黑龙江大庆市大庆中学2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题（含解析）

大庆中学 2025—2026 学年度下学期开学考试 高一年级数学试题
考试时间:120 分钟；试卷总分:150 分
注意事项:
1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2. 请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷 (选择题)
一、单选题(本题共 8 个小题，每题 5 分，共 40 分)
1. 已知集合 ，集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 若 ,则 ( )
A. B. C. D.
3. 函数 的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
4. 已知函数 在定义域 上是减函数,则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5. 下列说法中正确的是( )
A. 命题“若 ，则 ”是真命题
B. 是函数 为奇函数的必要不充分条件
C. 若 ,则
D. 命题“ ”的否定是“ ”
6. 已知函数 是定义在 上的偶函数,若 在区间 上是增函数,则不等式 的解集是( )
A. B. C. D.
7. 已知幂函数 是定义域上的偶函数，则 ( )
A. 或 3 B. 3
C. D.
8. 已知正数 满足 ，则 的最小值为( )
A. 3 B. 4 C. 8 D. 9
二、多选题(本题共 3 个小题，每题 6 分，共 18 分)
9. 下列 的取值范围能使 成立的是( )
A. B. C. D.
10. 设 ,则下列结论中正确的是( )
A.
B.
C. 若 ，则
D. 若 ，则
11. 已知函数 ，则下列说法正确的是( )
A. 与 的最小正周期相同 B. 与 在 上单调性相同
C. 与 的零点相同 D. 与 图象的对称中心相同
第 II 卷(非选择题)
三、填空题(本题共 3 个小题，每题 5 分，共 15 分)
12. 的图象恒过定点_____.
13. 一个扇形的周长为 ，面积为 ，则该扇形的圆心角的弧度数为_____.
14. 若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是_____.
四、解答题(本题共 5 个大题, 共 77 分)
15. 若设 为实数,已知函数 是奇函数.
(1)求 的值；
(2)判断函数 的单调性，并给出证明；
(3)当 ,求函数 的值域.
16. 已知命题 :设集合 ，集合 是 的子集；命题 : 关于 的方程 有实数根.
(1)若 是真命题，求实数 的取值范围；
(2)若 是真命题，求实数 的取值范围；
(3)若 一个为真命题，一个为假命题，求实数 的取值范围
17. 设函数 .
(1)求 的最小正周期和对称中心；
(2)求 的单调递减区间.
(3)求函数 在 上的值域
18. 已知 .
(1)若 是第三象限角，求 的值；
(2)求 的值.
19. 已知 定义域为 ,对任意 都有 ,当 时, ,
(1)试判断 在 上的单调性，并证明；
(2)解不等式: .
1. B
,解得 或 ,则 或 ,
则 ,则 .
故选: B.
2. D
题目已知 ,将分子分母同时除以 ,
则: .
故选: D.
3. D
函数 ,设 ,
令 ,即 ,解得 或 ,
得函数 的定义域为 ,
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
又函数 在定义域内单调递减,结合复合函数的单调性可知,
函数 的单调递增区间为 .
4. D
在 上是减函数,
,解得 .
故选: D.
5. C
对于 A: 当 时满足 ,但是 ,
所以命题“若 ,则 ”是假命题，故 A 错误；
对于 : 由 推不出 为奇函数,故充分性不成立;
由 为奇函数也推不出 ,如 定义域为 的奇函数,但是 无意义, 故必要性不成立,
所以 是函数 为奇函数的既不充分又不必要条件,故 B 错误;
对于 : 若 ,则 ,所以 ,故 正确;
对于 : 命题“ ”的否定是“ ”,故 错误.
故选:
6.
因为函数 是定义在 上的偶函数,
不等式 ,即 ,
又因为 在区间 上是增函数,所以 在区间 上是减函数,
所以 ,即 ,解得 ,
所以不等式 的解集是 ,
故选: C.
7. B
由条件得 ,解得 或 .
当 时, 是 上的偶函数,符合题意;
当 时, 是 上的奇函数,不符合题意,所以 , 故选: B.
8. A
因为 为正数,所以 ,
当且仅当 ,即 时取等号,
由 和 解得 ,此时 取得最小值 3 .
故选: A
9. AC
在同一平面直角坐标系中画出正、余弦函数在 上的图象,如图:
在 内,当 时, 或 ,
结合图象可知满足 的 的取值范围是 和 .
故选: AC
10. ACD
对于 选项, 对;
对于 选项， 错；
对于 选项， ，则 对；
对于 选项，若 ，则 ，D 对.
故选: ACD.
11. AD
函数 的最小正周期为 ,函数 的最小正周期为 ,故 A 正确;
当 时, ,所以函数 在区间 上单调递减, 当 时, ,所以函数 在区间 上单调递增, 故 B 错误;
令 ,得到 ,
令 ,得到 ,两个函数零点不同,故 错误;
函数 图象的对称中心满足 ,
即 图象对称中心为 ,
函数 图象的对称中心满足 ,
即 图象对称中心为 ,
令 ,即 图象对称中心为 ,与 图象对称中心相同,故 正确.
故选: AD.
12.
令 ,得 ,则 ,
即 的图象恒过定点 .
故答案为: .
13.6或
设该扇形的半径为 ,圆心角为 . 由题可知 ①, ②,
由①可得 ,代入②可得 ,
即 ,解得 或 3,则 或 .
故答案为:6或
14.
由 化简得: ,
不等式 等价于 ,
解得 或 ,
要使此不等式对任意 恒成立,
则区间 必须完全包含在解集 中,
等价于 与开区间 的交集为空集,
区间 在 左侧,即 ,解得 ,
区间 在 右侧,即 ,解得 ,
当 ,则 与 必有交集,不满足条件,
综上,实数 的取值范围是 或 ,
故答案为:
15. (1)2
(2)在 上为增函数，证明见解析
(3)
(1) 函数 是奇函数,则 ,解得 , 当 时, , 为奇函数,所以 的值为 2 .
(2) 是 上的增函数，证明如下，
证明: 由(1)可知, ,
设 ,则 ,
因为 ,所以 ,
故 ,即 ,
是 上的增函数;
(3)由(2)可知，函数 在 上单调递增，所以 ， 即 ,故函数 的值域为 .
16.
(2) 或
(3)
(1)要使 为真命题，
则集合 ，且 ，
所以 .
(2)若 真则 ，
即 ,
解得 或 .
(3)当 真 假时,只需 ，解得 ；
当 假 真时,只需 或 ,解得 ,
综上所述,实数 的取值范围为
17. ,函数的对称中心为 ;
(2)
(3)
(1) 因为 ,
所以函数 的最小正周期是 ,
令 ,解得 ,
所以函数 的对称中心为 ;
(2)由 ，解得 ，
所以函数的单调递减区间为 .
(3)因为 ，所以 ，
令 ,则 ,此时 ,
根据正弦函数的单调性可得, 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以当 时, 有最小值,且为 ,此时 ,
当 时, 有最大值,且为 1,此时 ,
所以 在 的值域为 .
18. .
(2)3
( 1 ) 是第三象限角,
,
解得 ;
(2) ，
.
19.(1) 在 上单调递减,证明如下,
令 ,且 ,
则 ,
因为 ,所以 ,即 ,
所以 在 上单调递减.
(2) ，即 ，
即为 ,即为 ,
即为 .
因为 在 上单调递减,
所以 ,即 ,
则 ,解得 ,
所以不等式的解集为 .