2025-2026学年下学期河北秦皇岛高二数学3月开学考试卷（含解析）

高二数学
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4. 本试卷主要考试内容: 人教 A 版选择性必修第一、二册。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 数列 的通项公式可以是
A. B.
C. D.
2. 下列求导正确的是
A. B.
C.
D.
3. 已知向量 ,则
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
4. 已知数列 满足 ,则
A. 1 B. 5
C. D.
5. 图 1 所示的为一种卫星接收天线, 其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分, 已知该卫星接收天线的口径 ,深度 ,信号处理中心 位于抛物线的焦点处,则
图 1
图 2
A. 4
B. 8
C.
D.
6. 已知 为直线 上的动点， 为 的中点，记 的轨迹为 ,则 的方程为
A. B.
C. D.
7. 已知双曲线 的两条渐近线与直线 交于 两点,若 为坐标原点)的面积为 8,则双曲线 的离心率是
A. B. C. 3 D. 5
8. 已知 ,若对任意的 ,不等式 恒成立,则整数 的最小值为
A. -1 B. -2 C. 0 D. 1
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知三条直线 与 共有两个不同的交点， 则 的值可能是
A. -2
B. C. D. 2
10. 若函数 存在零点,则实数 的取值可能为
A. B. 1
C. D.
11. 任取一个正整数，若是奇数，则将该数乘 3 再加上 1；若是偶数，则将该数除以 2 . 反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈 . 这就是数学史上著名的 “冰雹猜想”(又称 “角谷猜想”等). 如取正整数 ，根据上述运算法则得出 ,共需经过 8 个步骤变成 1 (简称 8 步 “雹程”). 现给出 “冰雹猜想”的递推关系如下: 已知数列 满足 则下列结论正确的是
A. 若 ,则使得 需要 10 步 “雹程”
B. 若 ,则
C. 若 ，则数列 的前 2025 项和为 4726
D. 若 ，则 的所有可能取值之和为 190
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 是直线 上一点, 是直线 的一个方向向量,则点 到直线 的距离是_____▲_____.
13. 已知函数 ,则 _____▲_____.
14. 一条光线从点 射出,经 轴上的点 反射后,与圆 1 有公共点,则 的取值范围是_____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13 分)
已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)若 ，求 的最大值与最小值.
16.(15分)
记 为等差数列 的前 项和,已知 .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
17. (15 分)
如图，在直三棱柱 中， ， ， ， ， 分别是棱 的中点，点 在棱 上，且 .
(1)证明: .
(2)证明: 平面 .
(3)求平面 与平面 夹角的正弦值.
18. (17分)
已知函数 的导函数为 .
(1)求函数 的极值；
(2)判断经过点 的曲线 的切线有多少条;
(3)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
19.(17 分)
在平面直角坐标系 中,过点 的两条直线 与直线 的斜率分别为 ,且 ,记动点 的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程.
(2)已知 是线段 上一点(异于 ， )，过点 的直线 与 交于 ， 两点，直线 分别交直线 于 两点.
(i) 若点 在 轴的正半轴上,则是否存在直线 ,使得 的面积是 面积的 4 倍 说明理由.
(ii)是否存在点 ，使得 为定值？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
高二数学参考答案
1. 通项公式可以为 .
2. D 因为 ,所以 不正确; 因为 ,所以 不正确; 因为 ,所以 不正确; 因为 ,所以 D 正确.
3. C 由题意可得 ,则 .
4. B 依题意得 . 数列 的周期为 .
5.A 可设该抛物线的方程为 ,点 的坐标为 ,所以 ,解得 ,则该抛物线的方程为 .
6. 设 ,则 ,由 在直线 上,得 1) ,化简得 ,故 的方程为 .
7. 由题意可知双曲线 的渐近线方程为 ,令 ,得 . 不妨设 , ,则 . 因为 的面积为 8,所以 ,所以 ,即 ,所以 ,则双曲线 的离心率 .
8. A 因为 ,所以 . 令 ,则只需 . 因为 ,所以 在 上单调递减,所以 ,所以只需 . 令 ,则 . 因为 ,所以 在 ,
1) 上单调递增,在 上单调递减,所以 ,所以 ,故整数 的最小值为 -1 .
9. AC 要使三条直线共有两个不同的交点, 则有两条直线平行, 第三条直线与它们不平行. 因
为直线 与 不平行,所以 或 . 当 时, 解得 ; 当 时, 解得 . 综上, 的值可能是 或-2.
10. 存在零点等价于函数 与 的图象有交点.
因为 ,所以 在 上单调递增,在 上单调递减.
函数
令 ,得 ; 令 ,得 .
因为 ,
所以 在 处的切线方程分别为 . 数形结合可知 .
11. ABD 当 时,根据上述运算法则得出 , 则使得 需要 10 步 “雹程”, 正确. 当 时, ,则数列 是周期为 3 的周期数列,故 正确. 当 时, , ,则数列 是周期为 3 的周期数列,故数列 的前 2025 项和为 , C错误. 当 时, 或 或 或 或 或 或 或 或 或 或 或 或 ,即 的所有可能取值之和为 正确.
12. 由题可得 ,且 ,
所以点 到直线 的距离是 .
13. 因为 ,所以 ,
所以
.
14. 由题可知反射光线所在直线 经过点 ,则直线 的方程为 ,即 . 依题意得圆 的圆心 到 的距离 ,解得 . 故 的取值范围为 .
15. 解: (1) 因为 . 1 分令 ,得 或 , 3 分
当 变化时, 的变化情况如表所示.
-4 (-4,2) 2 (2,+∞)
+ 0 - 0 +
单调递增 28 单调递减 -8 单调递增
5 分
所以 的单调递增区间为 和 ,单调递减区间为 . 6 分
(2)由(1)知当 时， 取得极小值 -8. 10 分
因为 , 11 分
所以 . 13 分
16. 解: (1) , 2 分
等差数列 的公差 , 4 分
, 5 分
. 7 分
(2) ， 当 且 时， ，当 且 时， ， 9 分 当 且 时,
12 分
当 且 时,
15 分
17. 解: 由题意可知 两两垂直,则以 为原点, 的方向分别为 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系. 设 ，则 分
(1)证明: 由题中数量关系可得 ， ， ， ，则 , . 4 分
因为 , 5 分
所以 ,即 . 6 分
(2)证明: 由题中数量关系可得 , ,
则 . 8 分设平面 的法向量为 ,
则 令 ,得 . 9 分
因为 , 10 分
所以 ,又 平面 ,所以 平面 . 11 分
(3)由(2)可知平面 的一个法向量为 .
因为平面 的一个法向量为 , 12 分
所以 . 14 分
设平面 与平面 的夹角为 ,则 . 15 分
18. 解:(1)因为 ，所以 . 1 分
因为 ,
所以 . 2 分
令 ,得 或 ; 令 ,得 .
所以 在 上单调递增,在 上单调递减, 4 分
所以 的极大值为 ,极小值为 . 5 分
(2)因为 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 . 7 分
将 代入，得 . 8 分
因为 ,所以方程 有两个不同的根,所以方程 共有 2 个不同的根,
即经过点 的曲线 的切线有 2 条. 10 分
(3)由 ,得 .
记 ,则 . 11 分
①当 时，则 ，所以 在 上单调递增，因为 ，所以不满足题意，舍去. 12 分
② 当 时， ， 在 ， 上单调递增，
显然 时， ，所以不满足题意，舍去. 13 分
③ 当 时，令 ，得 ，
因为 ,所以当 时, ,当 时, ,
即 在 上单调递减,在 上单调递增,所以 .
由 ,解得 .
因为 ,所以 . 15 分
④ 当 时， ，所以 在 上单调递减，所以 .
由 ,解得 ,所以 . 16 分
综上所述, 的取值范围是 . 17 分
19. 解: (1) 设 ,则 , 2 分化简得 且 ,
所以 的方程为 且 . 4 分
(2)(i)设 ， ， ，直线 .
由 得 ,
即 ,则 ,
, 7 分
, 9 分
即 ,即 ,
因为 ,所以 ,
又 ，所以不存在直线 ，使得 的面积是 面积的 4 倍. 11 分
(ii) 直线 的方程分别为 .
令 ,则 ,
则 , 13 分
所以
, 15 分
当 ,即 时, , 16 分
当 ,即 时, ,
故当点 的坐标为 或 时, 为定值. 17 分