2025-2026学年下学期重庆南开中学高一数学3月周练试卷（含答案）

重庆南开中学高 2028 届高一数学练习(3.8)
数学试卷
本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分. 满分 150 分，考试时间 120 分钟. 第 I 卷和第 II 卷都答在答题卷上.
一、单项选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一 个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. “ ” 是 “ ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 在 中， ， ， ，则 ( )
A. 2 B. 3 C. D.
4. 函数 在区间 上的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
5. 在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ，则 是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
6. 已知点 在幂函数 的图象上,设 ,则 的大小关系为( )
A. B.
C. D.
7. 已知 ,且 ,则 ( )
A. 0 B. C. D.
8. ,在 上单调递增,且 为它的一条对称轴, 是它的一个对称中心，当 时， 的最小值为( )
A. B. C. D. 0
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 若角 是 的三个内角，则下列结论中一定成立的有( )
A. B.
C. D.
10. 已知 ,且 ,则()
A. B.
C. D.
11. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家. 称为高斯函数,其中 ,且 表示不超过 的最大整数,例如 . 设函数 ，则( ).
A. B. 是周期函数
C. 的值域为 D.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 的内角 的对边分别为 ,若 的面积为 ,则 _____.
13. 已知锐角 满足 ，且 ，则 _____.
14. 锐角 的内角 的对边分别为 ,若 , 则 的取值范围为_____.
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)
在 中， 所对的边为 ，已知
(1)求角 的大小.
(2)若 的面积为 且 ，求 的周长.
16. (本小题满分 15 分)
已知函数 .
(1)求函数 的最小正周期和单调递减区间；
(2)若方程 在区间 上恰有两个不相等的实数根 ,求 的取值范围.
17. (本小题满分 15 分)
已知 分别为 三个内角 的对边,且 .
(1)求 ；
(2)若 ， 的面积为 . 周长为 ，求 的最大值.
18. (本小题满分 17 分)
某学校为迎接校庆，拟建一个扇环形状的花坛(如图所示)，按设计要求扇环的周长为 36 米，其中小圆弧所在圆的半径为 12 米，设大圆弧所在圆的半径为 米，圆心角为 ( )(弧度).
(1)求 关于 的函数解析式，并求出 的取值范围；
(2)已知对花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为 32 元/米，弧线部分的装饰费用为 8 元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为 .
(i) 求 关于 的函数解析式;
(ii) 求出 的最大值和 取最大值时的 的值.
19. (本小题满分 17 分)
已知两个函数 ， ， ， 若对任意的 ，存在唯一的 ，使得 成立，则称 为 的“友好函数”.
(1)判断函数 是否为 的“友好函数”，并说明理由； (2)若函数 是 的“友好函数”,求 的最小值; (3)已知函数 ,若 是 的“友好函数”,且 也是 的“友好函数”,求实数 的值及 的最大值.
重庆南开中学高 2028 届高一数学练习 (3.8) 参考答案
一、单项选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B B A D B C C
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.
题号 9 10 11
答案 AC AB BCD
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 13. 14.
8. 因为函数 在 上单调递增,且 为它的一条对称轴,
所以 时函数取最大值,又因为 是它的一个对称中心,
所以
设 的最小正周期为 ,由正弦函数的对称性可知 ,
即 ,所以 ,
又 在 上单调递增,则 ,
所以 ,解得 ,又 ,所以 ,
则 ,又因为 ,所以 时, ,所以 ,
当 时, ,由正弦函数的单调性可知 . 故选: C.
11.选项 A，因为函数 ，
所以 ,故 A 选项不正确;
选项 B,由 ,
所以 是周期为 的函数,故 选项正确;
选项 C，
① 当 时， ，
② 当 时, ,
③ 当 时， ，
④ 当 时, ,
⑤当 时， ，则 ，
⑥ 当 时， ，则 ，
⑦ 当 时， ，则 ，
⑧ 当 时, ,则 ,
综上所述函数 的值域为 ,故 选项正确;
选项 D,因为函数 ,
所以 ,
① 当 时,
,则 ,
此时 ,所以 ,
② 当 时,
,则 ,
此时 ,所以 ,
③ 当 时,
,则 ,
此时 ,所以 ,
④ 当 时,
,则 ,
此时 ,所以 ,
⑤当 时，
,则 ,此时 ,
所以 ,
⑥ 当 时,
,则 ,此时 ,
所以 ,
⑦当 时，
,则 ,此时 ,
所以 ,
⑧ 当 时，
,则 ,此时 , 所以 ,综上所述: 对任意 ,故 选项正确; 故选: BCD.
14. 因为 ,所以 ,
整理可得 ,即有 .
又 ，所以 ，解得 ，所以 ，
于是 .
因为三角形是锐角三角形,所以 ,
所以 ,所以 的取值范围是 .
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分.
15. 解: (1) 由题设及正弦边角关系知 ,
则 ,由 ,所以 ;
(2)由题意 ，则 ，
由余弦定理 ,则 ,
所以 ,则 ,
周长为 .
16. 解: (1) 的最小正周期 ,因 ,
由 ,可得 ,
所以单调递减区间为 ;
(2)因为 ，所以 ，
由 ,得 ,作出函数 在 上的图象如下:
由图可知,方程恰有两个不相等的实数根 ,等价于 ,
且此时 ,解得 ,则 ,所以 .
17. 解:(1)由正弦定理可得， ，
所以 ,
所以 ,
即 ,由 ,可知 ,
所以 ,即 ,由 ,知 .
(2)由余弦定理，得 ，即 ，
所以 ,即 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,又 (当且仅当 时取等号),
所以 ; 所以 . (当且仅当 时取等号), 所以 (当且仅当 时取等号), 即 的最大值为 .
18. 解: (1) 由题可知 ,解得 ,
又由 ,可得 ,
所以 关于 的函数解析式为 .
因为函数 在 时单调递减,
所以 ,可得 .
(2)(i) 花坛的面积为 ，
装饰总费用为 ,
所以花坛的面积与装饰总费用之比为 .
(ii) 令 ,
则 ,
当且仅当 ,即 时取等号,此时 ,故 的最大值为 ,此时 .
19. 解: (1) 不是 的“友好函数”,理由如下: 取 ,因为 ,所以不存在 ,使得 , 所以 不是 的“友好函数”;
(2)由题意，对任意 ，存在唯一 使 成立，
即 ,所以函数 的值域是函数 值域的子集.
因为 ,所以 ,其值域为 ,
而 在 上单调递增,故值域为 ,
从而 ,即 ,所以 ;
(3)当 是 的“友好函数”时，
由题意,对任意的 ,存在唯一的 ,使 成立,
即 ,则 的值域是 值域的子集.
当 是 的“友好函数”时,
由题意,对任意的 ,存在唯一的 使 成立,
即 ,则 的值域是 值域的子集.
所以 的值域与 值域相同 (且值域中的数值一一对应).
当 是 的 “友好函数” 时,因为 ,
若存在 使得 ,则不存在 ,使得 ,
所以当 时, ,所以 ,
因为 在 上单调递减，所以 ,
①当 时， ，不符合要求；
② 当 时， ，
因为 ,所以 ,不符合要求;
③ 当 时, ,
若 ,则 在 上单调递减,
从而 在 上单调递增,故 ,
从而 时, ,
因为 的值域与 值域相同,所以
即 ,所以 ,又 在 上单调递增,
所以当 时， 的最大值为 1 .
若 ,则 在 上单调递减,在 上单调递增,
此时 值域与 值域中的数值不可能一一对应,不符合要求.
综上: 的最大值为 1 .