即 的最小值是 1 . 5 分
(2)由 得 ，设 ，则 ，
(i) 若 ,取 ,
所以 时, 递减; 时, 递增.
,故 至多一个零点,
即 至多一个零点,不合; .7 分
若 ,因为 ,所以 时, 递减;
时, 递增. 8 分
所以 ,设 ,
则 ,所以 时, 递增;
时, 递减.
所以 ,即 , .9 分
因为 ,所以 ,
故 且 ,
因为 ,
所以 ,
所以 时,存在两个零点.
故 的取值范围是 . 10 分
(ii) 因为 ,由 (i) 知 的两个零点异号,不妨设 , 设 ,因为 ,
所以 ,
因为 ,所以 , 12 分
由 (1) 知, 在上 递增,
所以 存在最小值当且仅当 存在最小值,
即函数 在 上存在最小值, 13 分
因为 ,设 ,
则 ,所以 在 上递增,
因为 ,
所以存在 ,
当 时, 递减;
时, 递增.
所以 在 时取得最小值, 15 分
即 时, 取得最小值, 取得最小值.
此时 ,
所以 取得最小值时 . 17 分
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