黑龙江大庆实验中学2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 黑龙江大庆实验中学2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 204.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-12 00:00:00 | ||
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文档简介
大庆实验中学实验二部 2025 级高一下开学考试 数学试题
一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
2. 在 中,点 在 边上,且 ,设 ,则 ( )
A. B.
C. D.
3. 函数 的零点所在的一个区间为( )
A. B.
C. D.
4. 关于 的不等式 解集中恰有 2 个整数,则实数 取值范围是( )
A. B.
C. D.
5. 简车是我国古代发明的一种水利灌溉工具, 既经济又环保. 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图 1).假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动,将筒车抽象为一个半径为 的圆,如图 2 建立平面直角坐标系, 已知筒车按逆时针方向旋转,每旋转一周用时 180 秒,当 时,某盛水筒位于初始点 ,经过 秒后运动到点 ,当 第一次等于 3 时,正数 的值为 ( )
图1
图2
A. 30 B. 45 C. 60 D. 90
6. 已知函数 是定义在 上的奇函数,满足 在 上单调递增,且 , 则不等式 的解集为( )
A. B.
C. D.
7. 记函数 的两个零点为 和 ,则()
A. B.
C. D.
8. 设函数 ,若 ,则 的最小值为 ( )
A. 0
B.
C.
D. 1
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 下列说法正确的是( )
A. 函数 的图象所过定点的坐标为
B. 函数 的单调递增区间是
C. 若直线 与函数 的图象有两个公共点,则 的取值范围是
D. 已知函数 在 上单调递增,则 的取值范围是
10. 中,角 所对的边分别为 且 ,下列说法正确的是( )
A. B. 若 且 有唯一解,则
C. 若 ,则 D. 若 ，则 面积最大值为
11. 已知函数 ，则下列说法正确的有( )
A. 当 在区间 上的最小值为 -1 时， 的取值范围是
B. 当 在区间 上没有最小值时, 的取值范围是
C. 若 ,使得 在区间 上的值域为 ,则 的取值范围是
D. 若 ,使得 ,则 的取值范围是
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 已知角 的终边经过点 ,则
13. 已知函数 若关于 的方程 恰有 3 个实数解,则实数 的取值范围为_____.
14. 在 中, 是 边上一点,且 ,则 的最小值为_____
四、解答题(本大题共 5 小题, 共 77 分)
15. 已知函数 的图象经过 三点,且 的最小值为 .
(1)求 的解析式;
(2)求 在 上的值域；
16. 已知函数 .
(1)判断函数 的奇偶性并证明;
(2)解不等式 .
注:本题中涉及的复合函数的单调性无需证明, 只需说明单调性即可.
17. 在锐角三角形 中,角 的对边分别为 ,且 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的取值范围.
18. 已知定义在 上的函数 满足 ,且 ,
(1)求实数 的值；
( 2 )若不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
(3) 设 ,若对任意的 ,存在 ,使得 ,求实数 的取值范围.
19. 已知函数 的定义域为 ,若存在实数 ,使得对于任意 都存在 满足 ,则称函数 为“自均值函数”,其中 称为 的“自均值数”.
(1)判断函数 是否为 “自均值函数”，并说明理由:
(2)若函数 ， 为“自均值函数”，求 的取值范围；
(3)若函数 有且仅有 1 个“自均值数”，求实数 的值.
1. D
, .
故选: D.
2. C
因为点 在 边上,且 ,
所以 .
故选: C.
3. B
因为 , 所以 ,所以 在 有零点,
因为 和 都是 上的增函数,
所以 在 上单调递增,
所以 存在唯一零点 .
故选: B
4. B
由 得, , 因为 ,所以 ,
得 ,
由不等式 解集中恰有 2 个整数, 得 ,得 , 故实数 取值范围是 .
5. B
因为是逆时针旋转,当 第一次等于 3 时,即旋转了 , 又因为每旋转一周需要 180 秒,那么旋转 则需要 秒.
6. D
因为函数 是定义在 上的奇函数,所以 ,
由函数 在 上单调递增,且 ,
所以函数 在 上单调递增,且 ,
则当 时,得 或 ,
当 时,得 或 ,
由 ,得 或 ,由 ,得 ,
由 ,得 或 ,
得 或 ,
得 或 ,
由 ,得 或 -1 或 0 或 3,
故 的解集为:
7. D
令 ,即 ,
联立方程 ,解得 或 ,
不妨设 ,则 ,
且 ,则 .
对于选项 C: ,故 C 错误;
对于选项 D: ,故 D 正确;
对于选项 : 因为 ,则 ,
且 ,
可得 ,
则 ,故 A 错误;
且 ,故 B 错误;
故选: D.
8. D
因为 的定义域为 ,
所以 在 上恒成立.
当 时, ; 当 时, ; 当 时, .
所以对于二次函数 ,
当 时， ；当 时， ，
所以 1 为 的一个零点,且为右侧零点,
即 ,所以 .
则 .
要满足当 时， ，只需左侧零点 ，解得 .
而 在 上单调递增,
所以 ,当且仅当 时等号成立.
故选: D.
9. BD
对于 ,对 ,当 时,恒有 ,因此 所求定点坐标为 , A 错误;
对于 ,函数 的定义域为 ,函数 在 上单调递增, 在 上单调递减,而函数 在 上单调递减,因此所求递增区间为 正确;
对于 ,当 时, ,而 ,解得 ,
即直线 与函数 的图象只有 1 个交点, C 错误;
对于 ,由函数 在 上单调递增,
得 ,解得 正确.
故选: BD
10. ACD
由 ,则 , 则 , 由于 ,所以 ,故 正确;
由正弦定理得 ,即 ,
又 有唯一解，所以 或 ，故 B 错误；
由 ，则 ，
则 ,即 ,
所以 ,则 ,所以 ,故 正确;
若 ,则由余弦定理得 ,
所以有 ,即 ,当且仅当 时取等号,
的面积为 ,故 D 正确.
故选: ACD.
11. ABD
对于 A,由 ,得 ,因为 在区间 上的最小值为 -1 ,
所以 或 ,解得 ,即 的取值范围是 ,故 A 正确;
对于 ,由 ,得 ,因为 在区间 上没有最小值,
所以 ,解得 ,即 的取值范围是 ,故 正确;
对于 的最小正周期为 ,因为 在区间 上的值域为
所以 ,解得 的取值范围是 ,故 不正确;
对于 ,由 ,得 ,若 ,则 , 解得 ,
所以若 ,使得 ,则 的取值范围是 ,故 正确故选: ABD.
12. 2
由于角 的终边经过点 ,故 ,
所以 .
故答案为: 2 .
13.
当 时, ,
令 ,解得: .
当 时, ,
方程 恰好有一个实数解,即方程 在 上恰有一个实数解,
解得: .
因为方程只有一个解,所以需满足: ,
所以 .
14. 4
依题意,记 ,则 ,又 ,如下图
根据三角形内角和可得 ,所以 ,
由 可得 ,
记 ,由正弦定理可得 ;
由 可得 ,因此 ,
所以 ,
代入 可得 ;
又因为
所以 ;
因 ，所以 ，令
则 ,
当且仅当 时,等号成立,所以 的最小值为 4 .
即 的最小值为 4 .
故答案为: 4
15. (1)
(2)
(1)由题意 的图象经过 三点,且 的最小值为 ,
可得 的最小正周期 ,则 ,解得 .
则 ,
由 ,
故 ,
又因为 ,所以 .
故 .
(2)由于 ,所以 ,
故 .
所以函数 的值域为 .
16.(1) 是奇函数.
证明: 由于 恒成立, 恒成立,
故 的定义域为 ,
又
,
所以 是奇函数.
(2) 等价于 ，
因为 为奇函数,故 ,
所以只需证 即可.
当 时, 单调递增,
故 在 上单调递增,
又 为奇函数,且 ,故 在 上单调递增,
所以 ,即 ,故 , 又 在定义域内单调递增,
所以 ,解得 ,所以不等式解集为 .
17.
(2)
(1) ,即 ,
由正弦定理得 ,
即 ,
因为 ,所以 ,所以 ,
又因为 ,所以 .
(2)因为 ，所以 ， 则 , 所以 , 因为三角形 是锐角三角形,所以 ,得 , 所以 ,则 ,即 , 所以 的取值范围为 .
18. (1)1
(2)
(3)
(1) 由 ,所以 ,
即 ,
所以 ;
(2)由(1)知， ，
令 ,得 在 上单调递增, 在 上单调递增,
由复合函数的单调性得 在 上单调递增,
所以不等式 恒成立等价于 恒成立,即 恒成立,
设 ,则 ,当且仅当 ,即 时,等号成立
所以 ,故实数 的取值范围是 ;
(3)因为对任意的 ，存在 ，使得 ，
所以 在 上的最小值不小于 在 上的最小值.
因为 在 上单调递增,
所以当 时, .
,则 在 上有解,
则 在 上有解,
令 ,
令 ,则 ,当且仅当 时取等号,
.
19.(1) 假定函数 是 “自均值函数”,显然 定义域为 ,则存在 , 对于 ,存在 ,有 ,
即 ,依题意,函数 在 上的值域应包含函数 在 上的值域, 而当 时, 值域是 ,当 时, 的值域是 ,显然 不包含 R,
所以函数 不是 “自均值函数”.
(2)依题意，存在 ，对于 ，存在 ，有 ，即
当 时, 的值域是 ,因此 在 的值域包含 ,
当 时,而 ,则 ,
若 ,则 ,此时 值域的区间长度不超过 ,而区间 长度为 1,不符合题意,
于是得 ,要 在 的值域包含 , 则 在 的最小值小于等于 0,又 时, 递减, 且 ,
从而有 ,解得 ,此时,取 的值域是 包含于 在 的值域,
所以 的取值范围是 .
(3)依题意，存在 ，对于 ，存在 ，有 ，即
当 时, 的值域是 ,因此 在 的值域包含 ,并且有唯一的 值,
当 时, 在 单调递增, 在 的值域是 ,
由 得 ,解得 ,此时 的值不唯一,不符合要求,
当 时,函数 的对称轴为 ,
当 ,即 时, 在 单调递增, 在 的值域是 , 由 得 ,解得 ,要 的值唯一,当且仅当 ,即 ,则 ,
当 ,即 时, ,
由 且 得: ,此时 的值不唯一,不符合要求, 由 且 得, ,要 的值唯一,当且仅当 ,解得 ,此时 ;
综上得: 或 ,
所以函数 有且仅有 1 个“自均值数”,实数 的值是 或 .
一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
2. 在 中,点 在 边上,且 ,设 ,则 ( )
A. B.
C. D.
3. 函数 的零点所在的一个区间为( )
A. B.
C. D.
4. 关于 的不等式 解集中恰有 2 个整数,则实数 取值范围是( )
A. B.
C. D.
5. 简车是我国古代发明的一种水利灌溉工具, 既经济又环保. 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图 1).假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动,将筒车抽象为一个半径为 的圆,如图 2 建立平面直角坐标系, 已知筒车按逆时针方向旋转,每旋转一周用时 180 秒,当 时,某盛水筒位于初始点 ,经过 秒后运动到点 ,当 第一次等于 3 时,正数 的值为 ( )
图1
图2
A. 30 B. 45 C. 60 D. 90
6. 已知函数 是定义在 上的奇函数,满足 在 上单调递增,且 , 则不等式 的解集为( )
A. B.
C. D.
7. 记函数 的两个零点为 和 ,则()
A. B.
C. D.
8. 设函数 ,若 ,则 的最小值为 ( )
A. 0
B.
C.
D. 1
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 下列说法正确的是( )
A. 函数 的图象所过定点的坐标为
B. 函数 的单调递增区间是
C. 若直线 与函数 的图象有两个公共点,则 的取值范围是
D. 已知函数 在 上单调递增,则 的取值范围是
10. 中,角 所对的边分别为 且 ,下列说法正确的是( )
A. B. 若 且 有唯一解,则
C. 若 ,则 D. 若 ，则 面积最大值为
11. 已知函数 ，则下列说法正确的有( )
A. 当 在区间 上的最小值为 -1 时， 的取值范围是
B. 当 在区间 上没有最小值时, 的取值范围是
C. 若 ,使得 在区间 上的值域为 ,则 的取值范围是
D. 若 ,使得 ,则 的取值范围是
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 已知角 的终边经过点 ,则
13. 已知函数 若关于 的方程 恰有 3 个实数解,则实数 的取值范围为_____.
14. 在 中, 是 边上一点,且 ,则 的最小值为_____
四、解答题(本大题共 5 小题, 共 77 分)
15. 已知函数 的图象经过 三点,且 的最小值为 .
(1)求 的解析式;
(2)求 在 上的值域；
16. 已知函数 .
(1)判断函数 的奇偶性并证明;
(2)解不等式 .
注:本题中涉及的复合函数的单调性无需证明, 只需说明单调性即可.
17. 在锐角三角形 中,角 的对边分别为 ,且 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的取值范围.
18. 已知定义在 上的函数 满足 ,且 ,
(1)求实数 的值；
( 2 )若不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
(3) 设 ,若对任意的 ,存在 ,使得 ,求实数 的取值范围.
19. 已知函数 的定义域为 ,若存在实数 ,使得对于任意 都存在 满足 ,则称函数 为“自均值函数”,其中 称为 的“自均值数”.
(1)判断函数 是否为 “自均值函数”，并说明理由:
(2)若函数 ， 为“自均值函数”，求 的取值范围；
(3)若函数 有且仅有 1 个“自均值数”，求实数 的值.
1. D
, .
故选: D.
2. C
因为点 在 边上,且 ,
所以 .
故选: C.
3. B
因为 , 所以 ,所以 在 有零点,
因为 和 都是 上的增函数,
所以 在 上单调递增,
所以 存在唯一零点 .
故选: B
4. B
由 得, , 因为 ,所以 ,
得 ,
由不等式 解集中恰有 2 个整数, 得 ,得 , 故实数 取值范围是 .
5. B
因为是逆时针旋转,当 第一次等于 3 时,即旋转了 , 又因为每旋转一周需要 180 秒,那么旋转 则需要 秒.
6. D
因为函数 是定义在 上的奇函数,所以 ,
由函数 在 上单调递增,且 ,
所以函数 在 上单调递增,且 ,
则当 时,得 或 ,
当 时,得 或 ,
由 ,得 或 ,由 ,得 ,
由 ,得 或 ,
得 或 ,
得 或 ,
由 ,得 或 -1 或 0 或 3,
故 的解集为:
7. D
令 ,即 ,
联立方程 ,解得 或 ,
不妨设 ,则 ,
且 ,则 .
对于选项 C: ,故 C 错误;
对于选项 D: ,故 D 正确;
对于选项 : 因为 ,则 ,
且 ,
可得 ,
则 ,故 A 错误;
且 ,故 B 错误;
故选: D.
8. D
因为 的定义域为 ,
所以 在 上恒成立.
当 时, ; 当 时, ; 当 时, .
所以对于二次函数 ,
当 时， ；当 时， ，
所以 1 为 的一个零点,且为右侧零点,
即 ,所以 .
则 .
要满足当 时， ，只需左侧零点 ，解得 .
而 在 上单调递增,
所以 ,当且仅当 时等号成立.
故选: D.
9. BD
对于 ,对 ,当 时,恒有 ,因此 所求定点坐标为 , A 错误;
对于 ,函数 的定义域为 ,函数 在 上单调递增, 在 上单调递减,而函数 在 上单调递减,因此所求递增区间为 正确;
对于 ,当 时, ,而 ,解得 ,
即直线 与函数 的图象只有 1 个交点, C 错误;
对于 ,由函数 在 上单调递增,
得 ,解得 正确.
故选: BD
10. ACD
由 ,则 , 则 , 由于 ,所以 ,故 正确;
由正弦定理得 ,即 ,
又 有唯一解，所以 或 ，故 B 错误；
由 ，则 ，
则 ,即 ,
所以 ,则 ,所以 ,故 正确;
若 ,则由余弦定理得 ,
所以有 ,即 ,当且仅当 时取等号,
的面积为 ,故 D 正确.
故选: ACD.
11. ABD
对于 A,由 ,得 ,因为 在区间 上的最小值为 -1 ,
所以 或 ,解得 ,即 的取值范围是 ,故 A 正确;
对于 ,由 ,得 ,因为 在区间 上没有最小值,
所以 ,解得 ,即 的取值范围是 ,故 正确;
对于 的最小正周期为 ,因为 在区间 上的值域为
所以 ,解得 的取值范围是 ,故 不正确;
对于 ,由 ,得 ,若 ,则 , 解得 ,
所以若 ,使得 ,则 的取值范围是 ,故 正确故选: ABD.
12. 2
由于角 的终边经过点 ,故 ,
所以 .
故答案为: 2 .
13.
当 时, ,
令 ,解得: .
当 时, ,
方程 恰好有一个实数解,即方程 在 上恰有一个实数解,
解得: .
因为方程只有一个解,所以需满足: ,
所以 .
14. 4
依题意,记 ,则 ,又 ,如下图
根据三角形内角和可得 ,所以 ,
由 可得 ,
记 ,由正弦定理可得 ;
由 可得 ,因此 ,
所以 ,
代入 可得 ;
又因为
所以 ;
因 ，所以 ，令
则 ,
当且仅当 时,等号成立,所以 的最小值为 4 .
即 的最小值为 4 .
故答案为: 4
15. (1)
(2)
(1)由题意 的图象经过 三点,且 的最小值为 ,
可得 的最小正周期 ,则 ,解得 .
则 ,
由 ,
故 ,
又因为 ,所以 .
故 .
(2)由于 ,所以 ,
故 .
所以函数 的值域为 .
16.(1) 是奇函数.
证明: 由于 恒成立, 恒成立,
故 的定义域为 ,
又
,
所以 是奇函数.
(2) 等价于 ，
因为 为奇函数,故 ,
所以只需证 即可.
当 时, 单调递增,
故 在 上单调递增,
又 为奇函数,且 ,故 在 上单调递增,
所以 ,即 ,故 , 又 在定义域内单调递增,
所以 ,解得 ,所以不等式解集为 .
17.
(2)
(1) ,即 ,
由正弦定理得 ,
即 ,
因为 ,所以 ,所以 ,
又因为 ,所以 .
(2)因为 ，所以 ， 则 , 所以 , 因为三角形 是锐角三角形,所以 ,得 , 所以 ,则 ,即 , 所以 的取值范围为 .
18. (1)1
(2)
(3)
(1) 由 ,所以 ,
即 ,
所以 ;
(2)由(1)知， ，
令 ,得 在 上单调递增, 在 上单调递增,
由复合函数的单调性得 在 上单调递增,
所以不等式 恒成立等价于 恒成立,即 恒成立,
设 ,则 ,当且仅当 ,即 时,等号成立
所以 ,故实数 的取值范围是 ;
(3)因为对任意的 ，存在 ，使得 ，
所以 在 上的最小值不小于 在 上的最小值.
因为 在 上单调递增,
所以当 时, .
,则 在 上有解,
则 在 上有解,
令 ,
令 ,则 ,当且仅当 时取等号,
.
19.(1) 假定函数 是 “自均值函数”,显然 定义域为 ,则存在 , 对于 ,存在 ,有 ,
即 ,依题意,函数 在 上的值域应包含函数 在 上的值域, 而当 时, 值域是 ,当 时, 的值域是 ,显然 不包含 R,
所以函数 不是 “自均值函数”.
(2)依题意，存在 ，对于 ，存在 ，有 ，即
当 时, 的值域是 ,因此 在 的值域包含 ,
当 时,而 ,则 ,
若 ,则 ,此时 值域的区间长度不超过 ,而区间 长度为 1,不符合题意,
于是得 ,要 在 的值域包含 , 则 在 的最小值小于等于 0,又 时, 递减, 且 ,
从而有 ,解得 ,此时,取 的值域是 包含于 在 的值域,
所以 的取值范围是 .
(3)依题意，存在 ，对于 ，存在 ，有 ，即
当 时, 的值域是 ,因此 在 的值域包含 ,并且有唯一的 值,
当 时, 在 单调递增, 在 的值域是 ,
由 得 ,解得 ,此时 的值不唯一,不符合要求,
当 时,函数 的对称轴为 ,
当 ,即 时, 在 单调递增, 在 的值域是 , 由 得 ,解得 ,要 的值唯一,当且仅当 ,即 ,则 ,
当 ,即 时, ,
由 且 得: ,此时 的值不唯一,不符合要求, 由 且 得, ,要 的值唯一,当且仅当 ,解得 ,此时 ;
综上得: 或 ,
所以函数 有且仅有 1 个“自均值数”,实数 的值是 或 .
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